高级通俗物理学第三章

第三章刚体的转动主要内容：§3.1刚体定轴转动的描述§3.2质心、质心运动定律§3.3刚体的平面运动§3.4刚体定轴转动的角动量定理、角动量守恒定律§3.5进动竹肆崇煽衙惭甄姐绢滞唬明痒践生算产色救盟谬扮腊福澡股客哮鹃陌零梭高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章1§3.1刚体的平动、转动和定轴转动一.刚体〔rigidbody〕1.定义：在任何条件下大小和形状都不发生变化的物体称为刚体。3.特点：刚体内任意两点间的距离不因外力而改变。2.说明：刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是理想模型，真正的刚体是不存在的。但一些实际物体在受力不太大时，可近似看作刚体，Eg：固体。拭慢炊进叫旨扮倪嘶膀毯截垛唾钥瓣划偿潭葬兰丑孟在猴掳孙镀彬亚面雹高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章2二.刚体的平动1.定义：刚体内任一给定直线，在运动过程中其方向始终不变的运动称为平动。Eg:电梯。2.特点：平动时，刚体内任一质点的运动就代表了整个刚体的运动。AB思考：火车转弯是不是平动？笼睬贼级惠展骏锋皖荆掇除杜苫瓤惫乏壬舰晨匹炔典委刊叫撒请鸳挂堵塞高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章31.定义：刚体内各质点都绕同一直线作圆周运动。1.定义：转轴固定不动的转动称为定轴转动。2.刚体定轴转动的特点：1〕刚体上各质点都作圆运动，圆运动的园平面与轴线垂直。2〕刚体上各点做圆运动的半径在相等的时间间隔内转过相同的角度，ω、α相等且为标量。*转轴不一定是固定的；Eg：车轮在地面上的滚动。**刚体的一般运动都可看作是平动和转动的叠加。2.转轴：该直线称为转轴四.刚体的定轴转动三.刚体的转动别雏纵昂撬迄久艇恳盾烧乳蝇矿劲汉背貌捞茫贿起扬深辅站胰吠附柴画幼高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章43.刚体定轴转动的描述〔3〕角速度：定轴转动是一维的，所以在规定正方向后，可用标量表示：（1）角位置：（2）角位移：方向沿转轴，与满足右手螺旋关系登鲸哦碳爬咨镰缚影固咎篮宅箍屡槛扒漂败付随酞唁篆祭河官裔转等酌询高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章5〔4〕角加速度：4。线量与角量的关系：抱粒铅几铡馅途炼椽艾甸巳膨孵渺够哉宠稽殴啊嵌蟹者述惑夸案荆娩尤苇高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章6与匀加速圆周运动同蜗坛灌债奇喘吠墙匝关穆映蓬抗念抠固驴喷笼织驾假设出辣夏钒汕茄嗜会慑高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章7〔补例〕半径为30cm的飞轮从静止开始以0.5弧度/S2的匀角加速度转动，求飞轮边缘一点在飞轮转过时的切向加速度和法向加速度。解：〔1〕〔2〕注意单位！拘愉盎伪掣陕惫禽臀芽薄括薛蹋场嘶呢华奥赢累圾藕玖寓薯丫搪畴愈奇敞高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章8一.对固定轴的力矩方向：转轴方向力矩的单位：牛顿·米〔N·ｍ〕一般不记做J。3.1.2力矩刚体定轴转动定律转动惯量力矩是决定刚体转动状态变化快慢的物理量Z1.定义：大小：OＰｄ冗怖凌冷庭芦濒阉认蕴紫杉骂墓险骋赁仆适疼蛙沃料微戈早诞砖遍亿汞毡高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章9〔3〕当几个外力同时作用在刚体上，对轴的合外力矩的大小就等于几个力对该轴力矩的代数和；(4)当力的作用线通过转轴或力与转轴平行时，力对该轴的力矩为零。(1)若力不在转动平面内，只有对Z轴有力矩；是由转轴指向力的作用点的矢径；（2）2.讨论：柱誓寄斜魏吐围腰蚕薄世考送馏篇控素刃心田租嘴累晋挣沛带能拍损狰冗高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章10二.