自动控制-05c开环频率特性曲线的绘制

5-3.2、开环频率特性曲线的绘制

一、开环幅相曲线的绘制

根据系统开环频率特性的表达式可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：

1、开环幅相曲线的起点（ω

=0+）和终点（ω=

∞）。

2、开环幅相曲线与实轴的交点

设ω=ωx时，G(jωx)H(jω

x)的虚部为称ωx为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点坐标值为：

例5-1设某0型系统的开环传递函数为

已知。试绘制系统的开环幅相频率特性。

解

系统的开环频率特性为

将上式作有理化处理

则：

而

将代入如上的实频特性和虚频特性以及幅频特性和相频特性的计算式中，当取不同的值时可得如表5-4所示的开环系统的频率特性数据。

表5-4系统的频率特性数据

利用上表中的数据在复平面上可绘出幅相频率特性如图5-25所示。

图5-25例5-1系统的幅相频率特性为精确求频率特性和负虚轴的交点坐标，可令实部为0

从而可得的值，再将的值代入虚部方程即可求得曲线与虚轴的交点坐标。

例5-2设某Ⅰ型系统的开环传递函数为

试绘制系统的开环幅相频率特性曲线。

解

该系统的开环频率特性为

将上式进行有理化处理有

而

当ω＝0时表

明低频率段的渐近线是一条过实轴－K(T1+T2)点且平行于虚轴的直线。

当ω→∞时

可见，此时高频段是以－270°作为极限角而卷入坐标原点的。

完整的幅相频率特性曲线如图5-26所示。曲线从点[－K(T1+T2)，－

jω]出发，跨越负实轴进入第二象限，并以正虚轴为渐近线卷向坐标原点。为精确求得曲线与负虚轴的交点，可令虚频特性为0，解之得交点角频率将此值代入实频特性表达式可求得曲线与实轴交点交点为：

图5-26例5-2系统的幅相频率特性

在绘制系统的开环极坐标时，应注意曲线所具有的一些特征。例如：当ω→0时低频段曲线从何处出发？而当ω→∞时的高频段特性曲线以什么姿态卷向原点？曲线在ω值为多大时跨越实轴或虚轴？跨越点的坐标值如何？等等。后两个问题我们已经作过说明，下面讨论前两个问题。

设系统开环传递函数中含有V个积分环节，其相应的频率特性为

式中当ω→0时低频段表达式为

则

当ω→∞时的高频段，由于所以

根据相角特性得当，特性曲线沿负虚轴卷向原点；当，特性曲线沿负实轴卷向原点；当，特性曲线沿正虚轴卷向原点；图5-27极坐标图的低频段图5-28极坐标的高频段二、开环对数频率特性的绘制

如图5-29所示系统，其开环传递函数为则其对应的频率特性为：图5-29由两个环节串联而成的系统●由上可见，只要绘出各环节的对数幅频特性分量，再将各分量的纵坐标相加，就可得到整个系统的开环对数幅频特性。同理，将各环节的相频特性分量相加，就成为系统的开环对数相频特性。图5-30两环节系统的Bode图含有多环节的系统的开环对数频率特性的绘制思路：确定低频渐近线的斜率和位置→确定线段交接的频率以及交接后线段斜率的变化量→由低频到高频绘制开环系统的特性曲线。

1、低频渐近线段的确定

前面我们已得到

则

上式是一个线性方程，易知直线的斜率为即低频渐近线的斜率与系统阶数V有关，如图5-31。

图5-31低频段的斜率与位置的关系2、交接频率及交接后斜率变化量的确定

对于式

其交接频率分别为曲线经过时，斜率的变化量为+20dB/dec；

曲线经过时，斜率的变化量为-20dB/dec；曲线经过时，斜率的变化量为+40dB/dec；曲线经过时，斜率的变化量为-40dB/dec。依据如上分析，我们可归纳出绘制系统开环Bode图的一般步骤和方法如下：

