华中科技大学大学CAD技术及应用第三部分曲线曲面基础

曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法工业产品的形状大致可分为两类：第一类是仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法曲面造型(SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过四十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(RationalB-splineSurface)为基础的参数化特征设计和隐式代数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。曲线曲面发展历程1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。Note:C1continuous,“planarpot”1964年，美国麻省理工学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。

Note:C2continuous,Flexibleshapecontrol1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。Note:C2continuous,Moreflexibleshapecontrolwithseveralcontrolpoints.1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。

u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的内部表达技术。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法解析曲面（代数曲面）代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求适合构造简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序实现量大工程设计交互性差因此，CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中常见。曲线曲面的参数表示非参数表示有显式和隐式之分显式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，如球。

隐式表示:如曲面f(x,y，z)=0，这种表示不便于由已知的参量x，y计算z值-1=0曲线参数表示空间曲线上一点p的每个坐标被表示成参数u的函数：x=x(u),y=y(u),z=z(u)。合起来，曲线被表示为参数u的矢函数：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];参数表示优点易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几何变换，节省计算量。曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选择或者说在旋转和平移变换下不变的性质有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。例如：一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。而采用二维三次曲线的参数表达式为：则有8个系数可用来控制此曲线的形状。易于规定曲线、曲面的范围。易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线性或超越方程，另外，求导、等距的计算也被简化；参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。有关基本概念介绍ParametriccurveTangentBinormalNormalCurvatureNote:FirstderivativemaynotbeperpendiculartothesecondderivativeP(u)P〞(u)插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。有关基本概念介绍曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法Bezier曲线给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：

其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数，也称为调和函数：

t[0,1]Bernstein基函数的性质1）正性2）端点性质3）权性

4）对称性5）递推特性其计算过程表示为：高次Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成三次Bezier曲线例如，由P0、P1、P2、P3四个控制点构成的控制多边形来构造则三次Bezier曲线表示为：此时调和函数为：

上式展开表示为：Bezier曲线性质1)端点性质曲线过控制顶点的首末顶点。将u＝0和1分别代入表达式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=Pn对于三次Bezier曲线，p(1)=P3。

如图为三次Bezier曲线：2)切矢性质曲线在首末两点相切于多边形的起、止边。对三次Bezier曲线求一阶导数:

即：P’(0)=n(P1-P0)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)4)凸包性即Bezier曲线不会越出特征多边形的顶点所围成的凸包3)对称性

将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3三次Bezier曲线示例三次Bezier曲线的计算及绘制在参数空间t∈[0,1]进行均匀插值，计算对应的坐标点，然后连接成线，这条线就是折线逼近的Bezier曲线

编程实现：

也可写成矩阵表达式，式中若求PX（t）的值，则取Pi的x坐标进行计算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具体如下：

Px（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。Bezier曲线的绘制：例如利用上面的计算方法可分别求出t＝0.0，0.05,0.10,0.15,……,0.95,1.0时的曲线上的点，依次连接相邻两点为直线段，即可得近似的曲线图形。Bezier曲线几何作图与分割特性，

给定参数t（t[0,1]），就把定义域[0,1]分成长度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。例如：对三次Bezier曲线（给定参数域t[0,1]）上t＝1/3的点。把定义域分成长度为1/3:(1-1/3)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点P01、P11、P21，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点P02、P12。重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点P03，即为所求曲线上的点P（t）。另外，这一算法隐含说明任一Bezier曲线均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由P0、P01、P02、P03确定，参数空间为[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3确定，参数空间为[1/3,1],分割后的曲线形状保持不变。如图所示。

Bezier曲线拼接，

工程实际中存在许多复杂形状的曲线或曲面．不可能用一条Bezier曲线拟合出复杂的曲线，但可采用分段Bezier曲线经拼接后拟合实际中存在的复杂曲线。工程应用中，希望各段曲线在连接处光滑，即切矢连续(一阶几何连续)或曲率连续(二阶几何连续)。这里仅讨论切矢连续的问题。，

下图所示为两段三次Bezier曲线的一阶连续拼接：Q1’由图中可以看出，Q1’的移动只要满足共线要求即可满足二曲线的切矢光滑拼接（即一阶几何连续）而不需满足P’（1）＝Q’（0）（即一阶导数连续）也就是说一阶几何连续比一阶导数连续限制更宽松，也能满足光滑连续的工程要求，这是参数表达的优势之一。Bezier曲线的不足Bezier曲线有两点不足：一是特征多边形顶点数决定了Bezier曲线的阶次，n很大时，特征多边形对形状的控制将减弱。二是Bezier曲线不能作局部修改，改变任一控制点将波及整条曲线三是绘制复杂曲线需要拼接，比较繁琐。因此发展了B样条曲线1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线定义为：其中Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：

