（文） 第2讲 集合 教案

第二讲集合适用学科数学适用年级高三（文）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点集合的含义与表示集合间的基本关系集合间的基本运算教学目标(1)集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集②在具体情境中，了解全集与空集的含义(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集③能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算教学重点集合是高中数学的重要内容，在高考中主要以选择题或填空题的形式出现，命题重点呈现三个方面：一是以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合之间的交、并、补集的基本运算和集合之间包含关系，这是历年高考的热点，难度一般为低档；二是以新定义集合以及集合运算为背景考查元素与集合之间的关系教学难点难度一般为中档或中偏高档；三是集合与其它知识相交汇，常与函数、方程、不等式、平面向量、几何概型、三角等知识相结合。教学过程一、知识讲解考点/易错点1集合有关概念1、集合的含义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合三要素：确定性、互异性、无序性。说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、常见集合：自然数集：N，正整数集合：N＊或N+，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R，复数集合：C.4、集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.5、集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.（3）描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.（4）图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.6、集合的分类（1）含有有限个元素的集合叫做有限集.（2）含有无限个元素的集合叫做无限集.（3）不含有任何元素的集合叫做空集().考点/易错点2集合间的基本关系1、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.真子集：如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2、子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或中的任一元素都属于（1）（2）（3）若且，则（4）若且，则或真子集（或），且中至少有一元素不属于（1）（为非空子集）（2）若且，则集合相等中的任一元素都属于，中的任一元素都属于（1）（2）3、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有个非空真子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.考点/易错点3集合间的基本运算1、并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：.2、交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：.3、全集、补集：4、交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）补集（1）（2）二、例题精析【例题1】【题干】（2023·福建卷3）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．3C．4D．16【答案】C【解析】A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4个，故选C.【例题2】【题干】集合,，若，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】∵,,∴∴,故选D.【例题3】【题干】设集合，若，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。【例题4】【题干】已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个【答案】B【解析】由得，则，有2个，选B.【例题5】【题干】设集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，所以，故选B.【例题6】【题干】设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q＝________________.【答案】{1,2,3,4,6,7,8,11}【解析】P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．【例题7】【题干】(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可取值组成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求由m的可取值组成的集合．【答案】(1){0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}；(2){m|m≤3}．【解析】(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足S⊆P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－eq\f(1,a),为满足S⊆P可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合为{0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}．(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝，满足B⊆A；若B≠，且满足B⊆A，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．三、课堂运用【基础】1．（2023·北京卷1）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（）A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.2．（2023·安徽卷2）已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则＝（）A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1，0，1}D．{0，1}【答案】A【解析】因为A＝{x|x>－1}，所以＝{x|x≤－1}，所以＝{－2，－1}．3．（2023·天津卷1）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝（）A．(－∞，2]B．[1，2]C．[－2，2]D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．【巩固】1．（2023·福州模拟3）设集合A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))4x＋y＝6}，B＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))3x＋2y＝7}，则A∩B＝（）A．{x＝1或y＝2}B．{1，2}C．{(1，2)}D．(1，2)【答案】C【解析】解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6，,3x＋2y＝7，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故得到一个公共点，则交集为单元素点集，故选C.2．（2023·惠州三调1）已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}【答案】D【解析】因为B⊆A，所以考虑B≠即a≠0时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,a)))))，因此有－eq\f(1,a)∈A，所以a＝±1.特殊地，B＝即a＝0时满足条件，所以实数a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_______.【答案】1【解析】∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.4．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|eq\f(2,x－1)≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．【答案】{x|1<x≤2}【解析】题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}．【拔高】1．（2023·广州模拟5）已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)【解析】集合A＝{x|1≤x≤4}，由A⊆B得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＋a＋2≤0，,42－2×4a＋a＋2≤0，))解得a≥3.2．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－eq\f(1,2)<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】－eq\f(1,2)<a≤2.【解析】当a＝0时，显然B⊆A；当a<0时，若B⊆A，如图，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2)，,－\f(1,a)>2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－8，,a>－\f(1,2).))∴－eq\f(1,2)<a<0；当a>0时，如图，若B⊆A，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2)，,\f(4,a)≥2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≤2.))∴0<a≤2.综上知，当B⊆A时，－eq\f(1,2)<a≤2.3．已知集合A=，B=，若，求实数m的取值范围。【答案】【解析】不难求出A=，由，又，①若，即，则②若，即，，故由①②知：m的取值范围是课程小结1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意的特殊性．在利用A⊆B解题时，应对A是否为进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝.的情况，然后取补集.6．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．课后作业【基础】1．（2023·四川卷1）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}，则A∩B＝（）A．B．{2}C．{－2，2}D．{－2，1，2，3}【答案】B【解析】集合A与B中公共元素只有2.2．（2023·广东卷1）设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝（）A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】A【解析】S＝{－2，0}，T＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.3．（2023·新课标全国卷Ⅰ1）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}【答案】A【解析】集合B＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．【巩固】1．（2023·江苏卷4）集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.2．（2023·陕西卷1）设全集为R，函数f(x)＝eq\r(1－x)的定义域为M，则∁RM为（）A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)【答案】B【解析】M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故∁RM＝(1，＋∞)．3．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝，则实数a的取值范围是______________．【答案】a≤0或a≥6【解析】由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.4．已知集合A＝{x|eq\f(x－5,x＋1)≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．【答案】(1)A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}；(2)8【解析】由eq\f(x－5,x＋1)≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}