2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第七章第4讲基本不等式Word版解析版

[基础题组练]1的最小值为( )1．(2020安·徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则xyA．1B．2C．3D．4分析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，（x＋y）22所以xy≤4＝2＝1，41所以xy≥1.2．以下选项中，正确的选项是()1的最小值为2A．x＋x44，x∈(0，π)B．sinx＋sinx的最小值为C．x2＋1的最小值为2D．4x(1－x)的最大值为1分析：选D.关于A，当x<0时，x＋1<0，错误；关于B，当x∈(0，π)时，0<sinx≤1，x由基本不等式可得sinx＋4≥2sinx·4＝4，当且仅当sinx＝4，即当sinx＝2sinxsinxsinx时，等号成立，这与0<sinx≤1矛盾，错误；关于C，因为x2≥0，x2＋1≥1，当且仅当x＝0时取等号，所以，x2＋1的最小值为1；4x(1－x)≤4·x＋1－x2关于D，由基本不等式可得＝1，当且仅当x＝1－x时，即当x2＝1时，等号成立，正确．23．设x>0，则函数y＝x＋2－3的最小值为()2x＋121A．0B.23C．1D．2分析：选A.y＝x＋2－3＝x＋1＋1－2≥2x＋1·1－2＝0，当且仅当x2x＋122121x＋2x＋2＋1＝1，即x＝1时等号成立．所以函数的最小值为0.应选A.212x＋24．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8a＋b）2分析：选B.法一：因为a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且4仅当a＝b＝2时取等号，应选B.1111ab≥2＋2＝4，当且仅当a法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋ababba＝b＝2时取等号，应选B.法三：由题意知a＝bb＋b＝2＋b－1＋1≥2＋2＝4，当且b－1(b>1)，所以a＋b＝b－1b－1仅当a＝b＝2时取等号，应选B.5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总储存花费为4x万元．要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则x的值是．分析：一年购买600次，则总运费与总储存花费之和为600×6＋4x＝4900＋xxxx900≥8x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总储存花费之和最小时x的值是30.答案：30x26．函数y＝x＋1(x>－1)的最小值为．分析：因为y＝x2－1＋11＋1＝x＋1＋1－2(x>－1)，x＋1＝x－x＋1x＋1所以y≥21－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．答案：07．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为，1＋2的最小值为．ab分析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝1a·2b≤1×a＋2b2222时等号成立，所以ab的最大值为2，因为1＋2＝＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1ab12a＋2b＝15＋2b＋2a≥15＋2·2b2a9，所以1＋2＋·444·＝，当且仅当a＝b时等号成立ababab4ab的最小值为94.答案：2948．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x>0，y>0，82≥2828则1＝＋·＝.xyxyxy得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，则x＋y＝8＋2·(x＋y)y＝10＋2x8y2x8y＋≥10＋2·＝18.yxyx当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．设a>0，若关于x的不等式a≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()x＋x－1A．16B．9C．4D．2分析：选C.在(1，＋∞)上，x＋a＝(x－1)＋a＋1≥2（x－1）×a＋1x－1x－1（x－1）2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)．由题意知2a＋1≥5，所以a≥4.1＋1＝1，则x＋y的最小值为( )2．(2020陕·西铜川一模)已知x>0，y>0，且x＋1y2A．3B．5C．7D．9分析：选C.因为x>0，y>0.且1＋1＝1，所以x＋1＋y＝21＋1x＋1y2x＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1yx＋1yx＋1yx＋1＋x＋1＋y)≥22＋2x＋1·y＝8，当且仅当x＋1＝y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，应选C.3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为；②若1＋4≥a恒xy成立，则实数a的取值范围是．分析：因为x＋y＝1，所以xy≤x＋y21×2＝1，＝1，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－24421所以x2＋y2的最小值为2.若a≤1＋4恒成立，则a小于等于1＋4的最小值，因为1＋4＝1＋4y＋4xxyxyxyxy(x＋y)＝5＋xy≥5＋2y×4x＝9，所以1＋4的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．xyxy答案：1(－∞，9]21＋2＝1，则xy＋x＋y的最小值为．4．(2020洛·阳市统考)已知x>0，y>0，且xy121