机械振动基础第一章的PPT

单自由度系统的振动2023/2/21《振动力学》教学内容单自由度系统自由振动无阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动简谐激励下的受迫振动基础简谐激励下的受迫振动周期激励下的振动分析瞬态激励下的振动分析2023/2/22什么是自由度在振动过程中任何瞬时都能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标的数目。刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。单自由度系统仅需一个独立坐标来描述的系统。注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度不同时，则可能简化成不同自由度的振动系统。1.1概述2023/2/231.1概述构成机械振动系统的基本元素构成振动系统的基本元素有惯性(质量)、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。

惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。

恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。

阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。2023/2/24ModelingWhy？分析复杂的实际问题，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为建模。建模要抓住实际问题的主要因素。模型建立起来了，实际问题化成了数学问题。1.1概述单自由度系统振动方程2023/2/251.1概述Modeling实际系统有限元模型离散模型简化系统简化系统连续体模型对于振动问题的适应性强，应用范围广，能详细给出各种数值结果，并通过图像显示还可以形象地描述振动过程。单自由度系统振动方程2023/2/261.1概述动力学的基本原理自由度和广义坐标牛顿第二定律质系动量矩定理机械能守恒定律D’Alembert原理Lagrange方程单自由度系统振动方程2023/2/271.1概述步骤：

建立广义坐标作质量元件的隔离体受力分析图建立振动微分方程并整理成标准的形式单自由度系统振动方程2023/2/281.1概述Example1SDOFdampingsystem单自由度系统振动方程2023/2/291.1概述SDOFdampingsystem建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向下为正。

隔离体受力分析由力学原理得到Example2单自由度系统振动方程2023/2/2101.1概述PendulumExample3单自由度系统振动方程2023/2/2111.1概述Pendulum建立广义坐标。单摆偏离平衡位置的转角θ，坐标零位在铅垂位置，逆时针方向为正。隔离体受力分析

由动量矩原理得到Example3Rmg单自由度系统振动方程2023/2/2121.1概述VibrationoffluidExample4单自由度系统振动方程2023/2/2131.1概述Vibrationoffluid建立广义坐标。设系统平衡时液面的位置为广义坐标的零位，液柱沿直管上升的距离y为广义坐标。

受力分析由D’Alembert原理得到Example4单自由度系统振动方程2023/2/2141.1概述单自由度振动系统微分方程的一般形式单自由度系统振动方程2023/2/2152023/2/216力学模型给图示系统一个初始扰动。便会产生振动响应。其中δs为静变形。数学模型

即：1.2无阻尼系统的自由振动令：单位：弧度/秒（rad/s）则有：固有频率2023/2/217求解方程1.2无阻尼系统的自由振动令得到特征方程有If微分方程转变成代数方程

2023/2/2181.2无阻尼系统的自由振动2023/2/2191.2无阻尼系统的自由振动

简谐振动

固有频率固有圆频率固有频率

周期

振幅&相位只与系统本身元件的参数有关InitialconditionsPhysicalproperties无阻尼系统的振动特性2023/2/220

考虑系统在初始扰动下的自由振动

设的初始位移和初始速度为：解得：1.2无阻尼系统的自由振动零初始条件下的自由振动：2023/2/221零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能。1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/222零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件：固有频率从左到右：时间位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/223固有频率计算的另一种方式：

在静平衡位置：则有：对于不易得到m和k

的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的。0mu静平衡位置弹簧原长位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/224例：提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。W1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/225解：振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：振动解：W静平衡位置kuWv1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/226振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度Wv1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/227例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度mh0l/2l/21.2无阻尼系统的自由振动2023/2/228解：由材料力学：自由振动频率为：取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系静变形mh0l/2l/2u静平衡位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/229撞击时刻为零时刻，则t=0

时，有：则自由振动振幅为：梁的最大扰度：mh0l/2l/2u静平衡位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/230例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/231由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。0mu静平衡位置弹簧原长位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/232从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。0mu静平衡位置弹簧原长位置1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/233例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C

求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率a0C1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/234解：由牛顿定律：因为微振动：则有：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：a0C1.2无阻尼系统的自由振动2023/2/235例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程m300重力角速度取9.81.2无阻尼系统的自由振动2023/2/236解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m3001.2无阻尼系统的自由振动2023/2/237作业1P44题1-3P45题1-52023/2/2382023/2/239等效系统1.3等效单自由度系统多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。单自由度振动系统微分方程的一般形式平动：转动：2023/2/240等效系统1.3等效单自由度系统1等效刚度计算方法：1从刚度的定义。

