直线及平面相对位置

第七章直线与平面、两平面的相对位置§7-1直线与平面平行•

两平面平行§7-2直线与平面的交点•

两平面的交线§7-3直线与平面垂直•

两平面垂直f’e’d’edfc’a’acb’bm’n’mnr’rss’§7-1直线与平面平行•

两平面平行一、直线与平面平行二、两平面平行返回平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行包括定理：

若一直线平行于平面内的某一直线，则直线与平面相互平行。一、直线与平面平行PCDBA

若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行返回n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？11面内取线x例题2试判断直线AB是否平行于定平面fg’f’gb’a’abc’e’d’edc直线AB不平行于定平面

返回X正平线例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解nX11二、两平面平行

若一平面内的相交两直线对应平行于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACB返回①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdefnlmm’l’n’bacc’a’b’fkf’k’三、直线与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线返回§7-2直线与平面的交点•

两平面的交线一、直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。BAK返回MBCA二、平面与平面相交FKNL

两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有返回xb’ba’acc’m’mnn’由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPoABCacbkNKMkk’三、直线与平面相交的特殊情况返回1(2)12abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●返回xkm(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法返回xVHMmnlPABCacPHkfFKNL四.特殊位置平面相交nlmm’l’n’bacc’a’b’fkf’k’由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。返回x可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线(在重叠的公共区域连粗)②判别可见性作图步骤

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴返回xb’bacnlmc’m’a’l’n’fkVHMmnlPABCacPHkfFKNL判断平面的可见性f’k’返回x例题1求交线并判断可见性fkf’k’b’bacnlmc’m’a’l’n’XO1’2’（）12返回bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m

、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●例题2返回C五、直线与一般位置平面相交返回ABNM例题1例题2判别可见性f’e’efba’acb’c’1’2’例题1求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。QV21kk’步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。返回X12例题2求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。f’e’efbc’a’acb’PH2’1’kk’步骤：1、过EF作铅垂面P。2、求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。返回可见性判断可见性判断3’(4’)345’(5)例题1例题2两一般位置平面相交求交线的方法六、两一般位置平面相交返回两一般位置平面相交求交线的方法用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。MBCAFKNL返回bacc’b’a’ll’nmm’n’PVQV1’2’21kee’k’两一般位置平面相交，求交线步骤：用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。例题1求两平面的交线判别可见性返回Xbacc’b’a’ll’nmm’n’21()3’4’

()ke341’

2’e’k’判别可见性的原理是利用重影点。判别可见性返回x[例3]

如图．已知等腰三角形DEF的顶点D和一腰DE在水平线DG上，另一腰DF//△ABC，点F在直线MN上，完成三角形DEF的两面投影．用三角形法作DF的真长[解]

DF一定在过D点的平行于△ABC的平面上，先作出这个平面.PVff’DF的真长n'cb0b´c´m'g'd'nmgdX返回a´aee’ΔZ1’122’§7-3直线与平面垂直•两平面垂直一、直线与平面垂直二、两平面垂直返回基本认识:

垂直的几何条件该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线。特殊情况当直线与投影面垂直面相垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影。当平面与投影面垂直线相垂直时，平面一定平行于该直线所垂直的投影面。直线与平面相垂直的几何条件是：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。两平面互相垂直的几何条件是；返回一、直线与平面垂直

若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。VHPAKLDCBE返回定理1定理2定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa’ad’c’b’dcbe’ek’l’kl返回X定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。VPAKLDCBEHa’cac’l’lkf’d’b’dbfk’返回x例题1：平面由

BDF给定，试过定点K作平面的法线。ha’cac’h’kf’d’b’dbfk’返回Xh’h例题2：试过定点K作特殊位置平面的法线。h’hh’hkk’SVk’kPVk’kQHXXX返回例题3：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。e’f’em’nmn’c’a’ad’b’cdbf返回不垂直XⅡ二、两平面垂直

若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD返回

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ADⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAD返回g’例题1：平面由

BDF给定，试过定点K作平面的垂面。ha’cac’h’kk’f’d’b’dbfg返回x过点A作平行于直线BC且垂直于△DEF的面．k'km'mh'n'nhb'c'cbd'f'e'dfeXOa'a返回[例1]如图所示，过点A向□

BCDE作垂线AF，并作出垂足

F以及点A与□

BCDE的真实距离。[解]

过一点向一个平面只能作一条垂线．由于□

BCDE是正垂面，按直线与垂直于投影面的平面相垂直以及直线与垂直于投影面的平面相交的投影特性可知：

AF是正平线。f'fa'

f'即是AF的真实距离返回T.L

一般情况如图．已知DG

△DEF。在△DEF上取正平线DM和水平线DN，则DGDM，DGDN。直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的正面投影，垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影，垂直干这个平面工的水平线的水平投影；直线的侧面投影，垂直干这个平面上的侧平线的侧面投影。n'nm'm根据一边平行于投影面的直角的投影特性可知：g'd'

d'm'dgdn返回[例2]如图所示，判断□ABCD与△EFG是否互相垂直?[解]只要检验是否能在□

ABCD上作出一条直线垂直于△EFG。m'mn'nk'k作b'k'垂直于e'm'检验bk垂直于en返回小结重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。解题思路：★空间及投影分析目的是找出交点或交线的已知投影。★判别可见性尤其是如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。返回要点一、各种位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线

——积聚性。另外两个投影类似。

在其平行的投影面上的投影反映实形

——实形性。另外两个投影积聚为直线。返回二、平面上的点与直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上⒉平面上的直线⑴过平面上的两个点。⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平