统计学第三章综合对指标

第三章综合指标

第一节总量指标第二节相对指标第三节平均指标第四节变异指标

第一节总量指标一、总量指标的概念与作用（一）总量指标的概念总量指标又称绝对指标或数量指标，是反映现象在一定时间、地点和条件下所达到的规模或水平的指标。（二）总量指标的作用1、反映现象总体的基本情况，是人们认识现象总体的起点。2、是制定政策、编制计划和实施管理的重要依据。3、是计算相对指标和平均指标的基础。二、总量指标的分类1、按反映总体内容不同，分为总体单位总量和总体单位总量。2、按反映总体所处时间状况不同，分为时期指标（流量）和时点指标（存量）。三、时期指标与时点指标的关系

（一）时期指标与时点指标的区别1、时期指标的值具有可加性，而时点指标的值则不具有可加性。2、时期指标值的大小与时间间隔的长短有直接关系，而时点指标值的大小与时间间隔的长短则没有直接关系。3、时期指标值是通过连续调查取得的，而时点指标值则是通过一次性调查取得的。（二）时期指标与时点指标的联系1、二者都属于总量指标。2、二者通常是相互影响的。

第二节相对指标

一、相对指标的意义二、相对指标的表示方法三、相对指标的种类四、计算和应用相对指标的原则一、相对指标的意义

（一）相对指标的概念相对指标又称相对数，是指两个有联系的统计指标对比所得之比值或比率。（二）相对指标的作用1、说明现象发展变化的结构、比例、速度、强度、普遍程度以及相互联系。2、深入说明总量指标不能说明的问题。二、相对指标的表示方法相对指标一般都用无名数表示，有些特殊的相对数则用有名数表示。三、相对指标的种类及其计算

（一）结构相对指标结构相对指标是指总体各部分数值与总体数值对比所得之比率。一般用百分数表示。计算公式为：（二）比例相对指标比例相对数是指总体中各部分的数值相互对比所得之比率。（三）比较相对指标

比较相对数是指某现象的某一指标在同一时间、不同空间上的数值对比所得之比率。（四）动态相对指标动态相对数是指某现象的某一指标在同一空间、不同时间上的数值对比所得之比率。（五）强度相对指标强度相对数是指两个性质不同、但又有一定联系的总量指标的值对比所得之比值或比率。

强度相对指标的表现形式

A、正指标（取值越大越好的指标）。

B、逆指标（取值越小越好的指标）。强度相对数与平均数的区别

①强度相对数的分子与分母分别属于两个不同的总体，而平均数的分子与分母则属于同一个总体。

②强度相对数的分子与分母一般可以互换，而平均数的分子与分母则绝对不可以互换。课堂作业指出下列指标哪些是平均数？哪些是强度相对数？职工人均工龄、职工人均产值、学生平均年龄、全国人均钢产量、全国人均水消费量、人口出生率（死亡率）（六）计划完成程度相对指标1、概念和基本公式计划完成程度相对数，又称为计划完成百分数或计划完成百分比，是指某现象的某一指标在同一时间、同一空间上的实际完成数与计划完成数对比所得之比率。2、计划完成百分数与计划完成情况的对应关系表表3-1

计划完成百分数（%）计划完成情况正指标逆指标大于100小于100等于100超额完成计划没有完成计划没有完成计划超额完成计划刚好完成计划3、计划完成百分数的计算

A、计划数为绝对数。

例3-1

某工业企业总产值资料如下表：表3-1

车间名称总产值（万元）计划完成百分数（%）计划数实际数（甲）（1）（2）（3）=（2）/（1）甲乙丙5011014080100140160.0090.91100.00合计300320106.67要求：计算各车间和全厂总产值的计划完成百分数。B、计划数为相对数时。

