电大高等数学基础期末考试总结复习计划习题及

高等数学（1）学习指导(一)

第一章函数

⒈理解函数的观点；掌握函数yf(x)中符号f()的含义；认识函数的两因素；

会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数能否相等。

两个函数相等的充分必需条件是定义域相等且对应关系同样。

⒉认识函数的主要性质，即单一性、奇偶性、有界性和周期性。

若对随意x，有f(x)f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形对于y轴对

称。

若对随意x，有f(x)f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形对于原点对

称。

掌握奇偶函数的鉴别方法。

掌握单一函数、有界函数及周期函数的图形特色。⒊娴熟掌握基本初等函数的分析表达式、定义域、主要性质和图形。基本初等函数是指以下几种种类：

①常数函数：yc②幂函数：yx(为实数)③指数函数：yax(a0,a1)④对数函数：ylogax(a0,a1)⑤三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx⑥反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx⒋认识复合函数、初等函数的观点，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数

能够分解yeu，uv2，varctanw，w1x。分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。⒌会列简单的应用问题的函数关系式。例题选解一、填空题⒈设f(1)x1x2(x0)，则f(x)。x1，则x1，得解：设txt故f(x)11x2。x1⒉函数f(x)5x的定义域是。ln(x2)解：对函数的第一项，要求x20且ln(x2)0，即x2且x3；对函数的第二项，要求5x0，即x5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)(3,5]。

⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是。解：要使f(lnx)存心义，一定使0lnx1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。⒋函数yx29的定义域为。x3解：要使yx29x29x3x3存心义，一定知足0且x30，即建立，解不x3等式方程组，得出x3或x3，故得出函数的定义域为(,3](3,)。x3⒌设f(x)axax对称。2，则函数的图形对于解：f(x)的定义域为(,)，且有即f(x)是偶函数，故图形对于y轴对称。二、单项选择题⒈以下各对函数中，（）是同样的。A.f(x)x2,g(x)x；B.f(x)lnx2,g(x)2lnx；C.f(x)lnx3,g(x)3lnx；D.f(x)x21,g(x)x1x1解：A中两函数的对应关系不一样,x2xx，B,D三个选项中的每对函数的定义域都不一样，所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系同样，应选项C正确。⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)－f(x)的图形对于（）对称。＝x；轴；轴；D.坐标原点解：设F(x)f(x)f(x)，则对随意x有即F(x)是奇函数，故图形对于原点对称。选项D正确。3．设函数的定义域是全体实数，则函数f(x)f(x)是（）．A.单一减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A,B,D三个选项都不必定知足。设F(x)f(x)f(x)，则对随意x有即F(x)是偶函数，应选项C正确。⒋函数f(x)xax1(a0,a1)（）ax1A.是奇函数；B.是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行考证。

所以B正确。

⒌若函数121x)xx2，则f(x)f(x（）A.x2；B.x22；

C.(x1)2；D.x21。解：因为x21x2212(x1)22x2x2x所以f(x1)(x1)22xx则f(x)x22，应选项B正确。第二章极限与连续⒈知道数列极限的“N”定义；认识函数极限的描绘性定义。⒉理解无量小量的观点；认识无量小量的运算性质及其与无量大批的关系；知

道无量小量的比较。

无量小量的运算性质主要有：

①有限个无量小量的代数和是无量小量；

②有限个无量小量的乘积是无量小量；

③无量小量和有界变量的乘积是无量小量。⒊娴熟掌握极限的计算方法：包含极限的四则运算法例，消去极限式中的不定

因子，利用无量小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。

求极限有几种典型的种类（1）lima2xkalim(a2xka)(a2xka)1x0xkx0xk(a2xka)2a（2）limx2axb(xx0)(xx1)x0x1xx0limxx0xx0xx00nm（3）lima0xna1xn1an1xana0nmxx0b0xmb1xm1bm1xbmb0nm⒋娴熟掌握两个重要极限：1)x1lim(1e（或lim(1x)xe）xxx0重要极限的一般形式：11lim(1)f(x)e（或lim(1g(x))g(x)e）f(x)f(x)g(x)0利用两个重要极限求极限，常常需要作适合的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法例，如

⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；认识函数中断点的观点；会对函数的中断点进行分类。中断点的分类：

已知点xx0是的中断点，

若f(x)在点xx0的左、右极限都存在，则

x

x0称为

f(x)