2等效前后系统势能不变。斜向布置的弹簧等效弹簧刚度2023/2/241等效系统1.3等效单自由度系统1等效刚度计算方法：1从刚度的定义。

2等效前后系统势能不变。并联和串联弹簧2023/2/242等效系统1.3等效单自由度系统1等效刚度计算方法：1从刚度的定义。

2等效前后系统势能不变。并联弹簧Parallelsprings等效弹簧刚度2023/2/243等效系统1.3等效单自由度系统SeriesSprings串联弹簧等效弹簧刚度1等效刚度计算方法：1从刚度的定义。

2等效前后系统势能不变。2023/2/244等效系统1.3等效单自由度系统Example求图示系统对A点的等效质量Spring-lever-masssystem等效前系统的动能等效后系统的动能∵2等效质量

等效前后系统动能不变2023/2/245作业mk1k2k3k4已知:

m

=0.3kg求等效刚度ke和固有频率2023/2/2462023/2/247阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/248粘性阻尼力与相对速度称正比，即：c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数单位：数学模型：或写为：固有频率相对阻尼系数

mkcmu0力学模型取坐标如图，静平衡位置为坐标原点。据牛顿定律写出运动微分方程：1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/249动力学方程：设有特解：特征方程：特征根：三种情况：欠阻尼过阻尼临界阻尼求解方程代入微分方程得：1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/250第一种情况：欠阻尼动力学方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有频率有阻尼的自由振动频率通解：a1、a2：初始条件决定一对共轭复数根1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/251欠阻尼振动解：设初始条件：则：或：1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/252欠阻尼振动解：阻尼固有频率阻尼自由振动周期：T0：无阻尼自由振动的周期特性一：阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/253欠阻尼响应图形振动解：特性二：欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动ξ=0ξ<1时间位置阻尼大，则振动衰减快；阻尼小，则衰减慢1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/254评价阻尼对振幅衰减快慢的影响与t

无关，任意两个相邻振幅之比均为衰减振动的频率为，振幅衰减的快慢取决于，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部减幅系数定义为相邻两个振幅的比值：1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/255减幅系数：含有指数项，不便于工程应用实际中常采用对数衰减率：特性三：振幅按几何级数衰减。1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/256

第二种情况：过阻尼动力学方程：特征方程：特征根：特征根：两个不等的负实根通解：a1、a2：初始条件决定1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/257设初始条件：则：一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生响应图形振动解：过阻尼1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/258动力学方程：特征方程：特征根：特征根：二个重根通解：a1、a2：初始条件决定

第三种情况：临界阻尼1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/259振动解：临界阻尼则：仍然是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界阻尼系数设初始条件：响应图形1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/260tu(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些三种阻尼情况比较：欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/261小结：动力学方程欠阻尼过阻尼临界阻尼按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快振幅衰减振动1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/262例：阻尼缓冲器静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％求：缓冲器的相对阻尼系数kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/263解：由题知设求导：设在时刻t1

质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅u1kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/264由题知解得：1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/265例：刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量mlakcmb1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/266解：阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标力矩平衡：受力分析lakcmb1.4有阻尼系统的自由振动2023/2/2672023/2/268阻尼在所有振动系统中是客观存在的大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同非粘性阻尼的数学描述比较复杂处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼原则：等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量1.5等效粘性阻尼讨论以下几种非粘性阻尼情况：干摩擦阻尼低粘度流体阻尼结构阻尼2023/2/269（1）干摩擦阻尼（库仑阻尼）摩擦力：：摩擦系数：正压力：符号函数摩擦力一个周期内所消耗地能量：等效粘性阻尼系数：1.5等效粘性阻尼2023/2/270（2）低粘度流体阻尼工程背景：低粘度流体中以较大速度运动地物体：阻力系数等效粘性阻尼系数：阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反摩擦力：在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：1.5等效粘性阻尼2023/2/271（3）结构阻尼由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼：比例系数等效粘性阻尼系数：特征：应力－应变曲线存在滞回曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：加载和卸载沿不同曲线应变应力加载卸载01.5等效粘性阻尼2023/2/2722023/2/2731.6简谐力激励下的受迫振动振动系统在外力作用下引发的振动。受迫振动也称强迫振动．2023/2/274弹簧－质量—阻尼系统设外力幅值外力的激励频率

mkcu0m力学模型1.6简谐力激励下的受迫振动数学方程2023/2/275振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容1.6简谐力激励下的受迫振动振动微分方程的解2023/2/2761.6简谐力激励下的受迫振动其中,u1(t)为相应齐次方程的解瞬态响应

u2(t)为方程的特解稳态响应振动微分方程的解2023/2/2771.6简谐力激励下的受迫振动系统的全响应为:上式中的待定系数由初始条件确定，当时，R不一定为零，这是它与自由振动的区别。表示有阻尼自由振动响应，它是衰减振动，仅在振动开始后一段时间内有意义，属于瞬态解表示受迫振动响应，它是持续的等幅振动，属于稳态解。振动微分方程的解2023/2/278（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/279稳态响应的特性以λ为横坐标画出曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当λ<<1（）激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A与静位移B相当01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/280稳态响应特性（2）当λ>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/281稳态响应特性（3）在以上两个领域