Bezier曲面的定义展开上式得：P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系Bezier曲面的特性1）2）事实上，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。vu1010xyzo3）4)其它特性与Bezier曲线类似：Bezier曲面的计算与绘制Bezier曲面的拼接，即两曲面的首末控制点相同。A）G0连续B）G1连续最简单直接的方法为：，即有公共切平面为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。Bezier曲面的不足曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法均匀三次B样条曲线由于B样条曲线比较复杂，在此以均匀三次B样条为例进行分析定义：空间n+1个控制顶点Pi（i=0，1，……，n）可构造n－2段三次（k＝3，四阶）均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段Pi（u）（i=1，……，n－2）

Pi＋4Pi＋5Moresegmentstoaddlocalcontrol.Howtorepres.如任意四个顶点Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作为特征多边形构造的均匀三次B样条曲线段的方程Pi(u)可表达式为：式中：u∈[0,1]从定义式中可以看出，上述定义和三次Bezier曲线类似，只是基函数略有不同,Buthasthesimilarprogramasbeziercurves均匀三次B样条曲线的程序实现Asbeziercurves,B-splinecurvesalsocanbedefinedinageometricway均匀三次B样条曲线的几何定义由前面可导出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+++++++++-=-=++=&&&

曲线起点位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2为两邻边的平行四边形的对角线的1/6处起点的切矢与Pi+2Pi平行，模为||Pi+2-Pi||/2起点的二阶导矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2为两邻边的平行四边形的对角线方向曲线段末点的情形与上述三点类似，只是向前推移一个顶点。

Betterinternalcontinuous(C2),Inbetweensegments由前面的推导可知，第一段曲线的末点与第二曲线的首点满足满足二阶函数连续。依次类推，各曲线段的末点与下一个曲线段的首点均满足满足二阶函数连续，这是B样条曲线的优势之一因此采用B样条曲线直接能够构造光滑的复杂曲线Pi＋4Pi＋5ThegeometricdefinitioncanbeusedtodrawaB-splinecurve均匀三次B样条曲线的几何作图根据B样条曲线起点和终点的位置、起点和终点的切矢方向即可近似的几何作图。四点共线二重顶点三重顶点Fromdefinitionsofbi-cubicB-spline,wecanfindmoregeometricproperties均匀三次B样条曲线性质1.对称性：将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7B样条曲线也必须满足几何变换不变性，还具有：2.凸包性：

即B样条曲线不越出特征多边形顶点所围成的凸包（如图中阴影所示）(Unionofconvexhullofeachsegment)Pi＋4Pi＋5B样条曲线具有局部性质对均匀三次B样条曲线任意段修改时，只被相邻的四个顶点控制，与其它的控制点无关。换句话说，每段k次B样条曲线只涉及k＋1个基函数，并由k＋1个顶点所定义。

如图，当修改P4时，只影响P1至P7之间的四条样条段(A至B)，对其它段则不产生影响。这一特点对曲线的设计和修改非常有利。

P0P1P2P3P4P4P5P6P7P8连续性三次B样条曲线段连接处具有二阶函数连续性（即C2连续性）。一般来说，k次B样条曲线具有k－1阶函数连续性（即Ck－1）。由前面的作图过程可知，当出现重复控制顶点时，曲线几何连续性可能下降（但函数导数仍连续），甚至产生尖点。反过来说明：虽然k次B样条曲线具有k－1阶函数连续性。但曲线仍然可能退化为尖点、直线段。（只要合理利用控制点的位置）5、几何尖点、直线等特征的表达性质4的特点说明，只要灵活选用控制点的位置，可以获得特殊要求的曲线段，如：直线段、曲线段、尖点等。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7正是这种灵活性，使得B样条方法成为CAD系统的主要描述手段。InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinecurvethroughaorderedpoints,(notcontrolpoints)均匀三次B样条曲线的反算由：Pi＋1(0)=(Bi+4Bi+1+Bi+2)/6(i=0,1,……n-2)Pi＋1(1)=(Bi+1+4Bi+2+Bi+3)/6得：PiP1Pn-1Pi+1P1′Pn-1′Bi+4Bi+1+Bi+2=6Pi＋1(i=0,1,……n-2)Bn-2+4Bn-1+Bn=6Pn-1B0+4B1+B2=6P1解方程对于开曲线，则首末点边界切矢可由用户随意交互给定（通常取默认值）对于封闭曲线，则首末的位置相同，且边界切矢方向相同边界条件补充时应注意：Actually,ThereisamoregeneraldefinitionofB-splinecurvesB样条曲线定义

