与圆有关的综合问题

深化提能——与圆有关的综合问题1．(2019·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值是()2＋6B.3A.2C．2D.3＋1解析：选C如图所示，连接OA，OB和OC.∵OA＝OB，AC＝BC，＝，∴△≌△，∴∠＝∠＝30°，在△中，OCOCOACOBCACOBCOOAC由正弦定理得OAOC，∴OC＝2sin∠OAC≤2，故|OC|°＝sin30sin∠OAC的最大值为 2，故选C.2．已知圆 C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切11线，若a，b∈R且ab≠0，则a2＋b2的最小值为()A．2B．4C．8D．9122＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2解析：选D圆C的标准方程为(x＋2a)＋y2；圆C的标准方程为x2＋(y－)2＝1，其圆心为(0，)，半径为1.因为圆1和圆2只有一条公切bbCC线，所以圆C1与圆C2相内切，所以－2a－2＋－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以1111(422b24a2b24a2b24a2222＋2＝2＋2a＋b)＝5＋2＋b2≥5＋2a2·b2＝9，当且仅当a2＝2，且4a＋bababab212111＝1，即a＝6，b＝3时等号成立．所以a2＋b2的最小值为9.3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若―→―→―→)AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为(A．3B．22C.5D．2解析：选A以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为2222＝，2＋15所以圆C：(x－1)2＋(y－2)24＝5.因为P在圆C上，所以2525θ.P1＋cosθ，2＋sin551―→―→―→―→―→，又AB＝(1,0)，AD＝(0,2)，AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)251＋5cosθ＝λ，255所以5λ＋μ＝2＋5cosθ＋5sinθ＝2＋sin(θ＋22＋5sinθ＝2μ，π＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝24．(2019·拉萨联考)已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上运动，则点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是()A．4B.5C.5＋1D.5－1解析：选D 圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，圆心到直线l的距离为|2－2－5|＝5，则圆上一动点P到直线l的距离的最小值12＋22是5－1.故选D.5．(2019·赣州模拟)已知动点A(xA，yA)在直线l：y＝6－x上，动点B在圆C：x2＋y2－2x－2－2＝0上，若∠＝30°，则xA的最大值为()yCABA．2B．4C．5D．6解析：选C由题意可知，当AB是圆的切线时，∠最大，此时||＝4.点A的坐标ACBCA满足(x－1)2＋(y－1)2＝16，与y＝6－x联立，解得x＝5或x＝1，∴点A的横坐标的最大值为5.故选C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C由题知点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－－2＝0恒过点mymy(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离d＝22的最大值为2，1＋m所以点P到直线x－－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.my7．(2019·安徽皖西联考)已知P是椭圆x2＋y2＝1上的一点，Q，R分别是圆(x－3)2＋16721221y＝4和(x＋3)＋y＝4上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是________．2解析：设两圆圆心分别为M，N，则M，N为椭圆的两个焦点，因此|PQ|＋|PR|≥|PM|－112＋|PN|－2＝2a－1＝2×4－1＝7，即|PQ|＋|PR|的最小值是7.答案：78．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，－3)，若圆C：(x－a)2＋(y－＋2)2＝1上存在一点满足||＝2||，则实数a的取值范围是________．aMMAMO解析：设满足|MA|＝2|MO|的点的坐标为M(x，y)，由题意得x2＋y＋2＝2x2＋y2，整理得x2＋(y－1)2＝4，即所有满足题意的点 M组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆 x2＋(y－1)2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1有交点，a2＋ a－ 2≥1，据此可得关于实数 a的不等式组 解得0≤a≤3，a2＋ a－ 2≤3，综上可得，实数 a的取值范围是[0,3] ．答案：[0,3]9．(2019·唐山调研 )已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则 x＋ 2＋y2＝2 x－ 2＋y2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，故此曲线方程为 (x－5)2＋y2＝16.曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线 l2与圆C相切，连接 CQ，CM，2 2 2则|QM|＝ |CQ|－|CM|＝ |CQ|－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，|5＋3|此时|CQ|＝ ＝4 2，故|QM|的最小值为32－16＝4.10．(2019·广州一测 )已知定点 M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝ 2|PM|.求动点P的轨迹C的方程；若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率3分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝2|PM|，所以x－22＝2x－22＋y＋y.整理得，x2＋y2＝2.所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.x2＋y2＝2，bkx＋b2－2＝0.(*)由y＝kx＋b消去y，整理得(1＋k2)x2＋2由＝(2bk)2－4(1＋k2)(2－2)＞0，得2＜2＋22.①bbk2bkb2－2由根与系数的关系，得x1＋x2＝－1＋k2，x1x2＝1＋k2.②y1y2kx1＋bkx2＋b由k1·k2＝·＝·＝3，x1x2x1x2得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③22将②代入