应用举例（第4课时）坡度、坡角问题【知识精讲+高效备课】 九年级数学下册 课件（人教版）

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2.2应用举例第4课时坡度、坡角问题学习目标1.知道坡度、坡角的概念2.用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题.(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：(1)三边之间的关系：a2+b2=c2

上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.直角三角形五个元素之间的关系：复习回顾水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i'

=1:2.5，求斜坡AB的坡角，坝底宽AD和斜坡AB的长.引入新课我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l

的比叫坡度（或叫坡比），用字母i

表示.即：如图：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.坡度一般写成1﹕m的形式，如：i=1﹕5(即i=).一、坡度、坡角问题新知探究思考：坡度i与坡角之间具有什么关系？（1）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？（2）

坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有什么关系？例1：(1)右图中坡面AD的铅直高度、水平宽度、坡角分别是什么？坡面BC呢?(2)根据上图，坡面AD的i表示哪两条线段的比？坡面BC呢？请你分别写出坡角的三角函数与铅直高度、水平宽度的关系式.答：坡面AD的铅直高度是DE、水平宽度是AE、坡角是∠α；坡面BC的铅直高度是CF、水平宽度是BF、坡角是∠β.典例分析1.斜坡的坡度是，则坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°

，则坡比是________.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1针对训练4.

一段二级公路路基坡角约为30°，则坡度i约为

;5.

在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距6米，山坡上相邻两棵树间的坡面距离是

米.(精确到0.1米)6.如图，一山坡的坡度为i＝，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了

米.6.71007.

一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A.

斜坡AB的坡度是10°

B.

斜坡AB的坡度是tan10°

C.

AC＝1.2tan10°米

D.

AB=米B注意:（1）坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆；（2）坡度通常写成“

h:l”的形式；（3）坡度i和坡角α的关系为i＝tanα.归纳小结例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i

′=1:2.5，求坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1m，tan18°26′≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)二、坡度、坡角的实际应用典例分析解：作BE⊥AD，CF⊥AD.∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5

=132.5(m).在Rt△ABE和Rt△CDF中，因为斜坡AB的坡度≈72.7(m).在Rt△ABE中sin=，答：AD的宽度为132.5m，AB的长为72.7m.例3：如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2典例分析在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此i=1:2解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知

DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.01米，

，).

45°30°4米12米ABCD在Rt△ADE中，EF针对训练

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93(米)．答：路基下底的宽约为22.93米．(米).(米).45°30°4米12米ABCDEF2.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．ACBD30°答案：点B和点C的水平距离为米.3.如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背水坡的坡度为1:(坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，以及BC的坡度.AF=m，BE=m，BC=90m，.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题．归纳小结1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）A.9mB.6m

C.m

D.mACBB课堂巩固2.

如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为（）(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

A．5.1米

B．6.3米C．7.1米

D．9.2米A3.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)2804.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝

，则CE的长为_______米．81.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.能力提升解：分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.EFADBCi=1:2.5236αi=1:31.（3分）（2021•山西14/23）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为

米．【考点】解直角三角形的应用—坡度坡角问题【分析】由坡度的定义，可设BC=5a米，则AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解．感受中考【解答】解：由题意得：∠ACB=90°，AB=0.5×40=20（米），∵扶梯AB的坡度

，∴设BC=5a米，则AC=12a米，由勾股定理得：(5a)2+(12a)2=202，解得：

（负值已舍去），∴

（米），故答案为：

．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题以及勾股定理等知识；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．2.（4分）（2021•重庆B卷10/26）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（

）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长．感受中考【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1：2.4，∴DE：CE=5:12，∵DE=50，∴CE=120，∵BC=150，∴BE=150-120=30，∴AB=tan50°×30+50=85.7．故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．3.（4分）（2020•重庆A卷9/26）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i=1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（

）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）A．76.9mB．82.1m C．94.8m D．112.6m感受中考【解答】解：如图，由题意得，∠A