a.计划数为比率（比值）时。例3-2

某单位某产品的一级品率计划规定为40%，实际达到了45%，则其一级品率的计划完成百分数为：

45%÷40%=112.50%例3-3某单位的职工人均产值计划规定为50000元，实际达到了55000元，则其人均产值的计划完成百分数为：

55000÷50000=110%

b.计划数为差率时。

例3-4某单位的劳动生产率计划比去年提高5%，实际提高了8%，则其计划完成百分数为：

（1+8%）÷（1+5%）=102.86%

例3-5某单位某产品的单位成本计划规定比去年降低10%，实际只降低8%，则其计划完成百分数为：

（1-8%）÷（1-10%）=102.22%C、计划数为平均数。例3-16

某单位2003年职工的平均工资计划为15000元，实际达到了16600元，则其计划完成百分数为：

16600÷15000=110.67%4、长期计划执行情况的检查

（1）长期计划的含义

长期计划是指计划期限大于等于五年的计划。中期计划是指计划期限大于一年小于五年的计划。短期计划是指计划期限小于等于一年的计划。（2）长期计划的基本形式

A、水平计划——指只规定计划期最后一年应完成的任务的计划。此法适用于在计划期内逐年递增或逐年递减的现象。

B、累计计划——指只规定计划期内一共应完成的任务的计划。此法适用于在计划期内有升有降、且升降不定的现象。（3）检查内容及方法

A、长期计划执行进度的检查。

例3-7某地“九五”计划规定，整个“九五”期间应完成基本建设投资500亿元，到1998年底累计已完成450亿元，则：

时间过去百分比=3÷5=60%任务完成百分比=450÷500=90%因为90%大于60%，所以该地提前完成了“九五”基本建设投资的进度计划。B、长期计划执行结果的检查

（A）水平法例3-8我国“九五”计划规定，到“九五”计划最后一年，某矿物质的年产量应达到7200万吨，实际执行结果如下表：

表3-3时间第四年第五年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度产量（万吨）17001720173017501800184018501920要求：计算我国该矿物质“九五”计划完成百分数，并计算提前完成“九五”计划的时间。（B）累计法例3-9某重点企业“九五”计划规定应完成基建投资1500万元，各年实际完成情况如下表：

表3-4

要求：计算该企业基建投资“九五”计划完成百分数，并计算提前完成“九五”计划的时间。时间19961997199819992000上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度基建投资（万元）300260110200609015012050100160140

解答：四、相对指标的应用原则

1、正确选择对比的基数。2、保持分子与分母的可比性。3、多种相对指标综合运用。4、与总量指标结合应用。

5、与定性分析结合运用。第三节平均指标

一、平均指标的意义二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、众数六、中位数一、平均指标的意义

（一）平均指标的概念

平均指标又称平均数，是指某一数量标志在总体各单位上所达到的一般水平。（二）平均指标的特点将具体数值抽象化，用一个代表性的数字来代表总体的一般水平。（三）平均指标的作用

1、反映总体分布的集中趋势。2、比较同类现象在同一时间、不同空间上的水平。3、比较同类现象在同一空间、不同时间上的水平。二、平均指标的种类

算术平均数计算平均数调和平均数一般平均数（数值平均数）几何平均数（静态平均数）众数位置平均数平均数中位数

平均发展水平动态平均数平均增长水平（序时平均数）平均发展速度平均增长速度图3-1三、算术平均数

（一）概念和基本公式

算术平均数是指总体标志总量与总体单位总量对比所得之比值。一般用符号表示。其基本公式为：

（二）计算方法

1、简单算术平均法。

（1）适用对象。简单算术平均法适用于求未分组资料的平均数。根据简单算术平均法计算出来的平均数称为简单算术平均数。（2）计算公式

例3-10

某班组20名工人的周工资分别为：150、150、180、180、180、200、200、200、200、220、220、220、220、220、220、240、240、240、260、280元，则其平均工资为：2、加权算术平均法

（1）适用对象。加权算术平均法适用于对已分组的资料求平均数。根据加权算术平均法计算出来的平均数称为加权算术平均数。

（2）计算公式。

①已知变量值X和频数f时。例3-11某班组20名工人按周工资分组资料如下表：

表3-5按周工资分组（元）X工人人数（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980②已知变量值X和频率时。例3-12

某班组若干名工人按周工资分组的资料如下表：

表3-6按周工资分组（元）

X各组人数占总人数比重（%）f/∑f

X﹡f/∑f15018020022024026028010152030155515274066361314∑100211课堂作业

某班学生按统计学考试成绩分组资料如下表：

要求：计算该班学生的平均成绩。按成绩分组（分）人数（人）60以下60—7070—8080—9090以上4122572∑50课堂作业

某班学生按统计学考试成绩分组资料如下表：

要求：计算该班学生的平均成绩。按成绩分（分）各组人数占总人数比重（%）60以下60—7070—8080—9090以上82450144∑100（三）关于加权算术平均数的几点说明1、加权算术平均数同时受变量值和权数两个因素的影响。2、权数从形式上讲可以是频数f，也可以是频率f/∑f。3、对同一原始资料而言，用频数f与用频率f/∑f求出的平均数始终是相等的。4、权数对平均数的大小有权衡轻重的作用，即哪一个组的权数最大，计算出来的平均数就与该组的变量值最接近。

