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文档简介
第四章跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法
chapter4TheMixedFiniteDifferenceMethod(FDM)forVelocityPotentialFunctionofSteadySmallPerturbationandImplicitApproximateFactorDecompositionMethods主要内容:maincontents混合差分解法MixedPDMethod小扰动方程及小扰动激波差分式
Smallperturbationequationandsmallperturbationrelationshipforshockflow小扰动速势差分方程
Thefinitedifferentialequationofsmallperturbationpotentialfunction边界条件及边界条件的嵌入Theinitialconditionandboundarycondition线松弛迭代解法Linearrelaxationiterationmethod升力翼型的跨音速小扰动势流差分方法FDmethodofvelocitypotentialfunctionforsmallperturbation隐式近似因子分解法ApproximatefactordecompositionmethodAF1方法AF1methodAF2方法AF2method
方法比较Comparisonofthemethod重点:Focus混合差分方法MixedFDMethod
难点:Difficulty隐式近似因子分解法ImplicitApproximatefactorydecomposition第四章跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法
chapter4TheMixedFiniteDifferenceMethodforVelocityPotentialFunctionofSteadySmallPerturbationandImplicitApproximateFactorDecompositionMethods跨音速流:局部超音区与亚音速同时存在的流场Transonicflow:Localsupersonicflowandsupersonicflowexistsmeantime偏微分方程:混合型方程ThePDE:Mixedtypeequation混合差分方法:用不同的差分方程求解跨声速流场
MixedFinitedifferencemethodistosolvetransonicflowwithdifferentFDMs混合型方程及流场:采用迭代方法求解,求解之前不知道方程的类型MixedEquationandflowfield,theiterativemethodisusedbecausethetypeoftheequationisunknownbeforeitwassolved小扰动方程:小马赫(0.6~1.4)流过薄而微变的叶片(机翼或叶栅)时全速势方程可简化为小扰动方程
Smallperturbationequation(SPE):whenmachnumberissmall(ie0.6~1.4)thefullvelocitypotentialequationcanbesimplifiedtoSPE混合差分:用混合差分格式求解小扰动方程MixedFDM:TosolveequationusingMFDM混合差分和松弛迭代法求解全速势方程MixedFDMandRelaxationiteration:Tosolvefullvelocitypotentialequation.优缺点:Advantage/disadvantage
跨音速松弛法---速度快,有效Transonicrelaxationmethodfasterefficient
时间推进法:适用范围广Timematchingmethods,widelyusage
近似因子分解法:快速Approximatefactordecomposition:faster
多层网格法:收敛性好Multi-gridtechnique:goodconvergence4.1跨声速小扰动速度势方程Equationoftransonicsmallperturbationvelocitypotentialfunction跨声速气流绕过薄翼的情况Forthecaseoftransonicflowpassathinairfoil二维平面速势方程2Dvelocitypotentialequation气流绕过薄翼适用范围:亚、跨、超音速无旋流动Suitable
case:subsonic,transonic,supersonic
irr-rotational
flow.将流动分解为两部分:未经扰动的流动、扰动流动To
decomposetheflowintounperturbedflowand
perturb
flow未经扰动的流动就是无穷远前方来流Flow
atunperturbedfieldsisfarfieldflow扰动运动速度势可以用表示。速度可以用表示Potentialfunctionofperturbationflowis,perturbationvelocitycomponents两部分的合速度势Thetotalvelocitypotentialfunction代入速势方程可得小扰动速度应满足的方程Substitutetheequationandthenthesmallperturbationeq.求得速度场之后,可以得到压强及压强系数为Thepressureandpressurecoefficientcanbeobtainedfromthefollowingequations.再用等熵流动的关系式可得到其他参数
Thenintroduce
the
isentropy
relationtogetotherparameters比热比绝热指数小扰动条件下,扰动速度远小于自由来流速度
on
smallperturbationcondition,theperturbationvelocityless
than
free
stream补充条件:
Supplement
conditions来流不能接近音速incoming
flow
velocitydoes
not
approach
sonic
来流非高超声速incoming
flow
velocitydoes
not
approach
hypersonic为进一步简化扰动方程,忽略扰动速度一次项,可得到下列关系:Simplified
equation最后得到:
Final
equation应用范围:亚、超声速
Suitable
for
subsonic
and
supersonic不适用于跨声速区域:对于跨声速≈1,必须取消补充假设条件,即取消来流不能接近音速的假设,这时速势方程首项的系数一次项不能忽略
For
transonic
flow
field
(M≈1),the
supplement
condition,the
first
item
of
the
potential
function
equation
can
not
be
neglected.
