数学建模常用综方法合评价

常用综合评价方法介绍主讲人：张先君手机Q：2899945082LOGO配色方案修改：配色方案在【格式】-->【幻灯片设计】-->【配色方案】-->【编辑配色方案】下调整。LOGO的添加：Logo添加修改在【视图】-->【母版】-->【幻灯片母版】下调整。直接选择logo图片删除或修改。字体格式的设置：标题和文本格式的设置在【视图】-->【母版】-->【幻灯片母版】下调整。默认设置：首页主标题40号（中文微软雅黑英文Arial）加粗；副标题24号（中文微软雅黑英文Arial）加粗内页标题36号（中文微软雅黑英文Arial）加粗；内页内容文字32号（微软雅黑）2综合评价概述一、综合评价的基本概念二、综合评价的一般步骤三、综合评价的局限性一、综合评价的基本概念评价（evaluation）：所谓评价，即价值的确定，是通过对照某些标准来判断测量结果，并赋予这种结果以一定的意义和价值的过程。综合评价（syntheticalevaluation）：对一个复杂系统用多个指标进行总体评价的方法。一、综合评价的基本概念综合评价方法：又称为多变量综合评价方法、多指标综合评估技术。综合评价是对一个复杂系统的多个指标信息，应用定量方法（包括数理统计方法），对数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评价方法。一、综合评价的基本概念综合评价一般表现为以下几类问题：ａ分类——对所研究对象的全部个体进行分类；ｂ比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；ｃ考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。二、综合评价的一般步骤1．确定综合评价的目的2．确定评价指标和评价指标体系3．确定各个评价指标的权重4.求单个指标的评价值5.求综合评价值对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是科学研究与决策的过程，原则上应包括设计、收集资料和分析资料几个基本阶段，实施中应着重注意以下几个基本环节。①选择恰当的评价指标(evaluationindicator)②确定各评价指标权重③合理确定各单个指标的评价等级(evaluationgrade)及其界限④建立综合评价模型(syntheticalevaluationmodel)⑤确定多指标综合评价的等级数量界限，并根据实践对已建立模型考察、修改及完善。研究目的二、综合评价的一般步骤1.指标的选取筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又相互独立的指标组成评价指标体系。系统分析法（Systemreview）和文献资料分析优选法是常用的评价指标筛选法。1.1评价指标的基本要求基本要求①代表性：各层次指标能最好地表达所代表的层次。②确定性：指指标值确定，其高低在评价中有确切含义。③区别能力/灵敏性：即指标值有一定的波动范围，而且其高低在评价中有确切的含义。④独立性：即选入的指标各有所用，相互不能替代。选择综合评价指标1.2系统分析法及文献资料

分析优选法筛选指标缺乏有关历史资料，或指标难以数量化时系统分析法(systematicanalysismethod)：是一种常用的凭经验挑选指标的方法，首先将所有备选指标按系统（或属性、类别）划分，再通过座谈或填调查表的方法获得对各指标的专家评分，确定主次，再从各系统内挑选主要的指标作为评价指标。

文献资料分析优选法：即全面查阅有关评价指标设置的文献资料，分析各指标的优缺点并加以取舍。

1.3常用客观筛选指标方法逐个指标进行假设检验的方法：是在掌握有关历史资料基础上，依照可能的评价结果将评价对象分组，并对各指标进行假设检验，挑选有统计意义的指标作为评价指标。多元回归与逐步回归法：多元回归分析挑选标准化偏回归系数绝对值较大或偏回归系数假设检验有显著性的指标作为评价指标；逐步回归有自动挑选主要影响指标的功能，是目前最常用的指标挑选方法。指标聚类法：在存在众多指标的情况下，可将相似指标聚成类，再从每类中找一个典型指标作为代表，从而用少量几个典型指标作为评价指标来代表原来众多的指标建立评价模型。1.4指标筛选建议在实际工作中，往往综合使用多种方法进行指标筛选，在获得较为满意的专业解释的基础上，优先考虑那些被多种方法同时选入的指标。

2.指标的权重估计

确定指标权重方法主观定权法客观定权法专家评分法成对比较法Saaty权重法秩和比法相关系数法其它方法模糊定权法熵权法

定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。三、综合评价的局限性综合评价方法很多，各种方法得出的结果不可能完全相同，并且都带有一定的相对性和局限性。（1）将若干个指标数值综合成一个数值，损失了原有指标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；（2）主观性很强，选择什么指标、选择多少指标，权数的分配都很主观；（3）评价的结果不具有惟一性。选择不同的方法，可能有不同的结果，即使采用同样的方法，由于各指标的赋值不同、权重不同等，也有可能使评价结果不同。常用综合评价方法一、计分法二、综合指数法二、Topsis法三、秩和比(RSR)法四、层次分析(AHP)法五、模糊评价方法六、多元统计分析方法七、灰色系统评价方法一、计分法1.综合计分法根据评价目的及评价对象的特征选定必要的评价指标逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示以恰当的方式确定各评价指标的权数选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍特点：简便易行，过于粗糙。一、计分法2.排队计分法将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）。排队计分法的优缺点优点：简便易行，勿须另寻比较标准；各单项评价值有统一的值域；适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）缺点：原始数据信息的损失较大。二、综合指数法一个或一组变量对某特定变量值大小的相对数称指数，反映某一事物或现象动态变化的指数称个体指数，综合反映多种事物或现象动态平均变化程度的指数称总指数，综合指数编制总指数的基本计算形式，定量地对某现象进行综合评价的方法称综合指数法个体指数的计算：高优指标的个体指数p，为实测值X与标准值M的商p＝X/M