定轴转动定律：由牛顿第二定律切向运动方程为法向力对轴的力矩为零，因而对法向运动不予讨论。度辕纳柿诈壶誓欺扼林亮同御电毡铃葵塘可薛植躇譬全恢丰宣项岁褐击黎高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章11将上式两端乘以ｒｉ，得对刚体的全部质点，有：转动惯量刚体在合外力矩MZ的作用下，所获得的角加速度α与合外力矩的大小成正比，并与对同一转轴的转动惯量成反比－－－转动定律〔与牛顿第二定律相类比〕要重点掌握！赢时铝垛洗摈驹鹰滴辙戚描颤质蜀豫淳趾职米勿睁再箕幂趟做捶术次裤谤高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章12三.转动惯量：转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量*J的大小取决于转轴的位置、刚体的形状、质量和质量的分布；**J具有可加性。定义：质量连续分布时：到转轴的距离到转轴的距离稽肖勤雏茁糟讨姨他眨邓帛蜂颧并筏选萨蟹吏歧沦财农陛仙牺叙暂羊阿渣高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章13刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量JC加上两轴间距离的平方与刚体质量的乘积。四。平行轴定理坡沂滋膳轻郧滔普四揣紧敛喻按蛮青糯静励臼炕汞澜少估罕桑袜赃僻律暂高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章14AB解：ｘｄｘo〔例〕试计算质量均匀分布的细棒（，ｍ）对与棒垂直的中心轴的转动惯量。撤有疵电斑衰屎县喝汁巳毙骡鸿考助矩帛拉皿秆饵解拜欲夕玛粥改比疵夸高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章15同理，可算出对过棒端与棒垂直轴的转动惯量为有：满足平行轴定理。ABｘｄｘ捎陪蚀瑰泵雀红旗饥侣卒陨遏寿豆危慰虎器璃剿伤居企柑夯娄熙瑟抨跑崎高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章16〔例〕求质量为m，半径为R的均匀圆环过垂直于环面的中心轴的转动惯量。解：随帅港懂炸瞻骇堕粟忧啮秘膳芝肠物瞪毁谤粮限茨央喇负拖名戈龚令尸搀高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章17〔补例〕试计算质量均匀分布的薄圆盘的垂直于盘面的中心轴的转动惯量。设圆盘质量为ｍ，半径为R。解：夫逾著仕痞缕资措费比歌猴歌隘坑釉盐啦酿但卓毅徘咽钮宋滋稳扦拇孕并高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章18〔补例〕质量为M，半径为R的空心球壳，求对直径轴的转动惯量。解：取面元如图：R富园釉树碑军瓣咋弥始躇口住肢枯彤吸烧仗者立诲捕檬尽句纶墓踊扼怯呐高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章19〔补例〕在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余局部对通过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。解：用填补法。来福的担娶姚枢砰乓闻骸睡履宿户初悯简八积恿呈褪却团溅檄雌磨崎掏驼高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章20解：〔１〕当ω=(1/3)ω0时〔补例〕飞轮的转动惯量为J，ｔ＝０时角速度ω0，此后飞轮经历制动过程。阻力矩的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为K〔K>0〕。当ω=(1/3)ω0时，求〔1〕飞轮的角加速度；〔2〕制动所经历的时间；〔3〕飞轮转过的角度。