的第一类中断点；

若f(x)在点xx0的左、右极限有一个不存在，则xx0称为f(x)的第二类中断点。

⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合还是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。

典型例题分析

一、填空题x2sin1⒈极限limx。x0sinxx2sin11x1x解：limx010sinxlim(xsin)limxsinlimx01x0xsinxx0xx0sinx注意：limxsin0（无量小量乘以有界变量等于无量小量）x0xlimxlim1111，此中limsinx=1是第一个重要极限。x0sinxx0sinxlimsinx1x0xxx0x⒉函数f(x)xsin1x0的中断点是xx。x1x0解：由f(x)是分段函数，x0是f(x)的分段点，考虑函数在x0处的连续性。因为lim10lim(x1)1f(0)1xsinx0xx0所以函数f(x)在x0处是中断的，又f(x)在(,0)和(0,)都是连续的，故函数⒊⒋⒌⒍设f(x)x23x2，则f[f(x)]解：f(x)2x3，故⒎函数yln(1x2)的单一增添区间是二、单项选择题⒈函数在点处（）．

f(x)的中断点是x0。

。

。

A.有定义且有极限；B.无定义但有极限；

C.有定义但无极限；D.无定义且无极限

解：f(x)在点处没有定义，但1（无量小量有界变量=无量小量）limxsin0x0x应选项B正确。⒉以下函数在指定的变化过程中，（）是无量小量。1B.sinx,(x)；A.ex,(x)；x

C.ln(1x),(x1)；D.x11,(x0)x解：无量小量乘以有界变量仍为无量小量，所以

而A,C,D三个选项中的极限都不为0，应选项B正确。三、计算应用题

⒈计算以下极限：⑴limx23x2⑵lim(x3)xx2x24x12xx1(3)lim(x1)10(2x153)5（4）lim1x1x12(x2)x0sin3x解：⑴x23x2(x1)(x2)x1x24x12(x2)(x6)x6x23x2=limx11lim24x12x2xx2x681)x1)x]1x3xx1x(1lim[(1e11xnx⑵lim()lim()lim3)xx34nx1nx3n(13)3]3eelim[(1xnx⑶题目所给极限式分子的最高次项为

分母的最高次项为12x15，由此得

（4）当x0时，分子、分母的极限均为0，所以不可以用极限的除法法例。求解时先有理化根式在利用除法法例和第一个重要极限计算。=limx1)1lim3xlim1111x0sin3x(1x3x0sin3xx01x13262.设函数问（1）a,b为什么值时，f(x)在x0处有极限存在？（2）a,b为什么值时，f(x)在x0处连续？解：（1）要f(x)在x0处有极限存在，即要limf(x)limf(x)建立。x0x0因为limf(x)lim(xsin1bb)x0x0xlimf(x)limsinx1x0x0x所以，当b1时，有limf(x)limf(x)建立，即b1时，函数在x0处有极x0x0限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处能否有定义没关，所以此时a能够取随意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有b1f(0)a，即ab1时函数在x0处连续。第三章导数与微分

导数与微分这一章是我们课程的学习要点之一。在学习的时候要重视以下几点：

⒈理解导数的观点；认识导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。f(x)

在点xx处可导是指极限0

存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限

函数f(x)在点xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)上点

切线的斜率。

(x0,f(x0))处

曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为函数yf(x)在x0点可导，则在x0点连续。反之则否则，函数yf(x)在x0点连续，在x0点不必定可导。⒉认识微分的观点；知道一阶微分形式不变性。⒊熟记导数基本公式，娴熟掌握以下求导方法（1）导数的四则运算法例

（2）复合函数求导法例

（3）隐函数求导方法

（4）对数求导方法

（5）参数表示的函数的求导法

正确的采纳求导方法有助于我们的导数计算，如

一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采纳取对数求导法，

(x1)2比如函数yx，求y。在求导时直接用导数的除法法例是能够的，可是计算时会麻烦一些，并且简单犯错。假如我们把函数先进行变形，即

再用导数的加法法例计算其导数，于是有

这样计算不只简单并且不易犯错。又比如函数yx1，求y。3x2明显直接求导比较麻烦，可采纳取对数求导法，将上式两头取对数得两头求导得

整理后即可得

若函数由参数方程

的形式给出，则有导数公式

能够娴熟地利用导数基本公式和导数的四则运算法例、复合函数的求导法例计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。