n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)构成特征多边形的顶点，k+1阶(k次)B样条曲线的表达式是：其中Ni,k(u)是调和函数，也称基函数，按照递归公式可定义为：参数u取值范围：【uk－1，un＋1】*ThecoreofB-splineistheknotvector式中：U＝[u0,u1,……,un+k,un+k+1]称为B样条基函数的节点向量，ui为节点值，且应满足ui

ui＋1，即节点值应满足有序递增（允许有重节点）。对于B样条基函数例如：K＝4(4次5阶)，节点向量为[0000011111]的B样条曲线的基函数如右图。TheknotvectorcanbeusedtoclassifytheB-splinesun+k+1u0u1un+kuiuiui+1u对B样条曲线，当节点矢量出现重复节点时，在其重节点处曲线连续性将逐次下降。如当在P2处为二重节点时，连接处为一阶连续，而当P2为三重节点时，导数不连续，此时将出现尖点。01234n-kn-k+1Bi-cubicuniformB-splinecanbegotfromgeneralB-splinedefinitionp0p1p2p3p4p5p6对B样条基函数展开，并作变量替换，则可得均匀三次B样条基函数：式中t＝[0,1]u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）uiui＋3ui＋1ui＋2ui＋4ui＋5ui＋6ui＋7如均匀三次B样条曲线其节点矢量等距分布(即ui＋1－ui＝1，k＝3)，其基函数及节点示意图如下：AbeziercurvecanalsobegotfromgeneralB-splinedefinition若三次B样条曲线控制点

＝4，次数k＝3，且节点矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此时三次B样条曲线转化为三次Bezier曲线。同样，若k次B样条曲线节点矢量u＝[0,…,0，1,…,1]，此时首末k＋1重节点分别为0和1，则k次B样条曲线转化为k次Bezier曲线。因此，三次均匀B样条和Bezier都是B样条的特例，或者说三次均匀B样条和Bezier都可用B样条统一表达*一般B样条曲线也具有均匀B样条曲线的特性对均匀B样条曲线，重复控制点使曲线几何连续性降低。6、造型的灵活性有关说明：5、连续性3、局部性2、凸包性1、对称性一般B样条曲线也具有均匀B样条曲线的特性。即：4、几何变换不变性Therefore,aB-splinecurvealsohasthesamegoodgeometricpropertiesasaBeziercurve.B样条曲线与Bezier曲线的比较1、Bezier曲线的基函数的次数等于控制顶点数减一，而B样条曲线的基函数的次数与控制点数无关，即可用任意多的控制点来拟合三次均匀B样条曲线。原因是B样条曲线是分段拟合的，这样构造复杂曲线更方便。2、Bezier曲线的起点和终点正好是控制多边形的首末控制点，控制形状直观方便。而B样条曲线不经过控制多边形顶点。3、为使B样条曲线经过控制多边形首末控制顶点，使之具有Bezier类似的优点。实际应用中常引入准均匀B样条，即在节点矢量中两端节点具有k＋1个重复度。例如：当控制点数

＝6，次数k＝3的准均匀三次B样条曲线的节点矢量可定义为u＝[0，0，0，0，1，2，3，3，3，3]。4、Bezier曲线和B样条曲线的关系：若三次B样条曲线n＝4，k＝3的节点矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此时三次B样条曲线转化为三次Bezier曲线。

因此，可以说Bezier曲线仅是B样条曲线的特例，也就是说B样条表达能力完全覆盖了Bezier表达。5、B样条曲线比Bezier曲线具有更紧致的凸包。

因此，B样条方法的凸包性比Bezier方法优越，使曲线更加逼近特征多边形。

因此，B样条曲线比Bezier曲线更优越，应用更广泛,B-splinesufacesalsodo类似Bezier曲面，将均匀三次B样条曲线推广可得到均匀双三次B样条曲面的定义如下：B样条曲面的定义uvAbi-cubicuniformB-splinesurfacecanbeextendedtomultiplepatches(7-3)x(4-1)=4uv(m-3)x(n-3)B-splinesurfaceshaveidenticalpropertiesasB-splinecurvesB样条曲面的性质(Boundarypoints),3x3=9(Boundarycurves),3lines(Boundarytangents),3lines(Boundarysecondderivatives),3lineswecandrawaB-splinesurfaceasaBeziersurface(discreterectanglecurvedpatches)由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，并比Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。B样条曲面的计算与绘制先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinesurfacethroughagrideddistributionpoints,(notcontrolpoints)B样条曲面的反算借鉴B样条曲线的反算思想，先对给定型值点进行u向反算，反算得到一组控制点，再以此控制点为型值点进行v向反算，具体步骤如下：a）以U向截面数据点（型值点）及端点u向切矢，应用B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点：Controlpointsalongudirectionb）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用曲线反算，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即：

