广东省2023届高三全真模拟卷数学理科18

广东省2023届高三全真模拟卷数学理科18一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知，函数的定义域为则（）C A．B．C．D．2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为BA．B．C．D．3.已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）DA.B.C. D.与平面M成等角4.函数的图象的大致形状是（）.D5．长方体中，为的中点，，，，则AA．B．C．D．6．如果实数满足:，则目标函数的最大值为CA.2 B.3 C. D.47．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.BA．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时8．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=,这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么的值为()CA．21 B．76 C．264 D．642二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．中，，，，为中最大角，为上一点，，则．10．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：晚上白天雄性雌性从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99%参考公式：，其中11．的值等于____________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是____________．．12345678123456789使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则______AAODCPB15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函的部分图象如图所示：(1)求的值；(2)设，当时，求函数的值域．解：(1)由图象知：，则：，……………2分由得：，即：，…4分∵∴。………6分(2)由(1)知：，……………7分∴，………10分当时，，则，∴的值域为。………………12分17．(本小题满分12分)有５个大小重量相同的球，其中有３个红球２个蓝球，现在有放回地每次抽取一球，抽到一个红球记１分，抽到一个蓝球记分．（1）表示某人抽取３次的得分数，写出的分布列，并计算的期望和方差；（2）若甲乙两人各抽取３次，求甲得分数恰好领先乙２分的概率．解：（１），其分布列为31P（4分）的期望是（5分）的方差是（6分）答：的期望是，的方差是（7分）（２）若“甲得分数恰好领先乙２分”为事件，包含以下三个基本事件，即甲得3分乙得1分、甲得1分乙得分或甲得分乙得分，（9分）则（11分）答：甲得分数恰好领先乙２分的概率是（12分）18．(本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点、，已知，的垂直平分线交于，当点动点时，点的轨迹图形设为（1）求的标准方程；（2）点为上一动点，点为坐标原点，设，求的最大值．解：（Ⅰ）．设是的垂直平分线，点的轨迹图形是为焦点的椭圆（3分）其中，，，（5分）点的轨迹图形：（7分）（Ⅱ）设，则，（8分）（9分）（10分）点满足，，（11分）（12分）当时，当时，设，则，（13分）因为，所以，当且仅当时，即时，取得最大值．（14分）19．(本小题满分14分）如图（1），是直径的上一点，为的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（２）的位置．（1）求证异面直线和互相垂直；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．（1）证明：等边三角形中，为的切线，为切点，且为中点以为折痕将翻折到图（２）的位置时，仍有，（2分）平面（4分）（5分）（2）解：在图（2）中，过作于，连接，平面平面（7分）图（1）中，为的直径，为的切线，为切点，中，，（8分）重合平面（10分），过作平面于，过作于，连接则平面，就是二面角的平面角（11分）由三棱锥的体积得（12分）等腰三角形中，二面角的正弦值的正弦值为．（14分）20．(本小题满分14分）设数列{an}为前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn=nan，且数列{bn}的前n项和为(n-1)Sn+2n(n∈N*)．(1)求a1,a2的值；(2)求证：数列{Sn+2}是等比数列；(3)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：eq\f(12,5)＜eq\f(Tn+1,Tn)≤eq\f(11,3)。解：(1)由题意得：a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2当n=1时，则有：a1=(1-1)S1+2，解得：a1=2；当n=2时，则有：a1+2a2=(2-1)S2+4，即2+2a2=(2+a2)+4，解得：a2(2)由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n，……a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=nSn+1+2(n+1)②-①得：(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2，（4分）即(n+1)(Sn+1-Sn)=nSn+1-(n-1)Sn+2，得Sn+1=2Sn+2；∴Sn+1+2=2(Sn+2)，（5分）由S1+2=a1+2=4≠0知数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列。（6分）(3)由(2)知Sn+2=4×2n-1-2=2n+1-2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n对n=1也成立，即an=2n，∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（8分）∴当n=2k-1(k∈N*)时，Tn=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k-2)=(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k-3)=eq\f(4(1-8k),1-8)+=eq\f(5,7)×8k-eq\f(12,7)，Tn+1=Tn+cn+1=eq\f(5,7)×8k-eq\f(12,7)+23k=eq\f(12,7)×8k-eq\f(12,7)，（9分）eq\f(Tn+1,Tn)=eq\f(12×8k-12,5×8k-12)=eq\f(12,5)+eq\f(84,5(5×8k-12))，（10分）∵5×8k-12≥28，∴eq\f(12,5)＜eq\f(Tn+1,Tn)≤3。（11分）∴当n=2k(k∈N*)时，Tn=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k)=eq\f(4(1-8k),1-8)+eq\f(8(1-8k),1-8)=eq\f(12,7)×8k-eq\f(12,7)，（12分）Tn+1=Tn+cn+1=eq\f(12,7)×8k-eq\f(12,7)+23k+2=eq\f(40,7)×8k-eq\f(12,7)，（13分）∴eq\f(Tn+1,Tn)=eq\f(40×8k-12,12×8k-12)=eq\f(10,3)+eq\f(7,3(8k-1))，∵8k-1≥7，∴eq\f(10,3)＜eq\f(Tn+1,Tn)＜eq\f(11,3)，∴eq\f(12,5)＜eq\f(Tn+1,Tn)≤eq\f(11,3)。（14分）21．（本小题满分14分）函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，讨论的单调性；（3），当，时，恒有解，求