跨声速小扰动方程应为:Thesmall
perturbation
equation
of
velocity
function可以证明:当M∞→1时,
It’sproved,whenM∞→1,因此跨声速条件下,小扰动方程可以写成Sothatthesmallperturbationequationattransonicflowcanbewrittenas此方程的类型取决于:Typeoftheequationdependson=B2-4AC=4(M2-1)当M<1时,<0,不存在实特征根,没有特征线,为椭圆型WhenM<1,norealeigenvalueexists,thatisnocharacterline,theequ.iselliptic.当M>1时,>0,存在两个特征根,有两条特征线,为双曲型WhenM>1,therearetwoeigenvalue,twocharacterlines,theequ.ishyperboliceq.当M=1时,=0,存在一个特征根,有一条特征线,为抛物型WhenM=1,thereisoneeigenvalue,onecharacteristicline,theequ.isparabolic
特征线(当M>1时):斜率
Theslopeofcharacteristicline特征线与x轴夹角为局部马赫角,对称于x轴。LocalMachangleistheanglebetweenvelocityvectorandthecharacteristiclinexyoqr’pq’r影响区依赖区是马赫角issocallMachangle
影响区:P点下游由两条特征线所夹的区域Influencezone:
upwindzonebetweencharacteristiclines依赖区:P点上游由两条特征线所夹的区域Dependzonedownstreamzonebetweenthecharacteristiclines扰动下的压强系数公式
Thepressurecoefficientonsmallperturbationcondition§4-2小扰动激波关系式Theshockrelationsofsmallperturbation.
等熵激波小扰动激波的熵增是三阶小量Forsmallperturbationshock,entropyincreaseisthirdorder,soitisisentropyshock。
激波的精确速度关系式:Accuratevelocityrelationofshock激波前后的速度关系式(几何关系)Velocityrelationsinfront/rear-shock即
对于直角坐标系AtCartesiancoordinates
因此sothat由能量方程可得Fromenergyequation由此得到M∞→1时的方程(跨声速中)Fromwhere,theequationwhenM∞→1,(transonicflow)超声速中Atsupersonicflow适用范围:激波前后小扰动方程,适用于等熵波
Aboveeqs.areavailableforsmallperturbationflowinfront/behindoftheshock,i.e.,iso-entropyflow§4-3跨声速小扰动速势差分方程
Smallperturbationequationfortransonicflow
混合性方程,在同一流场中不同点所用的差分方程不同。Mixedequation,differentFDEisusedforthescheme一、中心差分格式
CenteralFDEschemeflowfield
对速度势Forvelocitypotentialfunction一阶导数的差分格式Firstorderdifferenceequationisobtainedas二阶导数的差分格式Plustwoequations,andget2edorderPD二阶精度
2ndorder在超音速流中,气流参数只受上扰动游影响与下游扰动无关。Atsupersonicflow,theparametersofflowaredependentonupwindperturbationandindependentondownflowperturbation需建立迎风一侧差分格式TheupwindonesideFDschemeisneededtobuilt
取上游一侧的点构成差分格式TaketheupwindpointtoconstructFDscheme一阶精度迎风格式1storderupwindscheme二阶精度迎风格式2ndorderupwindscheme二、一侧差分格式Oneside
FDEofthederivatives三、亚音速点的差分方程Atsubsonicflowequation取网格点如图:正交等间距网格Thespacenodesareshownas中心差分格式构成的差分方程即受周围四点的影响,这是亚声速流动的特点iseffectbyaroundfourpoints,thisissubsonicfeature
四、超声速点的差分方程FDEforsupersonicflow当计算点为超音速(M大于1)时,方程为双曲线型Whenlocalsupersonicflowappear,theequationis
hyperbolic存在依赖区(上游马赫锥内部)Thedependencezoneexists,(upmachcore)对y的差分可以用中心格式Thecenturialdifferenceisusedforthederivativewithspedtoy对x的差分要用迎风格式UpwindschemeisusedforX-direction显示格式:差分式取,而不用线法Explicitscheme每次都用i网格线上的已知值,可以从左到右逐点计算Theknownvalueisusedtocalculatethevalueateverynodesequently隐式格式:利用当前网格线上的值构筑差分方程Implicitscheme:usingpresentvaluetoconstructFDE