低优指标的个体指数

p＝M/X综合指数I较为复杂，没有统一的表达形式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法Ki为单项评价指数：综合评价指数公式为：

评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。但必须同向化。一般是把逆指标转化为正指标——采用倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好。二、综合指数法（举例：加权指数法）试比较三个地区的综合经济效益。二、综合指数法三个地区的综合经济效益指数分别为：=110.31%

=116.67%=99.11%二、综合指数法三、Topsis法TOPSIS（Techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）法，即逼近理想解排序法，意为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。1.设有n个评价对象、m个评价指标，原始数据可写为矩阵X＝(Xij)n×m

2.对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换

三、Topsis法3.归一化得到矩阵Z＝(Zij)n×m，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为Z＋＝(Zmax1

Zmax2…

Zmaxm)

Z－＝(Zmin1

Zmin2…

Zminm)

4.第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为5.第i个评价对象与最优方案的接近程度Ci为三、Topsis法例

某儿童医院1994～1998年7项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这5年的医疗质量三、Topsis法变换后，得到矩阵

平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余为高优指标，同向化、归一化变换三、Topsis法计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为Z＋＝(0.48330.48050.46340.81780.47760.44870.5612)Z－＝(0.41420.40810.43210.20240.39160.44550.3118)三、Topsis法计算各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）C1＝0.2497/(0.6289＋0.2497)＝0.2842计算接近程度（以94年为例）可以看出，1998年综合效益最好，其次为1995年，随后为1994年、1997年，1996年最差三、Topsis法四、秩和比(RSR)法•是利用秩和比RSR（Rank-sumratio）进行统计分析的一组方法。•RSR是一个内涵较为丰富的综合性指标，具有0—1连续变量的特征，它以非参数分析方法为基础，通过指标数（列）、分组数（行）作秩的转换，再运用参数分析的概念和方法研究RSR的分布，解决多指标综合评价问题。设有m个指标，对n组数据进行评价，形成n行m列的数据阵，则各行，

其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小RSR=1/n，最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法分别对要评价的各项指标进行编秩计算各指标的秩和比（RSR）确定RSR的分布求回归方程排序分档四、秩和比(RSR)法采用秩和比法对某病区护士的4项考核指标进行综合评价业务考试成绩（X1）操作考核结果（X2）科内测评（X3）工作量考核（X4）四、秩和比(RSR)法第一步，分别对要评价的各项指标进行编秩遇相等评分时，取平均等级。四、秩和比(RSR)法第二步，计算各指标的秩和比（RSR）其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法第三步，确定RSR的分布RSR→频数f→累积频数→秩号范围→平均秩次→累积频率→Y（概率单位）。

Y为RSR的累积频率对应的概率单位值，Y=uα+5，uα标准正态分布的上分位点（α=/n）四、秩和比(RSR)法RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布第四步，求回归方程：RSR=A+BY经相关和回归分析，应变量RSR与自变量概率单位Y之间具有线性相关（r=0.9528）线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比(RSR)法第五步，根据RSR值排序分档最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性。最佳分档准则为每档至少2例，尽量多分几组。最佳分档步骤，首先进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档。四、秩和比(RSR)法将各护士护理考核指标合理分档，分差、良、优三档。四、秩和比(RSR)法经方差齐性检验X2=2.3006，P>0.05，说明各档方差一致方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著差异两两比较，P<0.05,说明各档彼此之间均有差异，达到了最佳分档。四、秩和比(RSR)法常用分档数及对应概率单位

层次分析法(AnalyticHierarchyProcess,简称AHP)：由美国科学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出一种以定性与定量相结合的、系统化、层次化分析问题的方法。它是用系统分析的方法，对评价对象依评价目的所确定的总评价目标进行连续性分解,得到各级（各层）评价目标，并以最下层指标作为衡量目标达到程度的评价指标。然后依据这些指标计算出一综合评分指数对评价对象的总评价目标进行评价，依其大小来确定评价对象的优劣等级。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们的思维过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据。五、层次分析法层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。五、层次分析法1.建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

最高层：决策的目的、要解决的问题。

最低层：决策时的备选方案。

中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。下面举例说明。例1大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。工作选择可供选择的单位P1’

P2，Pn

贡献收入发展声誉工作环境生活环境目标层准则层方案层目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.2构造判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，例如图中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重(权值）并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。怎样来确定合理的权值？五、层次分析法Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为五、层次分析法判断矩阵元素aij的标度方法标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij

设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地目标层O(选择旅游地)准则层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况可作为一个排序向量成对比较满足的正互反阵A称一致阵。

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，Saaty等人建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质但允许范围是多大？如何界定？3.层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。

定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n定理：n

阶正互反阵A的最大特征根

n,当且仅当

=n时A为一致阵由于λ

连续的依赖于aij

，则λ

比n

大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n

数值的大小来衡量A的不一致程度。定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI。方法为Saaty的结果如下随机一致性指标RI则可得一致性指标随机构造500个成对比较矩阵一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。

一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对aij

加以调整。时，认为定义一致性比率：“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

精确计算的复杂和不必要

简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均列向量归一化求

行

和

归

一

化精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0104.层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。对总目标Z的排序为的层次单排序为即B

层第i

个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：AB层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。

到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002

…

5

=3.0权向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地第3层对第2层的计算结果

w(