⒋娴熟掌握微分运算法例

微分四则运算法例与导数四则运算法例近似

一阶微分形式的不变性

微分的计算能够归纳为导数的计算，但要注意它们之间的不一样之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。

⒍认识高阶导数的观点；会求显函数的二阶导数。

函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n1阶导数。

第三章导数与微分典型例题选解

一、填空题

⒈设函数f(x)在x0周边有定义，且f(0)0,f(0)1，则limf(x)。x0xf(x)f(x)f(0)解：limlimf(0)1xx0x0x0故应填1。⒉曲线y1在点（1，1）处切线的斜率是。xf(x)在x解：由导数的几何意义知，曲线x0处切线的斜率是f(x0)，即为函33数在该点处的导数，于是y1x2,y(1)1x222x1

1

2

故应填1。2x2⒊设f(x)4x5，则f[f(x)]。解：f(x)2x4，故故应填4x224x37二、单项选择题⒈设函数f(x)x2，则limf(x)f(2)（）。x2x2A.2x；；；D不存在解：因为limf(x)f(2)f(2)，且f(x)x2，x2x2所以f(2)2xx24，即C正确。1x，则f(x)（）。⒉设f()1x111A.；B.；C.；D.xx2x2x解：先要求出f(x)，再求f(x)。因为f(1)x1，由此得f(x)1，所以f(x)(1)1x1xxx2x即选项D正确。3．设函数f(x)(x1)x(x1)(x2)，则f(0)（）．；；；D.2解：因为f(x)x(x1)(x2)(x1)(x1)(x2)(x1)x(x2)(x1)x(x1)，此中的三项当x0时为0，所以应选项C正确。4．曲线yxx在点（）处的切线斜率等于。e0

A.(0,1)；B.(1,0)；C.(0,1)；D.(1,0)解：y1ex，令y0得x0。而y(0)1，应选项C正确。5．ysinx2，则y（）。A.cosx2；B.cosx2；C.2xcosx2；D.2xcosx2解：ycosx2(x2)2xcosx2应选项C正确。三、计算应用题⒈设ytan2x2sinx，求dyx2解：⑴由导数四则运算法例和复合函数求导法例由此得⒉设yf(ex)ef(x)，此中f(x)为可微函数，求y。解y[f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]=f(ex)[ex]ef(x)f(ex)ef(x)[f(x)]=f(ex)exef(x)f(ex)ef(x)f(x)=ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x)]求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合组成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，而后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，要点是不要遗漏，最后化简。3.设函数

y

y(x)

由方程

xy

ey

ln

x

确立，求

dy。

y

dx

解：方法一：等式两头对x求导得

整理得

方法二：由一阶微分形式不变性和微分法例，原式两头求微分得

左端d(xyey)d(xy)d(ey)yxxyeydydd右端d(lnx)yd(x)yydxxdyyxyxy2由此得

整理得

4.设函数yy(x)由参数方程确立，求dy。dx

解：由参数求导法

5．设y(1x2)arctanx，求y。解y2xarctanx(1x2)12xarctanx11x2第四章导数的应用典型例题一、填空题1.函数yln(1x2)的单一增添区间是.解：2x，当x0时y0.故函数的单一增添区间是(,0).1x2y

lnx.2.极限limxx11解：由洛必达法例3.函数f(x)1(exex)的极小值点为。2解：f(x)1(exex)，令f(x)0，解得驻点x0，又x0时，f(x)0；21(exx0时，f(x)0，所以x0是函数f(x)ex)的极小值点。2二、单项选择题1.函数yx21在区间[2,2]上是（）A）单一增添B）单一减少C）先单一增添再单一减少D）先单一减少再单一增添解：选择Dy2x，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；所以在区间[2,2]上函数yx21先单一减少再单一增添。2.若函数yf(x)知足条件（），则在(a,b)内起码存在一点(ab)，使得建立。A）在(a,b)内连续；B）在(a,b)内可导；C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导；D）在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。解：选择D。由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，所以选择D正确。3.知足方程f(x)0的点是函数yf(x)的（）。A）极值点B）拐点