具有三个未知量(在网格线i上)
Wherethereare3unknownpoints显式比隐式方便Explicitlyschemeismoreconvenientthanimplicitscheme显式格式稳定区域小Thestabilityzoneofexplicitissmallerthanthatofimplicitly稳定性和收敛性
Stabilityandconvergence收敛性:当步长趋于零时,差分方程解趋于微分方程解Convergence:whensteplengthtendstozero,thesolutionofthePDFtendstothesolutionofPDE稳定性:差分误差在传播过程中有界且逐渐减小Stability:theerrorislimitedordecreased对波动方程(双曲型):稳定性条件是差分方程依赖区不小于微分方程的依赖区Forviberation
Eq,thestabilityconditionisthatthedependentzoneofPDElessthanthatofPDE对超声速势函数
Forpotentialvelocityfuction
差分方程依赖区半顶角ThehalfconicalangleThedependentzoneoftheFDE微分方程的半顶角theangleofthedependentzone差分方程稳定条件为对于跨声速势流,不满足稳定条件,因为Fortransonicflow,thestabilityconditionisnotsatisfied跨声速势流不能用显示格式
sotransonicpotentialfunctioncannotsolvewithexplicitmethod隐式格式的依赖范围大于微分方程的依赖范围ThedependentzoneofimplicitschemeisgreatthanthatofPEDJ+1JJ-1双曲方程差分采用一侧隐式格式Forhyperbolicequation,onesideimplicitlyschemeisused五、音速点的差分方程Thefinitediffenceatsonicpoints
当M=1时,方程为抛物性,存在一族特征线WhenM=1,theequationisparabolic,thereexistaseriesofcharacteristline速度势方程化为potentialequationbecome
Subsonic采用差分方程可以写成UsingFDE六、速度判别式Velocitycriticalcondition
四种情况:
Fourcases
亚声速sub亚声速sub
超声速supe超声速super
亚声速sub超声速super
超声速super亚声速subsupersupersonicairfoilⅠⅡⅢ:过渡连续
continuallychanges
Ⅳ:出现激波参数不连续theshockappears,parametersarediscontinous
Ⅲ:有音速线存在Thereexistssonicpoints逐点判别:根据系数进行判别Judgeaccordingtothecoefficientof情况的值的值Ⅰ>0>0亚-亚声速subsonicⅡ<0<0超-超声速supersonicⅢ>0<0亚-超声速sonicⅣ<0>0超-亚声速subsonic中心差分一侧差分A
(i,j)点性质对应的差分方程any亚音速subsonic超音速supersonic音速点sonic差分方程形式PDEform七.跨声速小扰动激波的差分方程
PDEfortransonicsmallperturbationshockflow激波处:速度由超声速过渡到亚声速Atshock,theflowtransferfromsupersonictosubsonic激波前流场均匀(近似)
Infrontoftheshock,theflowisuniformsupersonicflowi,ji-1ii+1j+1i-1ji,j+1i+1,j+1i+1,ji-1shock激波后流场均匀(近似)Aftertheshock,theflowisalsouniform差分方程(跨声速小扰动方程的差分形式)FDE(Transonicsmallperturbationflow)对无旋流动(无旋条件)Conditionofirrotationalflow
其差分形式ItsFDform
考虑了无旋条件的扰动速度差分方程Afterconsideringtheirrotatationalconditionthesmallperturbationequationbecomes讨论:discussion:
跨声速区小扰动激波差分方程与小扰动激波关系相同八、超音速点差分方程的人工粘性
artificial
viscous
for
supersonicFDE速势方法假设了流场均为等熵流The
velocitypotentialmethodassumethattheflowisiso-entropy导致流场间断解不唯一(可由亚-超,也可由超-亚)Itleadsto
non-unique
solution如果采用迎风格式(单侧差分),则只适合压缩突跃(由超-亚),不可能出现膨胀解。Continuous
solution,if
theupwindschemeisused,thesolutiononlysuitableforcompressiblesharpincrease(shock),notsuitableforsharpdecrease.超声速点差分方程(迎风格式)FDE