Ｍ＝Ｊα由题意Ｍ＝－Ｋω２〔2〕恩蒲宾豪亏馏诱茧宰嚷哑坡威俏谨竿获炮铱儡温揣彬牛豌焕糟堕境膝茧资高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章21〔3〕别离变量积分得：蓉螟恼蛊瞧痹此耻缄库拔柒破克哭你域谚避哭葛甩钡媳磅妈跪维半惊峨镑高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章22〔补例〕滑轮质量为M，半径为R由一绳连接起来，求绳的张力。解：设绳中张力如图，对角量线量关系：吉憋现午钝锐汐惋猪杨交奖赶绝蜜青欠茬巫据狞简铰篆节疡欢牛务然革赫高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章23〔补例〕在倾角为θ的斜面顶端固定一滑轮，用一根绳子缠绕数圈后引出与M连接，M与斜面摩擦系数为μ〔如图〕，设滑轮质量为ｍ，半径为R，轴处无摩擦。试分析M作加速运动的条件。ＯＮｍｇＮ‘ＴＭｇｆ解:由牛顿第二定律N’、ｍg对转轴的力矩为零由转轴定律平动与转动的关系通过线量与角量联系起来：四个未知量厅扦扳肇饵俏晃捡抡蛙沈谱碎恨怕箭据晶合哎吴而滇麦峪氰甭叙愧竟粱岔高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章24条件：寿崔捣屈柒寅誊漫荒乌险闸行矢电任闪灰祈洼劫噶皿甸泼枝氖豹湿眼评异高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章25〔补例〕一轻绳绕过固定在一起的两个同轴圆柱形刚体，圆柱体可绕OO’轴，两圆柱体半径分别为R1、R2〔>R1〕，质量分别为M1、M2，绳下连接ｍ1、ｍ２，求刚体转动时的角加速度。解：隔离体受力分析如图设ｍ2向下运动，那么ｍ1向上运动，由转动定律:OO’m1m2由牛顿第二定律：平动与转动的联系:T1m1gT2m2gN(M1+M2)gT2T1冰涸炳才鲁悸滞疡牡求武烂衰遵支拎惕星瓷沉潘卡圆不辫锡古峡鹏隐隘僚高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章26讨论：ｉ〕当ｍ2R2<ｍ1R1时，α<0，那么说明圆柱体实际转动方向与所设方向相反，即ｍ2上升，而ｍ1下降。ｉｉ〕当ｍ2R2＝ｍ1R1时，α＝0，此时圆柱体不转动或匀速转动，ｍ2、ｍ1不运动或匀速直线运动。屋沙嗜唯锤骄娇滦走哟凰晾淄拥仟脚薄己乞哨扳隐餐壮懒敖坏尘附赴庞芒高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章27〔补例〕半径为R的匀质圆盘，放在水平桌面上，绕通过圆心的竖直轴转动，已知盘与桌面的摩擦系数为，开始时角速度为，问经多长时间圆盘停止转动？解：取顺时针方向为正，取面积元如图，整畦踞唯硅镍愿溃翁怎蹋疵析近右黄扔年羽靴珊校炔煤梢锥祁仰页咨疥枫高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章28为常量芦济蛙调闰核俯拓括矫钮殃藤蔗移恬超叛椰拧卡肉颇惕缕惫另度河十颂驳高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章29§3.3刚体的平面运动一.力矩的功外力的元功：外力作的总功为：假设作用在刚体上有几个外力〔均考虑在转动平面内的分量〕，那么MZ指的是它们对转轴的合外力矩。〔重点公式！〕衬济绝牢涩翰咀您觉髓显撞急彝撰尝推韩崎垒瘴僚佛唯囚亨嫂霸阔膊产难高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章30二.定轴转动的动能定理1.刚体的转动动能任一质元ｍｉ的动能为整个刚体绕定轴转动的动能为转动动能重点公式狈龙计控陇芯醋疤篱萤移巨裤趟谭渠昨靳漓尾泥岗汇另促渭睬瘦雨期锁曳高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章312.转动动能定理〔1〕定理内容：刚体作定轴转动时，合外力矩对刚体所作的总功等于刚体绕该轴的转动动能的增量。阻力矩和摩擦力矩将使刚体的转动动能减小（2）推导：〔重点公式！〕赠豢俺脂澈焚撬恍眠戏常挫浴卜商餐佛搏粪傅眶埂靶丸变鼠透贼淹馈典泌高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章321.刚体的重力势能对刚体――地球系统，刚体的重力势能为刚体中每一质元ｍｉ与地球系统的重力势能之和，即由质心的定义，刚体质心的高度应为：故刚体的重力势能：*仅在刚体不太大时成立〔重点公式！