地图学课件第2章

第一章地球体与地图投影第一节地球体

第二节大地测量系统第三节地图投影

第四节地图比例尺（一）地球的自然表面(自然形体)

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似的不规则椭球体。WDM94—1994年的全球重力场模型一、地球形状大小第一节地球体它实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地球本身形状的一种形体，称大地体。（二）地球的物理表面(大地体)

大地水准面：平均静止海水面向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。用于测量计算的基准面。（三）地球的数学表面(参考椭球体)参考椭球面：假想将大地体绕短轴(地轴)飞速旋转，形成的光滑表面。参考椭球体：参考椭球面包围起来的形体。二、地理坐标1、大地经纬度地理坐标，就是用经度、纬度、高程表示地面点位的球面坐标。表示地面点在参考椭球面上的位置大地经度、大地维度、大地高（B，L，H）大地纬度（B）

:参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角。北正南负。表示地面点在参考椭球面上的位置大地经度（L）:参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东正西负。大地高H:指某点沿法线方向到参考椭球面的距离。1、大地经纬度法截面：过A点法线AL的平面所裁成的截面。法截弧：法截面和地面的交线形成的弧段称为法截弧。子午圈截面：含A点法线AL和椭球旋转轴PP1的法截面。

子午圈：子午圈截面和地球表面的交线

卯酉圈截面：过A点法线AL且垂直子午圈截面的法截面。卯酉圈：卯酉圈截面和地球表面的交线L子午圈曲率半径M(A点上所有截弧的曲率半径中的最小值）：卯酉圈曲率半径N

(A点上所有截弧的曲率半径中的最大值）：式中：a为椭球长半径；

e为第一偏心率，当椭球选定后，a、e均为常数；

为维度。可知：M随维度而变化。子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径除在两极处相等外，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。平均曲率半径R：纬圈的半径r：法线铅垂线赤道面2、天文经纬度天文经度λ:是过观测点天文子午面与本初子午面间的两面角。正高Hg：该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离。常用天文测量和天文台授时方法解决。天文纬度Ψ

:在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。表示地面点在大地水准面上的位置（天文经度，天文纬度，正高）(λ，Ψ，Hg)θ垂线偏差3、地心经纬度地心坐标系统——原点与地球中心重合地心子午面：包含地面某点地心之间连线和地球自转轴的平面。地心经度：某点的地心子午面与本初子午面之间的夹角；地心纬度：

某点同地心之连线与地球赤道面所成的夹角称地心纬度。M、N、r公式推导第二节大地测量系统大地测量系统是一种固定在地球上，随地球一起转动的非惯性坐标系统。大地测量系统包括坐标系统、高程系统、深度基准和重力参考系统。与系统相对应的大地参考框架有坐标参考框架、高程参考框架和重力测量参考框架三种。坐标系统根据其原点的位置不同分为地心坐标系统和参心坐标系统；从表现形式上又分为空间直角坐标系（x，y，z）和大地坐标系（L,B,H）第二节大地测量系统大地测量的坐标框架1、参心坐标框架：是由天文大地网实现和维持的，是区域性、二维静态的坐标框架。我们国家分别定义在1954北京坐标系和1980西安坐标系。2、地心坐标框架：是由利用空间大地测量技术构成全球观测网点，是全球性的、三维的坐标框架。我国2000国家大地坐标系属于地心坐标系。2.2常用坐标系2.2.1大地坐标系

大地坐标系以参考椭球面为基准面，用大地经度L、纬度B和大地高H表示地面点位置。大地坐标系是参心坐标系，其坐标系统的原点位于参考椭球中心。地心坐标系也是以参考椭球为基准面，地心坐标与上述的大地坐标不同之处：地面点A的纬度是以Aˊ的向径AˊO与大地赤道面的交角Bˊ表示的。Bˊ叫地心纬度。2.2.2地心坐标系2.1.3空间直角坐标系以地心或参考椭球中心为直角坐标系的原点，椭球旋转轴为Z轴，X轴位于起始子午面与赤道的交线上，赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，指向符合右于规则，便构成了直角坐标系在测量应用中，常将空间直角坐标系的原点选在地球参考椭球的中心，Z轴与地球自转轴平行并指向参考椭球的北极，X轴指向参考椭球的本初（起始）子午线，Y轴与X轴和Z轴相互垂直。点在此坐标系下的点的位置由该点在各个坐标轴上的投影x、y、z坐标所定义。当原点位于地球质心时，这样定义的坐标系又称为地心系。否则，则称为参心系。空间直角坐标系第三节地图投影问题？地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、面积等参数的量算地球椭球体为不可展曲面地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析

