2022年湖南省张家界市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022年湖南省张家界市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

2.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

3.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

4.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

5.

6.（）。A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.

10.A.A.＞0B.＜0C.=0D.不存在

11.

12.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.低阶无穷小13.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

14.A.A.

B.

C.

D.

15.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

16.

17.

18.设函数f(x)在区间(0，1)内可导f(x)>0，则在(0，1)内f(x)（）．

A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量19.方程y"+3y'=x2的待定特解y*应取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)20.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)二、填空题(20题)21.

22.23.∫(x2-1)dx=________。

24.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为_________．

25.

26.

27.∫e-3xdx=__________。

28.29.30.交换二重积分次序=______．

31.

32.33.微分方程y"+y'=0的通解为______．34.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______．

35.

36.

37.

38.39.40.三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．43.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

44.

45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．46.47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.51.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则52.

53.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.56.

57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．59.证明：

60.

四、解答题(10题)61.

62.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

63.64.设区域D为：

65.

66.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。

67.

68.

69.

70.(本题满分8分)

五、高等数学(0题)71.x→0时，1一cos2x与

等价，则a=__________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.C

3.C点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．

4.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

5.D

6.D由所给二次积分可知区域D可以表示为0≤y≤l，y≤x≤1。其图形如右图中阴影部分．又可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x。因此选D。

7.B

8.A解析：

9.B

10.C被积函数sin5x为奇函数，积分区间[-1，1]为对称区间。由定积分的对称性质知选C。

11.B

12.A由微分的定义可知△y=dy+o(△x)，因此当△x→0时△y-dy=o(△x)为△x的高阶无穷小，因此选A。

13.A

14.B本题考查的知识点为偏导数运算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知应选B．

15.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

16.D

17.B

18.A本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于f(x)在(0，1)内有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

19.D本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特解y*的取法．

由于相应齐次方程为y"+3y'0，

其特征方程为r2+3r=0，

特征根为r1=0，r2=-3，

自由项f(x)=x2，相应于Pn(x)eαx中α=0为单特征根，因此应设

故应选D．

20.C

21.x=-1

22.

23.

24.

25.

26.

解析：

27.-(1/3)e-3x+C

28.

29.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

30.本题考查的知识点为交换二重积分次序．

积分区域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

积分区域D也可以表示为0≤y≤1，y≤x≤，因此

31.

32.2本题考查了定积分的知识点。33.y=C1+C2e-x，其中C1，C2为任意常数本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

微分方程为y"+y'=0．

特征方程为r3+r=0．

特征根r1=0．r2=-1．

因此所给微分方程的通解为

y=C1+C2e-x，

其牛C1，C2为任意常数．34.(0，0)本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的一般步骤，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在点x1，x2，…，xk两侧，y"的符号是否异号．若在xk的两侧y"异号，则点(xk，f(xk)为曲线y=f(x)的拐点．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．当x=0时，y=0．

当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0．因此点(0，0)为曲线y=x3-6x的拐点．

本题出现较多的错误为：填x=0．这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚．拐点的定义是：连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点．其一般形式为(x0，f(x0))，这是应该引起注意的，也就是当判定y"在x0的两侧异号之后，再求出f(x0)，则拐点为(x0，f(x0))．

注意极值点与拐点的不同之处!

35.11解析：

36.3/2

37.38.1/2本题考查的知识点为极限的运算．

39.1．

本题考查的知识点为导数的计算．

40.本题考查的知识点为定积分的换元法．

41.

42.

43.

44.45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.

47.

列表：

说明

48.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

49.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

50.51.由等价无穷小量的定义可知

52.

则

53.

54.

55.

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.由二重积分物理意义知

58.函数的定义域为

注意

59.

60.

61.

62.

63.64.利用极坐标，区域D可以表示为0≤θ≤π,0≤r≤2本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意．

65.

66.

①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b；∵可导一定连续∴a+b=1②

∵可导f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1；