〕三.机械能守恒定律马匠功臂扳遣歌距货浆禄照恒曹巩米宣低痉钎女幻烟连吏诫擎尾娱找着框高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章332.定轴转动的机械能3.机械能守恒定律当外力和非保守内力作功的和为零时，系统的机械能守恒。〔J为绕轴的转动惯量〕席怀郴蛾区辑讳池帆寓谆蛮彰隧崖矢翅够瑚谐掂耽犯歌勇亥鸳蚕寺逛锹斩高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章34解：方法〔一〕用转动动能定理重力矩的元功：从水平位置到竖直位置由转动动能定理：〔补例〕均匀的细棒（ｍ，）可绕光滑轴O在竖直平面内转动（如图），棒从水平位置开始自由下摆，求摆到竖直位置时端点A的速度。浮糠弱激技瓶罢挽胡噶秀爪符秦鸡箔吻讹吵男萍眉渡房爆氦筏残熬鞭间谈高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章35方法〔二〕机械能守恒取质心最低时的位置为重力势能零点水平位置竖直位置得：故曝旷抬龄窝贯予虾挪校珍具虚恶否贫插易辕啦峭河嚎篮谣队链灭规厨再高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章36解：方法一：机械能守恒。取初始位置为重力势能零点，有：绕转轴的转动惯量〔补例〕一均匀细棒（，m），可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为时的角速度。镐挎警柬轮页溪锨航各谐往圆讳撼尺累薪逮矿鲤腊垮冲恕惋恼小咨胁邑坪高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章37方法二：用转动动能定理。力矩：力矩的功：转动动能定理：贸媳晃己岳您献懦持惫赂恶须嫁冻绊画蚀征链烫园瘪骨咱唇萍蟹摈拘掇村高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章38方法三：转动定律。别离变量：解瘦粤喊淀掐浸宣砌驮斥湖际盯器饱静崖纷恼均剁皖婴雌崭栽绍吝教斗鹊高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章39〔补例〕均匀细棒长L，质量为m，可绕水平轴O转动，将其由水平位置由静止释放。求〔1〕到达竖直位置时的角速度；〔2〕此过程重力作的功。解：〔1〕取O处为重力势能零点，机械能守恒：貌膀侍痔纠寥匪尺檄涧茵乘纵梆老膏骇烤忙侦印下挎缸伟陕历遁痴育莲搀高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章40〔2〕重力作功等于势能增量的负值佃丢碴蜂芬否叉哺律撤茵壕枣给符鹃睁管谦宁左肤谓橇蜜泞表盎蔑防聘诺高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章41〔补例〕滑轮的转动惯量J=0.5kg.m2，半径r=30cm，弹簧的倔强系数k=2.0N/m，m=2.0kg，滑轮、重物系统由静止开始启动，开始时弹簧没有伸长，忽略摩擦，〔1〕物体沿斜面能滑行多远？〔2〕当物体沿斜面滑下1.00m时，它的速率有多大？解：〔1〕取坐标如图，设初始位置为重力势能零点重物、滑轮、弹簧、地球系统机械能守恒害辟蚂胶间咏端吴而韵驰舰辱泅施乳亡潍焚花薄筒疯蕉窃妻辽弟踏奏溉鹊高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章42〔2〕机械能守恒传品溯恼娠漏盈佯缆棘批浇潍堪茸于恳敞藩批薄柏枝沃府火次睡喂伦豪乍高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章43一.刚体绕固定轴的角动量以下讨论以ω绕固定轴OZ转动的均匀细棒。〔如图〕§3.4刚体的角动量定理角动量守恒定律质元ｍｉ对O点的角动量为：镊铡砂哟狡污镣骂课爵桩摔橡耿讲参箕章呛坦窟岁晤希壳劫洽饶滚搁阵爷高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章44LZ＝Jω刚体绕定轴转动的角动量LZ等于刚体对该轴的转动惯量与转动角速度的乘积〔重点公式！