实变函数教案

实变函数教案第一页，共二十三页，2022年，8月28日1不可数集的存在性(区间[0,1]是不可数集)[][][]01/32/31证明：假设［0,1］是可数集,则[0,1]可以写成一个无穷序列的形式：第二页，共二十三页，2022年，8月28日[][][]01/32/31第三页，共二十三页，2022年，8月28日数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数第四页，共二十三页，2022年，8月28日不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以

(0,1)是不可数集。第五页，共二十三页，2022年，8月28日定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）第六页，共二十三页，2022年，8月28日3连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集第七页，共二十三页，2022年，8月28日第八页，共二十三页，2022年，8月28日1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点第九页，共二十三页，2022年，8月28日

连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny第十页，共二十三页，2022年，8月28日4无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.第十一页，共二十三页，2022年，8月28日此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。第十二页，共二十三页，2022年，8月28日

尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到1899年Cantor才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的Cantor的最大基数悖论.

因此Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论第十三页，共二十三页，2022年，8月28日证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N

与{0,1}N对等；下证：说明：相当于把对应到一个三进制小数5可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体第十四页，共二十三页，2022年，8月28日第十五页，共二十三页，2022年，8月28日

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设第十六页，共二十三页，2022年，8月28日

在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：《数学与哲学》张景中，《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；1962年Stanford大学的证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；第十七页，共二十三页，2022年，8月28日6基数的运算第十八页，共二十三页，2022年，8月28日对一些记号的说明思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？第十九页，共二十三页，2022年，8月28日第五节半序集第一章集合第二十页，共二十三页，2022年，8月28日1半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积））例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:

则称A按成一半序集（