C）驻点D）中断点

解：选择C。

依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。

4.设函数f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b)，且f(x0)f(x0)0，则函数在

x0处（）。

A）获得极大值B）获得极小值

C）必定有拐点(x0,f(x0))D）可能有极值，也可能有拐点解：选择D

函数的一阶导数为零，说明x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明x0可能是函数的拐点，所以选择D。

三、解答题1.计算题

求函数yxln(1x)的单一区间。

解：函数yxln(1x)的定义区间为(1,)，因为

令y0，解得x0，这样能够将定义区间分红(1,0)和(0,

当1x0时，y0；当0x是，y0。

由此得出，函数yxln(1x)在(1,0)内单一递减，在(0,

)两个区间来议论。

)内单一增添。

应用题

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体张口容器，如何做法所用资料最省？

解：设底边边长为x，高为h，所用资料为y

且x2h108,h108得2(x3x2令y0216)0x6，且因为x6,y0;x6,y0，所以x6,y108为最小值.此时h3。于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。3．证明题：当x1时，证明不等式证设函数f(x)lnx，因为f(x)在(0,)上连续可导，所以f(x)在[1,x]上知足拉格朗日中值定理条件，有公式可得

此中1cx，即又因为c1，有11c故有lnxx1两边同时取以e为底的指数，有elnxex1ex即xe所以当x1时，有不等式建立.第5章学习指导（2）典型例题分析

一、填空题

⒈曲线在随意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程

为。解：xxx2c，即曲线方程为2。将点(2,5)代入得c1，所求曲2dyxc线方程为⒉已知函数f(x)的一个原函数是arctanx2，则f(x)。解：f(x)(arctanx2)2x1x4⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(axb)dx。解：用凑微分法二、单项选择题xc，则（）。⒈设fx)dxxlnf(x)(A.lnx1；B.lnx；C.x；D.xlnx解：因应选项A正确．⒉设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（）建立。

A.d(f(x)dx)F(x)；B.F(x)dxf(x)c；dxD.d(C.F(x)dxF(x)；f(x)dx)f(x)dx解：正确的等式关系是应选项D正确．⒊设F(x)是f(x)的一个原函数，则xf(1x2)dx（）。A.F(1x2)c；B.F(1x2)c；C.1F(1x2)c；D.F(x)c2解：由复合函数求导法例得

应选项C正确．

三、计算题

⒈计算以下积分：

⑴xdx⑵1x2dx1x2x2解：⑴利用第一换元法⑵利用第二换元法，设xsint，dxcostdt⒉计算以下积分：⑴arcsinxdx⑵lnx2dxx

解：⑴利用分部积分法

⑵利用分部积分法

高等数学（1）第六章学习指导

综合练习题

（一）单项选择题

（1）．以下式子中，正确的选项是（）。

2f(x)dx0.af(x)dxb2bf(x)dx11axdx.13x2dx12dt0x2dx03t00(2).以下式子中，正确的选项是（）

0cosx./costdtx2costdtcosxxx00.cosxcostdtcostdt00(3)以下广义积分收敛的是（）。

x10edx.dx1x10cosxdx.1x2dx(4)若f(x)是[aa,a]上的连续偶函数，则f(x)dx()。a0f(x)dx．0aC．20af(x)dxD．f(x)dxa0若f(x)与g(x)是[a,b]上的两条圆滑曲线，则由这两条曲线及直线

xa,xb所围图形的面积().bb(f(x)g(x))dxf(x)g(x)dx.aabbg(x))dx(g(x)f(x))dx.(f(x)aa答案：（1）A；（2）D；（3）D；（4）C；（5）A。

解：（1）依据定积分定义及性质可知A正确。

ab而f(x)dxf(x)dxB不正确。ba在（0，1）区间内x2x12dx1xxdxC不正确。00依据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限相关，而与积分变量的选用没关。故D不正确。

(2)由变上限的定积分的观点知x

0

costdt

cosx

,

costdt

cosx

∴A、C

不正确。

0

x

由定积分定义知

B不正确。

正确。(3)exdxbexdxlim(ebe0)∴A不正确。0lim0bb1dxb1dxbln1)∴B。不正确。1lim1limlnx1lim(lnbxbxbbb∴C。不正确。0cosxdxlim0cosxdxlim(sinbsin0)不存在。bbD