地图投影：通常都要将椭球面诸元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则归算（投影）到某个平面，这就是地图投影。

建立地球椭球面上经纬线网和平面上相应经纬线网的数学基础，也就是建立地球椭球面上的点的地理坐标（λ，φ）与平面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：

当给定不同的具体条件时，将得到不同类型的投影方式。

x=f1(B,L)y=f2(B,L)如何将地球表面（曲面）展开成平面？用机械的方法将它展开成平面用透视法将球面投射到平面上用数学方法将球面转换为平面x=f1(B,L)y=f2(B,L)投影变形由椭球面元素投影成平面元素必然会产生投影变形。投影变形包括长度变形、角度变形和面积变形，选取某种合适的投影方程，可使其中的一种变形减小或消失，然而绝不存在使用三种变形同时消失的投影方式，这是由椭球面的不可展性决定的。面积变形和长度变形地图投影的变形长度变形面积变形角度变形长度变形角度变形地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时不仅要建立（x,y)与(,)之间的关系，而且要研究投影变形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比为纬线长度比投影变形的性质和大小长度比和长度变形：

投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小

角度变形：

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

最大角度变形可用极值长度比a,b表示实用上常以下公式求得：长度变形是各种变形的基础！面积比和面积变形：

投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P表示面积比

Vp

表示面积变形

P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和经向纬向一致）

P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小投影分类1）.按地图投影的构成方法分类几何投影:

将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。（1）方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上而成。根据平面和球面的位置关系可以分为：正轴、横轴、斜轴三种类型方位投影①正轴方位投影投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。①正轴方位投影正轴等角方位投影又叫平射正轴方位投影或球面投影，是一种使投影面上与实际地面上的微分圆保持形状不变的投影，满足m=n投影条件。——等角经纬线形状纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大；面积变形较大；面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。①正轴方位投影一种投影面上与实际地面相应面积保持相等，即满足p=1投影条件的方位投影。——等积经纬线形状纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大；角度变形较大；角度等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。①正轴方位投影一种满足m=1的方位投影，又叫波斯托投影，联合国徽即采用此投影设计。——等距经纬线形状纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径，纬线间隔自投影中心向外不变即相等。变形分布规律投影中心无变形，经线长度保持正确，其余长度、角度和面积变形离开投影中心愈远愈大；角度、面积变形都不大；角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。②横轴方位投影当平面与球面相切，其切点在赤道上的任意点，称为横轴方位投影。过投影中心的大圆线称为垂直圈，与垂直圈相垂直的同心圆称为等高圈，垂直圈投影后成为等高圈同心圆的半径，两个垂直圈间的夹角与实地相等。②横轴方位投影——等角变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。经纬线形状中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的凹向曲线；中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的凸向曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。②横轴方位投影——等积变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。经纬线形式中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的凹向曲线；中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的凸向曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐减小。②横轴方位投影——等距变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大，面积变形、角度变形都不大。经纬线形状中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔相等。在中央纬线上经线间隔相等。③斜轴方位投影当平面与球面相切，其切点不在赤道或极点，而是介于两者之间的任意点，称为斜轴方位投影。斜轴方位投影也存在垂直线和等高圈。③斜轴方位投影——等角变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。经纬线形状中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。③斜轴方位投影——等积变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。经纬线形式中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。③斜轴方位投影——等距变形分布规律投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大，面积变形、角度变形都不大。经纬线形式中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔相等。三种方位投影纬线间隔变化示意图（2）圆柱投影按圆柱的轴与地轴的关系,可分为正、横、斜轴圆柱投影按圆柱面与地球表面的接触关系可分为切、割圆柱投影按投影变形性质分，可分为等角、等积和等距圆柱投影圆柱投影等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。——正轴等角圆柱投影圆柱投影——正轴等角圆柱投影投影条件：n0=1，其它n>1，m>1经纬线形状：经线是一组间隔相等的平行直线；纬线是与经线垂直的一组平行线，且其间隔自投影中心向南北两极逐渐增大。b非几何投影：

根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。

伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。2）.按地图投影的变形性质分类

等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或P=1，a=1/b）。

任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。

等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

微分圆——正圆a=b不同点上长度比大小不同a=b或m=nP=ab=mn等角投影面积变形大，角度不变。适用于交通图，洋流图，风向图等

等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或P=1，a=1/b）。面状地物轮廓投影后面积不变。ab=1长轴越长——短轴越短

在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等。因此，角度变形最大。

适用于面积精度较高的自然地图和社会经济地图。

任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。（包括等距离投影）

适用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的，或对面积变形和角度变形都不希望太大的用户，一般用于参考图和中小学教学用图。

典型的地形图投影

1）.