为“数据点”，以上一

步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点

三次B样条插值曲面的控制顶点。，即为所求双Crosstangentcomputationfortwouboundariesbyfourvtangentsandfourtwistvectors.VcontrolpointsbasedoncomputedvectorsanddatapointsAsstatedearlier,B-splinecannotaccutalyrepresentaanalyticcurvesuchasacircle.曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法NURBS曲线式中：NURBS称非均匀有理B样条NURBS仍采用B样条基函数，但采用有理表达，增加权值控制Byvaryingaweight,wecanseethevariationofaNURBScurveInsummary,NURBScanrepresentfree-formcurves,analyticcurves.非均匀有理B样条（NURBS

）具有B样条的所有性质，但比B样条更强大的表达能力能表达Bezier

能表达B样条能表达多项式代数曲线能精确表达圆锥曲线直线圆、圆弧椭圆抛物线双曲线因此NURBS在CAD系统中应用最广，已经成为STEP标准中的一部分AsB-splinesurfaces,NURBSsurfacesareeasilyextendedfromNURBScurvesdefinitionNURBS曲面的定义NURBSisnottheendofrepresentationofshapes追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。（目前β样条表达能力更强，但控制参数更多）Torepresentcomplexshapes,thereareotherkindsofrepresentationsinCG,CAGDcommunity.曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法1.quadricandsuper-quadric二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。

Quadricsurface

superquadricsuperquadrictoroidssuperquadricellipsoidssuperquadric曲面在商用CAD系统应用相对较少，但在动画软件中常用

2．隐式曲面Implicit

Surface隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。3.偏微分方程（PDE）曲面PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。4.等距曲面（Offset）

F（u，v）＝S（u，v）+d

NS（u，v）

5.细分曲面

Morecomplexshaperepresentationthroughsurfacesintersection曲线、曲面基础理论1、认识曲线与曲面2、曲面造型的发展历程3、曲线曲面的参数表达4、Bezier曲线与曲面5、B样条曲线与曲面6、NURBS曲线与曲面7、曲面的其它表达8、曲面求交算法9、CAD系统中的曲面造型方法

前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比较规则。(Rectangle)而实际工程中会有各种不规则的曲面，很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成，裁剪操作的关键在于曲面的求交，如图：SurfacesIntersection当前的CAD系统，大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、Bezier曲线、B样条、NURBS曲线等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条、NURBS曲面等，求交情况十分复杂。在一个典型的CAD系统中，用到的几何元素通常有25种，为了建立一个通用的求交函数库，所要完成的求交函数多达＋25＝325种！一种好的思想是将几何元素进行归类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。

SurfacesIntersection

基本的求交算法(point-,curve-)：由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管，面被看成是厚度为2e的薄板。点于其它几何元素的求交比较简单，计算两个点是否相交，实际上是判断两个点是否重合，判断点和线（或面）是否相交，实际上是判断点是否在线（或面）上。线与线的求交：有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。线与面的求交：有二次曲线与二次曲面、二次曲线与自由曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。Surfaceintersectionalgorithmisthemostcomplexone

在几何元素之间的求交算法中，曲面与曲面之间的求交是最为复杂的一种，比其它元素的求交要复杂得多，曲面与曲面求交的基本方法主要有代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法四种。

1．代数方法代数方法是利用代数运算，特别是求解代数方程的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交，如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通过曲面方程求解计算交线，对于某些复杂的情况，则需要进行分析和化简的运算后求解。

2．几何方法

几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精确求出交线。

几何求交适应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。(机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法)

3．离散方法

离散方法求交是利用分割的方法，将曲面不断离散成较小的三角形平面片来逼近，然后用这些简单面片求交得一系列交线段，连接这些交线段即得到精确交线的近似结果。离散求交一般过程：1）用包围盒作分离性检查排除无交区域；2）根据平坦性检查判断是否终止离散过程；3）连接求出的交线段作为求交结果。然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较高，需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。

离散求交的难点在于求交精度不高，难以构成