正确

（4）由课本344页（6—4—2）和345页（6—4—3）知C。正确。

（5）所围图形的面积一直是在上边的函数减去在下边的函数∴A正确。（二）填空题xcostdt(1)lim0_________x0x

(2)设F(x)1则F(x)____________.x2etdt,(3)在区间0,2上，曲线ysinx和x轴所围图形的面积为______________。(4)24x2dx______________0(5)p_________,无量积分1dx发散＞＞axp(a0p0)答案：

xcostdt解：（1）lim0xx0（2）F(x)x2etdt,1

limcosx1cos0x01F(x)(x2etdt,)ex2(x2)2xex21

（2）所围图形的面积S=2sinxdx2cosx02coscos040（3）由定积分的几何意义知:定积分的值等于（4）y=所围图形的面积∴22124x2045）p≤1时无量积散发散。

（三）计算以下定积分

4(1）2xdx0

1(2）x(1x)dx0

（3）e1lnxdxx

（4）1212dxxx0（5）2xsin2xdx0答案：42xdx241x2)2(1x22x)44(1）(2x)dx(x2)dx(2x0200222(2）x(1x)dx(231x2)110320

7

6

（3）e1lnxdx(1lnx)d(1lnx)1(1lnx)2ee1x121（4）1x21x2dx0

3

2

解:设xsint1(0t)dx1costdt12(5)2xsin2xdxxcos2x2022cos2xdxsin2x2440210140原式222tdt2sin22tdt1cos4t1102)sintcos442dt(x02sin4t（四）定0积分应用0028416求由曲线yx1,及直线yx,y2所围平面图形的面积解：画草图求交点由y=x,xy=1得x==1y

2y=2

y=x所求平面图形面积211y220xy=1A1(y)dy(lny)1y2x第七章综合练习题

3ln22

（一）单项选择题1、若（）建立，则级数an发散，此中Sn表示此级数的部分和。n1A、limsn0；B、an单一上涨；nC、liman0D、liman不存在nn2、当条件（）建即刻，级数(anbn)必定发散。n1A、an发散且bn收敛；B、an发散；n1n1n1C、bn发散；D、an和bn都发散。n1n1n13、若正项级数an收敛，则（）收敛。n1A、anB、an2n1n1C、(anc)2D、(anc)n1n14、若两个正项级数an、bn知足，anbn(n1,2,)则结论（），是正确的。n1n1A、an发散则bn发散；B、an收敛则bn收敛；n1n1n1n1

C、an发散则bn收敛；D、an收敛则bn发散。n1n1n1n15、若f(x)=n0anxn,则an=()。A、(f(0))(n)Bf(n)(x)、Cf(n)(0)D、1n!n!n!n!答案：1、D2、A3、B4、A5、C（二）填空题1、当q_________时，几何级数anqn收敛。n0、级数(11)是___________级数。2nnn153、若级数an收敛，则级数an_____________。n0n04、指数函数f(x)=ex展成x的幂级数为__________________。5、若幂级数anyn的收敛区间为（—9，9），则幂级数an(x3)2n的收敛区间为n0n0___________。答案：1、<12、发散3、收敛4、xn、C(0,6)n0n!（三）计算题

1、判断以下级数的收敛性

⑴1⑵3nn!⑶(1)nn1n(n1)n1nnn1n1

解：⑴此正项级数的通项知足n(n1)n2n=2,3,.

因为1收敛，则由比较鉴别法可知1收敛。n1n2n1n(n1)an13n1(n1)!⑵limlimn1n1lim3(n)nlim33>1annn1nenn3(n)!n1nnn(1)n则由比值鉴别法可知3nn!发散。1nnn⑶因为(1)n是交织级数，且an=111an1,n1,2,...n1nnn及limanlim10，由莱布尼兹鉴别法知级数(1)n收敛。nnnn1n2、求以下幂级数的收敛半径

⑴xn⑵(x1)2nn4nnn1n1解：⑴liman1limn1所以收敛半径R=1，nannn1⑵令(x1)2y,得幂级数ynnn14n可知yn1的收敛半径为limann1n14nn4，所1lim4n1(n1)lim以原幂级数的收敛半径nann1n4(n1)4第4nn八章综合练习题及参照答案

（一）单项选择题

1、以下阶数最高的微分方程是（）。

A、；yy(y)3sin(xy)B、xy5yy56yx3；C、y6y4x2D、(y)22yyx02、以下一阶微分方程中为可分别变量的微