高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）

以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857—1923）共同创建。 此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法： 经差6°或3°分带，长度变形<0.14%中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6°分带投影：

1∶1万（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。除了正形投影条件，高斯投影还要求中央子午线投影后不仅成为呈直线的纵坐标轴，而且长度保持不变，亦即对于经度为L0的中央子午线上任一点上的投影长度比均等于1。满足上述两个条件的高斯投影就没有角度变形，在中央子午线上也没有长度变形，但不在中央子午线上的各点长度比均大于1，且相距中央子午线愈远，长度变形愈甚。高斯-克吕格直角坐标yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m2）.

通用横轴墨卡托投影

——UTM投影

以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称UniversalTransverseMercator——

UTM投影。

此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形<0.04%大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。墨卡托投影墨卡托投影我国常用地图投影1：100万：兰勃特(Lambert)投影（正轴等角割圆锥投影）大部分分省图、大多数同级比例尺地图也采用兰勃特投影和属于同一投影系统的阿尔勃特（Albert）投影(正轴等积割圆锥投影)1：50万、1：25万、1：10万、1：5万、1：2.5万、1:1万、1：5000采用高斯—克吕格投影(等角横切椭圆柱投影/横轴墨卡托投影)（投影后角度不变、中央径经线长不变、中央径线与赤道线垂直）地图投影的应用

1．制图区域的地理位置，形状和范围。两极地区：正轴方位投影。赤道附近：横轴方位投影或正轴圆柱投影。中纬度地区：正轴圆锥投影或斜轴方位投影。位置形状沿纬线方向延伸的长形地带：单标准纬线正轴圆锥投影沿经线方向略窄、沿纬线方向略宽的地区：双标准纬线正轴圆锥投影。沿经线方向南北延伸的长形地区：多圆锥投影。（中纬）投影选择的依据

2．比例尺大比例尺地形图：各项变形都很小的地图投影如高斯—克吕格投影中小比例尺的省区图：各种正轴圆锥投影我国不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。大比例尺地形图，宜采用变形小的投影，如分带投影中、小比例尺地图范围大，可有等角、等积、任意投影的多种选择。

3．地图内容要求方向正确的地图：等角投影要求保持面积对比关系的正确：等积投影使时区的划分表现得清楚：正轴圆柱投影中小学的教学用图：各种变形都不太大的任意投影如等距投影三、地图的内容及用途

航海图，航空图——等角投影

自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图——等积投影世界时区图——经线投影成直线的正轴圆柱投影海洋图—墨卡托（等角圆柱投影）地形图—等角横切（割）圆柱投影

4．出版方式单幅图：考虑位置、形状、范围，比例尺和内容。系列图：选择同一变形性质的投影。地图集：应尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的需要，在变形性质上适当变化。我国编制地图常用的地图投影一、中国分省区地图常用投影:1）正轴等角割圆锥投影（必要时也可采用等面积和等距离圆锥投影）2）宽带高斯-克吕格投影（9°）1、中国分幅地图的投影多面体投影（北洋军阀时期）等角割圆锥投影（兰伯特投影）（中华人民共和国成立前）高斯-克吕格投影（中华人民共和国成立以后）中国地图常用投影2、中国全图斜轴等面积方位投影斜轴等角方位投影彭纳投影（纬线长度不变的等面积伪圆锥投影）伪方位投影各大洲地图常用投影1、亚洲地图投影斜轴等面积方位投影彭纳投影2、欧洲地图投影斜轴等面积方位投影正轴等角圆锥投影3、北美洲地图投影斜轴等面积方位投影彭纳投影4、南美洲地图投影斜轴等面积方位投影桑逊投影（正弦曲线等面积伪圆柱投影）5、澳洲地图投影斜轴等面积方位投影正轴等角圆锥投影6、拉丁美洲地图投影斜轴等面积方位投影研究从一种地图投影变换为另一种地图投影的理论和方法。实质是建立两平面场之间的点的一一对应关系。。