第四章高数课件何满喜第四章一元积分学习题课

高等数学由杨艳制作第四章一元积分学第四章习题课一、主要内容二、典型例题问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容1.定积分定积分的定义定义作和被积函数被积表达式积分变量积分下限积分和积分上限定积分的几何意义定理2(可积的充分条件Ⅰ)定理3(可积的充分条件Ⅱ)定积分的存在条件定理1(可积的必要条件)定积分的性质规定:性质1（线性性质）性质2（积分区间可加性）补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质3性质4（单调性）推论性质5（定积分中值定理）积分中值公式积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分2.不定积分定义设函数F(x)、f(x)均定义在区间I上,F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

，则称函数F(x)是已知函数f(x)在区间I上的一个若对都有原函数.原函数定理（原函数存在定理）连续函数一定存在原函数.即如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上必存在一个可导函数F(x)使得不定积分的定义定义函数f(x)的所有原函数的一般表达式称为函数f(x)的不定积分，记作任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量(2)(1)不定积分的性质性质1求不定积分运算与微分运算互为逆运算性质2性质3基本不定积分公式连续，则变上限积分函数在[a,b]上可导，且3.微积分基本定理、基本公式定理（微积分基本公式）换元积分法直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.4.积分的计算定理（不定积分的第一类换元积分法）设则作变量代换后，有常见类型:定理(不定积分的第二类换元积分法)设f(x)连续，是单调的、可导的函数且，若，则常用代换:设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数满足条件:则且定理（定积分的换元积分法）换元必换限

、换限必对应，配元不换限.分部积分法选择u的有效方法:“反对幂三指”几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的待定系数法四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式①②

③④

（2）三角函数有理式的积分（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式5.定积分的应用微元法第一步利用“化整为零,以常代变”求出微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出积分表达式这种分析方法成为微元分析法，简称微元法.整体量的精确值局部量的近似值定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积X型平面图形Y型平面图形极坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数平行截面面积为已知的立体的体积(2)体积xyo(3)平面曲线的弧长A．曲线弧为B．曲线弧为C．曲线弧为(4)质心现有一均匀薄片,由曲线,

及直线x=a,a=b所围成，且.薄片的面密度为常数，则其质心为(5)变力所作的功(6)液体静压力6.反常积分(1)无穷限的反常积分(2)无界函数的反常积分（a为瑕点）（b为瑕点）二、典型例题例1解原式例2解例3解例4解原式例5解(倒代换)例6解例7解例8解例9解例10解例11解例12解例13解例14证例15解(1)(2)例16解由