5、各组频率没变，不论频数是否变化，平均数始终都不变；各组频率发生变化，不论频数是否变化，平均数也发生变化。6、当各组权数（频数或频率）相等时，权数就失去了其应有的作用，此时，加权算术平均数就变成了简单算术平均数，所以说简单平均数是加权平均数在权数相等时的一个特例。7、根据组距数列计算平均数时，有一个假定条件，即假定各组变量值的平均数都等于其组中值。但是，由于各组变量值的平均数不一定都等于其组中值，因此，根据组距数列计算出来的平均数只是原来平均数的一个近似值。

（四）算术平均数的数学性质1、各变量值与其算术平均数离差的和等于0。即：

2、各变量值与其算术平均数离差平方的和为最小。即：｛｛性质1证明

证明：性质2证明证明：性质2证明证明：三、调和平均数

（一）概念和基本公式

调和平均数又称倒数平均数，是指各变量值倒数的算术平均数的倒数。一般用符号表示。其基本公式为：（二）计算方法

1、简单调和平均法。

（1）适用对象。简单调和平均法适用于对未分组资料求平均数。根据简单调和平均法计算出来的平均数称为简单调和平均数。

（2）计算公式。课堂作业

例3-13某种蔬菜在某个农贸市场早、中、晚的价格分别为（元/斤）：2.00、1.80、1.50，则：A、某人早、中、晚各买1斤时的平均价格是多少？B、某人早、中、晚各买1元时的平均价格是多少？2、加权调和平均法。

（1）适用对象。加权调和平均法适用于对已分组资料求平均数。根据加权调和平均法计算出来的平均数称为加权调和平均数。

实际工作中，加权调和平均数是作为加权算术平均数的“变形”应用的。

（2）计算公式（3）应用。

例3-14

某班若干名学生按年龄分组的资料如下表：

表3-7按年龄分（岁）X总年龄（岁）MM/X1819202122361905202104421026102∑100050

例3-15某公司所属甲、乙、丙三个企业的利润率和利润额资料如下表。要求计算甲、乙、丙三个企业的平均利润率。

表3-8企业名称利润率（%）X利润额（万元）MM/X甲乙丙151816753961045002200650∑—5753350

例3-16某单位2003年新、老职工的有关工资资料如下表。要求计算该单位新、老职工的平均工资。

表3-9职工类别平均工资（元）

X工资总额（元）MM/X新职工老职工1300017000455000011050000350650∑—156000001000四、几何平均数

（一）几何平均数的概念几何平均数是指N个比率连乘积的N次方根。一般用符号表示。

（二）几何平均数的计算方法

1、简单几何平均法。

（1）适用对象。

简单几何平均法适用于对未分组的N个比率求平均数。根据简单平均法计算出来的平均数称为简单几何平均数。

（2）计算公式

例3-17某企业生产某产品要经过五道工序，已知各工序的合格率分别为98%、95%、98%、97%和95%，要求计算五道工序的平均合格率。2、加权几何平均法。

（1）适用对象。

加权几何平均法适用于对已分组的N个比率求平均数。根据加权几何平均法计算出来的平均数称为加权几何平均数。

（2）计算公式

课堂作业某人在银行存款若干，存期10年，第一年至第二年的年利率为3%，第三年至第五年的年利率为5%，第六年至第九年的年利率为6%，第十年的年利率为8%。问：十年间平均年利率是多少？五、众数

（一）众数的概念

众数是指变量数列中出现次数最多的变量值。一般用符号表示。（二）众数的前提条件1、变量值必须分组。2、变量值要有明显的集中趋势。（三）众数的确定方法

1、由单项数列确定众数。

众数=频数（频率）最多组的变量值单众数——只有一个组的频数（频率）为最多。复众数——有两个组的频数（频率）一样为最多。例3-18某班50名学生按年龄分组的资料如下表。试确定其年龄的众数。（20岁）表3-10按年龄分（岁）人数（人）1819