λ>>1，λ<<1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/282稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在λ=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/283稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在λ=1处，而且稍偏左01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/284稳态响应特性（6）当振幅无极值01230123451.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/285稳态响应特性记：品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点，带宽Q与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/286稳态响应特性相频特性曲线（1）当λ<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同（2）当λ>>1（）位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关01230901801.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/287有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/288高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为u：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：简化图形muceMcuMcuem偏心质量引起的强迫振动1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/289me

：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力设：得：Mcu1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/290B又写为：1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/291muceMcuMcuem偏心质量小结解1：解2：1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/292例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1

m由自由衰减振动测得阻尼系数为假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01m，系统的总质量需要增加多少？muceMcu1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/293解:（1）共振时测得最大振幅为0.1

m由自由衰减振动测得阻尼系数为共振时最大振幅（2）若要使系统共振时振幅为0.01mmuceMcu1.6简谐力激励下的受迫振动2023/2/2942023/2/295背景：地基振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比例坐标：动力学方程：基座位移规律：u1

相对基座位移mm受力分析ufkcmu0mkuufcD：基座位移振幅1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/296动力学方程：回顾：令：有：其中：1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/2970.250.50.751.02.010100190180幅频曲线相频曲线1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/298有阻尼的单自由度承受支撑运动支撑运动：系统固有频率从左到右：1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/299若以绝对位移u为坐标其中：则有：ufkcmu0mkuufc1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/21001.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/2101代入：无阻尼情况：ukcmu0mkuufc1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/2102幅频曲线010100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支撑运动振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大ufkcmu0mkuufc1.7基础简谐激励下的受迫振动2023/2/2103习题mk1k2已知:求m

为多大时，系统会发生共振2023/2/2104作业P45题1-112023/2/21052023/2/2106将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为第一类隔振（隔力）主动隔振系数＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后1.8振动的隔离第一类隔振（隔力）2023/2/2107隔振后通过k、c传到地基上的力：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振动的隔离2023/2/2108主动隔振系数＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振后通过k、c传到地基上的力：隔振系数：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振动的隔离2023/2/2109例：机器安装在弹性支承上已测得固有频率阻尼比参与振动的质量是880kg机器转速n＝2400r/min

不平衡力的幅值1470N求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅解：频率比：弹性支承的刚度：机器振动的振幅：主动隔振系数：传到地基上的力幅：1.8振动的隔离2023/2/2110将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为第二类隔振（隔幅）被动隔振系数＝隔振后设备的振幅隔振前设备的振幅基础位移：隔振前振幅：D隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后1.8振动的隔离第二类隔振（隔幅）2023/2/21112023/2/2112前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。

周期函数的激励付氏级数即表示为简谐函数之和的激励。具体步骤：将任意周期激励分解为各简谐激励（展开成付氏级数）；求单个简谐激励的响应；求各简谐激励响应的和，得到任意周期激励的响应

运用线性系统的叠加原理求解。1.9周期激励下的振动分析2023/2/2113假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：T0

为周期傅立叶级数展开：记基频：记：n

的偶函数n

的奇函数为任一时刻1.9周期激励下的振动分析2023/2/2114运动微分方程：叠加原理，系统稳态响应：不计阻尼时：代表着平衡位置当作用于系统上所产生的静变形周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法

1.9周期激励下的振动分析2023/2/2115例：质量－弹簧系统受到周期方波激励求系统响应1.9周期激励下的振动分析2023/2/2116解：激励的周期：弹簧－质量系统固有频率激励力的基频：因

a0

一周期内总面积为0=0区间内，关于为反对称，而关于对称=01.9周期激励下的振动分析2023/2/2117区间内关于为对称

而n取偶数时，关于反对称

区间内关于为对称

而n取偶数时，关于反对称

因此1.9周期激励下的振动分析2023/2/2118当n取奇数时于是，周期性激励F(t)

可写为：1.9周