第02讲逻辑代数基础1-4

第二章逻辑代数基础

2.1概述

2.2逻辑代数中的三种基本运算

2.3逻辑代数的基本公式和常用公式

2.4逻辑代数的基本定理

2.5逻辑函数及其表示方法

2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简*2.8（略）2.1概述逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1847年首先进行系统论述的，也称布尔代数；它是描述事物条件和结果之间逻辑关系的数学方法，是设计、分析数字电路的数学工具。逻辑：指事物间的因果关系逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1并不表示数值的大小，而是表示两种不同的逻辑状态。通常1表示条件的具备或结果的发生，而0表示条件的不具备或结果的不发生。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。

逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行推理运算。

基本概念逻辑：指事物间的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：0/12.1概述三种电路的因果关系不同：2.2逻辑代数中的三种基本运算与（AND）或（OR）非（NOT）1表示开关闭合，灯亮；0表示开关断开，灯不亮；一、基本逻辑运算1.与运算（逻辑乘）（AND）只有决定事件结果的全部条件同时具备时，结果才发生。ABY

ABY

000010100111与运算真值表与逻辑功能口诀：有“0”则“0”；全“1”则“1”。

与运算表达式

Y=A·B=AB

ABY

000010100111与运算真值表与运算表达式

Y=A·B=AB与门图形符号&AYBYABAYB2.或运算（逻辑加）（OR）决定事件结果的诸条件中只要有任何一个条件满足，结果就会发生。BYA

ABY

000011101111或运算真值表或逻辑功能口诀：有“1”则“1”；全“0”则“0”。

或运算表达式Y=A+B

ABY

000011101111或运算真值表或运算表达式Y=A+B或门图形符号≥1

ABYYAB+

ABY3.非运算（逻辑反）（NOT）只要条件具备了，结果就不会发生；而条件不具备时，结果一定发生。

AY

0110

非运算真值表非运算表达式非门图形符号1AYYAAYabcdAB～楼道灯开关示意图二、几种常用的复合逻辑运算1.与非运算（NAND）

ABY

001011101110与非逻辑真值表与非逻辑表达式与非逻辑功能口诀：有“0”则“1”；全“1”则“0”。

&AYBYAB与非门图形符号AYB二、几种常用的复合逻辑运算或非逻辑功能口诀：有“1”则“0”；全“0”则“1”。

ABY

001010100110或非逻辑真值表2.或非运算（NOR）或非逻辑表达式或非门逻辑符号≥1

ABYYAB+

ABY3.与或非运算（AND-OR-NOT）与或非逻辑表达式ABCDY

001010100110与或非逻辑真值表或非逻辑功能口诀：与项有“1”则出为“0”；全部与项为“0”则出“1”。

与或非门图形符号YDCAB≥1&ABCDYYDCAB+异或逻辑功能口诀：相同为“0”；不同为“1”。

4.异或运算（XOR）

ABY

000011101110异或逻辑真值表异或逻辑表达式异或门图形符号YAB=1AYBAYB⊕同或逻辑功能口诀：相同为“1”；不同为0”。

5.同或运算（XNOR）

ABY

001010100111同或逻辑真值表同或逻辑表达式⊙异或与同或互为反运算：⊙⊙同或门图形符号=AYBYABA⊙YB2.3.1基本公式P24T表2.3.12.3逻辑代数的基本公式和常用公式例：用真值表证明反演律000101101111000110010101000证明:如果等式成立，那么将任和一组变量的取值代入公式两边所得的结果应该相等。因此，等式两边所对应的真值表也必然相同。求证:A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重叠律=A(1+B+C)+BC;分配律=A•1+BC;0-1律=A+BC;自等律=左边0000010100111001011101110000111100011111证明:例:用真值表证明A+BC=(A+B)(A+C)000100010011111101011111000111112.3.2若干常用公式P25T表2.3.3一、吸收律1、A+A·B=A——化简中的吸收法(21)两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项多余，可删去。2、A+A·B=A+B——化简中的消因子法(22)两个乘积项相加时，如一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。3、A·B+A·B=A——化简中的并项法(23)两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其它因子相同，则两项可以合并，其结果为相同的部分。二、冗余律（冗余定理）*4、——化简中的消项法

在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。公式可推广：2.3.2若干常用公式三、异或运算公式（58页题2.1）1、交换率：2、结合率：3、分配率：4*、常量、变量异或：5、因果互换率：2.3.2若干常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律2.4.2反演定理：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：①运算符号变：“●”变“+”,“+”变“●”；②常量变：“0”变成“1”，“1”变成“0”；③变量变：原变量变成反变量，反变量变成原变量。

那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。注意：

Δ遵守“括号、乘、加”（即括号→与→或）的运算优先次序。必要时适当地加入括号。

Δ不属于单个变量上的非号应保留不变。2.4逻辑代数的基本定理，求。例：2.4逻辑代数的基本定理例：求：解：例：求：解：2.4.3对偶定理：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：①运算符号变：“●”变“+”,“+”变“●”；②常量变：“0”变成“1”，“1”变成“0”；那么得到的新函数式称为原函数式F的对偶式FD。对偶定理:若两逻辑式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2,则F1D=F2D。注意：同反演定理相比较

Δ运算的优先次序相同；Δ只变换运算符号和常量，其变量是不变的。2.4逻辑代数的