202122201—02703—09

2810—3714—411202—13101∑50例3-19某班50名学生按年龄分组的资料如下表。试确定其年龄的众数。表3-11按年龄分（岁）人数（人）1819

20212227

20

201∑502、由组距数列确定众数。步骤：

①确定众数组。

众数组=频数（频率）最多的组②按下列公式求众数的近似值。（下限公式）

（上限公式）例3-20某班50名学生期末统计学考试成绩如下表：

表3-12按成绩分组（分）X人数（人）f60以下5560—7065

70—807580—908590以上95401—041205—16

2517—4172∑—50要求：计算该班学生考试成绩的算术平均数、众数和中位数。

解答：六、中位数

（一）中位数的概念

中位数又称为分割值，是指将变量值按大小顺序排列以后，位于数列中间位置的变量值。一般用符号表示。

（二）中位数的前提条件变量值必须按大小顺序排列。（三）中位数的确定方法1、由未分组资料确定。

（1）N为奇数时。（2）N为偶数时。

例3-21某党小组11名学生的年龄分别是21、22、18、23、22、19、19、19、20、21和21岁。试求其年龄的中位数。（21岁）18、19、19、19、20、21、21、21、22、22、23

例3-22某党小组10名学生的党课成绩分别为95、85、88、90、92、95、91、92、90和96分。试求其党课成绩的中位数（91.5分）

85、88、90、90、91、92、92、95、95、96

2、由已分组资料确定。

（1）由单项数列确定。例3-23资料见表3-10。要求确定该班学生年龄的中位数。（20岁）2、由组距数列确定中位数。步骤：①确定中位数组。

中位数组=（1+∑f)/2位置的变量值所在的组②由下列公式求中位数的近似值。七、各种平均数之间的关系

（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数的关系根据同一资料计算出来的算术平均数、调和平均数和几何平均数之间存在以下关系：

（二）正态分布时算术平均数、众数和中位数的关系1、对称分布时（图3-4）。2、右偏（正偏）分布（图3-5）时。3、左偏（负偏）分布（图3-6）时。算术平均数、众数和中位数的关系对称分布图3-2

均值=

中位数=

众数右偏（正偏）分布图3-3众数

＜中位数

＜均值左偏（负偏）分布图3-4均值

＜中位数

＜众数按成绩（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上11126111∑50按成绩（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上1526144∑50按成绩（分）人（人）60以下60—7070—8080—9090以上4142651∑50例3-24计算1、2、3、4、5五个数的算术平均数、调和平均数和几何平均数，并比较其大小。

第四节变异指标

一、标志变异指标的意义二、标志变异指标的种类三、方差的重要数学性质四、计算和应用平均指标的原则一、标志变异指标的意义

（一）标志变异指标的概念标志变异指标又称标志变动度，是反映某一数量标志在总体各单位上差异程度的一种统计分析指标。（二）标志变异指标的意义1、反映总体分布的离中趋势。2、说明平均数代表性的大小。3、反映生产经营活动过程的均匀性、均衡性和产品质量的稳定性。二、标志变异指标的种类

1、全距。

（1）全距的概念。

全距又称极差，是指变量值中最大变量值与最小变量值之差。全距一般用符号R表示。（2）全距的计算公式。2、平均差。

（1）平均差的概念。平均差是指各变量值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数。一般用符号D表示。（2）平均差的计算方法

①简单算术平均法。

A、适用条件。

简单算术平均法适用于对未分组资料求平均差。

B、计算公式。例3-25求1、2、3、4、5五个数的平均差。②加权算术平均法。

A、适用条件。加权算术平均法适用于求已分组资料的平均差。

B、计算公式。例3-26某班组20名工人按周工资分组资料如下表：按周工资分组（元）X工人人数（人）f

Xf150180200220240260280234631130054080013207202602801229344548749697442288348448625232401476120422051820980求工人周工资的平均差。3、标准差。

（1）标准差的概念。标准差又称均方差，是指各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。一般用符号表示。（标准差的平方称为方差，用表示。）（2）标准差的计算方法。

①简单算术平均法。

A、适用对象。简单算术平均法适用于求未分组资料的标准差B、计算公式。例3-27

求1、2、3、4、5五个数的标准差。②加权算术平均法。

A、适用对象。

加权算术平均法适用于求已分组资料的标准差。

B、计算公式。

例3-28资料见表3-1。求该班组工人周工资的标准差。4、离散系数。