（1）将系统开环频率特性写成以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘的形式。

（2）求出各环节的交接频率，并从小到大依次标在对数坐标图的横坐标上。（3）按传递系数K计算20lgK的分贝值，过ω=1这一点，绘出斜率为的直线，此即为低频段的渐近线（或其延长线）。（4）从低频渐近线开始，沿ω轴从左到右即沿着频率增大的方向，每遇到一个交接频率，就按上述规律改变一次对数幅频特性曲线的斜率，直至经过全部交接频率为止。

（5）若有必要，可利用误差曲线对幅频特性的折线群加以修正，最终获得精确的对数幅频特性的光滑曲线。（6）对数相频特性可直接利用相频特性表达式逐点计算而得。对于式

其相频表达式为

以及

例5-3某系统的开环传递函数为

试绘制系统的开环对数频率特性。

解

将开环传递函数转换为标准形式

其对应的频率特性表达式为

（2）在处，（3）过点画一条斜率为的斜线，以此作为低频渐近线。

（4）因第一个交接频率，故低频渐近线画至止，经过后曲线的斜率应为；当曲线延伸至第二个交接频率时，斜率又恢复为直至时，曲线斜率再增加，变为的斜线。

根据上述分析可画出系统的开环对数幅频特性曲线如图5-32所示。

直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤如下：

（1）交接频率为

图5-32例5-3系统的Bode图表5-4例5-3系统开环相频特性数据

系统开环对数相频特性表达式为

逐点计算结果如表5-4所示。

00.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.0如图5-32所示曲线穿越横坐标时的频率称为截止频率，又称零分贝频率，常用表示。

我们可以计算得到，其对应的相角为图5-33例5-4系统的结构图例5-4试绘制图5-33所示系统的开环对数特性渐近线。

解

系统的开环传递函数为

其频率特性表达式为

（3）画分段折线，最终得如图5-34所示的对数幅频特性渐近线。

绘图步骤：（1），找出各交接频率（2）找点时，

图5-34例5-4系统的对数幅频特性三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统

三类开环传递函数：

（1）最小相位系统：传递函数的全部极点均位于s平面的左半部，而没有零点落在右半s平面上，则这种传递函数称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。

（2）非最小相位系统：传递函数的全部极点均位于s平面的左半部，但有一个或多个零点落在右半s平面上，则这种传递函数称为非最小相位传递函数。具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。

（3）开环不稳定系统：传递函数有一个或多个极点落在s平面的右半部，则这种传递函数称为开环不稳定传递函数。具有开环不稳定传递函数的系统称为开环不稳定系统。

“最小相位”与“非最小相位”的概念来源于网络理论。它指出：在具有相同幅频特性的一类系统中，当从0变至时，最小相位系统的相角变化范围最小，而非最小相位系统的相角变化范围通常要比前者大，故而得名。

例如，两个系统的开环传递函数分别为

则两系统的对数幅频特性和对数相频特性的表达式分别为图5-35最小相位系统和非最小相位系统的Bode图必须指出，非最小相位传递函数的定义中，有关极点的条件限制是必须的。若允许极点落在右半s平面，则相角变化范围可能比之具有相同幅频特性的最小相位传递函数的相角变化还要小。

例如，有三个系统

其频率特性表达式为

则

图5-36最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统Bode图

对于最小相位系统，一条对数幅频特性曲线只能有一条对数相频特性曲线与之对应。因此对于最小相位系统只要绘出对数幅频特性就够了。

系统含有延迟环节则属于非最小相位系统。原因

可见其开环传递函数必有位于右半s平面的零点。

例5-5已知某最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图5-37所示。试写出该系统的开环传递函数。

解

（1）低频渐近线的斜率为[-20]，根据

故系统有且仅有一个积分环节即

图5-37例5-5系统的对数幅频特性（2）因低频渐近线在处的对数幅值为15dB

（3）在处，对数幅频特性渐近线的斜率由[-20]变为[-40]，故是惯性环节的交接频率，

（4）在处，特性曲线的斜率由[-40