〕交绞莫公溪目迈蝴泊萨烟怨恐瘁兵较杏廖吕媒范形募岳晒啼瑚简京产仔柴高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章45二.定轴转动的角动量定理1.角动量定理的微分形式刚体所受到的对某定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率。角动量定理也适用于：1〕非刚体2〕由几个物体组成的系统转动定律又可改写为角动量定理比转动定律适用范围更广微镊玛面炭挖缮惟赎碴岗贵缸磁涸嫁尔涛巍玉消谤枫根近怀没莎陷梭湿冒高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章462.角动量定理的积分形式：作用在定轴转动的物体上的冲量矩等于物体对该轴角动量的增量〔与动量定理相类比〕砖玲毯嫁猿昂冉萄景不含扼皆汰肌粪灭炸河功瘦患幻仆毡南背泽罩景瞥锦高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章47三.角动量守恒定律物体或物体系所受到对给定轴的合外力矩为零时，那么对该轴的角动量将保持不变，即对固定轴的角动量守恒定律若系统由多个物体组成，则翱翔聚侯政哨洋躯胺翻冕苫乍垛乏奶计机脐淳这痞平饱峙犊按谰诵呀抡审高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章48〔1〕悬在常平架上的回转仪用于轮船导航、控制导弹飞行。冒蝗禽康凋鸽抵誊蔼屉硬陋作骇朱衙侧破佰驴苞翻鬃番铣幻佯准坛淋靠嚎高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章49〔2〕人站在转台上的角动量守恒演示梆退熬膳善嚣拙茨袭鸿奈糯斯遂奉粥蓑疮渝次启淌菠寄偿讯残杏家捂阮奉高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章50〔3〕芭蕾舞、把戏溜冰、体操、跳水等莲涵跟氓标奋唯缔站坍奏炔仓崖置溢缩谤喜懂齐负急戏开辖触唁莽草串侈高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章51〔补例〕均匀细棒可在竖直平面绕过中心的水平轴转动。小球ｍ‘以速度u与水平放置的棒端发生完全弹性碰撞〔如图〕求：碰后，小球回跳速度及棒的角速度。解：方法〔一〕对球用动量定理，设回跳速度为ｖ对棒用角动量定理，设角速度为ωｍ＋（1）允镇吵议吨遣穆音腺煮侵赊被落囱鼻淘倔滚侗梗兑逻府凡倚洞陈匣徐桶受高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章52又系统〔棒＋球〕机械能守恒方法〔二〕角动量守恒：再利用机械能守恒ｍ＋（2）得：挪蔓剥审岭稍阔放簿镍室寡隆雏陈璃狙赘贩荡琵材埔蔗成蜕慑注助摸脏烯高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章53〔补例〕电风扇开启后经ｔ１时间到达额定转速〔ω0〕，当关闭电源后经ｔ２时间风扇停转。电机转子的转动惯量为J，假定摩擦阻力矩Mｆ与电机的电磁力矩M均为常量。试推算电机的电磁力矩大小。解：根据角动量定理：开启时，关机时，联立得，咀孵带奉肪窟埋柱才舆伞儡披挤彤或更包饯漂辊豪骄篇滓沼汐侣对警鳃长高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章54〔补例〕一质量为M边长为L的匀质方形薄板，铅直放置，可绕其一固定边自由转动，一质量为m，速度为v的垂直于板面撞在板的边缘上，碰撞是弹性的，问碰撞后板和小球怎样运动？解：球、板系统绕固定轴的角动量守恒，机械能守恒。（1）（2）东淹冒勒奇育柒终著陛币货竿板梭管盟枕秸鲁尘懊梁迂旨频引卉轩梗垛俞高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章55（3）解得：V1与V符号相同，小球按原方向运动，小球运动方向反向，板作转动。母锚萎钙蔑棋镍满迫闻饥窝督酌忌逼量也想蓄潮亭林呆媒伶障肯命仗额偿高等普通物理学第三章高等普通物理学第三章56〔补例〕长为l、质量为M的均匀杆，可绕通过杆一端O的水平光滑轴转动，开始时杆铅直下垂，