of
thepotentialequationatsupersonicflow原因:采用1阶迎风格式1st
order
upwind
scheme应用当地M数改成相对应的微分方程UsinglocalMachnumberMtorewritethePDEthen其中类似于跨音速小扰动粘性流方程中的粘性项。称为人工粘性
Where
issimilarastheviscousformofsmallpertubationequation,socalleditartificialviscous差分方程的解只含压缩突跃,即激波(是熵增过程)PDEonlyincludescompressedshapechange(wheretheentropycreases)不可能产生膨胀突跃(即熵减过程)Notsuitableforexpandingshapechange(whereentropydecreases)4.4边界条件及其嵌入
EmbedingofBoundaryconditions一、边界条件(BoundaryCondition)1.物面:无粘,无穿透条件onwallnonormalvelocity对于翼型(叶栅),设物面方程为,则定常流动边界条件即:若翼型上下表面可表示为则速度分量可写成
上表面的边界条件为BConupsurfaceis其中,,为扰动速度Where,istheperturbationvelocitycomponents对于薄翼型Forthinwing小迎角下,时ForsmallAOA,when故上表面(onupsurface)或写成orbewrittenas
同理,对于下表面meantimeforlowerside综合上下表面可以写成以下小扰动方程翼型上下表面边界条件Considerupperandlowersideofairfoil,thesmallperturbationssatisfyfollowingcondition2.库塔条件(后缘边界条件)Kuttacondition(trailingedgecondition)上下表面流线在后缘尖点平滑汇合thestreamlinesonupsideandLower-sidesmoothlysinksattrailingedge在受气动载荷时,速度势在后缘不连续,形成间断面。Undertheaerodynamicloads,velocitypotentialfunctionattractingedgeisdiscontinuous在这条间断面上必须满足Onthediscontinuitysurface,whatmustsatisfyis。。后上下c
(1)上下压强相等
the
pressureonup
andlowersideofairfoilisequal
(2)速度方向相同,大小不同
the
direction
ofvelocityareconsistent,butthevalueofthevelocityisnotequal
小扰动条件下,因此上述方程可写成:
forsmallperturbation,aboveequationscanbewrittenas:
经间断面速度势变化称为环量
through
the
section
surface
the
velocity
potential
function
changes
is
circulation.3.远场条件Farfieldcondition用有限远代替无限远场,扰动速度势的近似条件为:usinglimitedfarfieldreplacetherealfarfieldperturbationvelocitypotentialfunctionBCcanbewrittenas:二、边界条件的嵌入Embedingoftheboundarycondition边界点上速度势应同时满足边界条件和速势方程OnboundarythevelocitypotentialfunctionsatisfyboththeBCandthepotentialEq.1.物面边界嵌入Embedingofwallboundarycondition翼型上表面Ontheairfoilsurface将速势拓延到边界的另一侧(i,j-1)Extendthevelocitypotentialfunctiontoothersideofboundary即Or边界点的中心差分Thecentraldifferenceonboundary利用边界条件得到:UsingBCthenget2.库塔条件的嵌入EmbeddingofKuttacondition增加新方程使上下表面上相同,即Additionalnewequationtomakeconsistentonupandlowersurface3.远场条件的嵌入Embeddingoffarfieldcondition根据具体问题特点建立运动场的计算方法Tofoundthecomputationmethodaccordingtothecharacterofcertainproblem对于自由绕流,运动速度为,自由来流的速度势为forafreeflowaroundtheairfoil,thefarfieldvelocityis,andthevelocitypotentialfunctionoffreeflowis扰动速度势应满足Thereforetheperturbationvelocitypotentialsatisfy§4.5线松弛迭代解法
Thelinerelaxationiterationmethod一、非线性代数方程的迭代解法Iterativemethodfornon-linearequations跨声速小扰动速势方程是非线性的TransonicsmallperturbationequationisnonlinearPDE其差分方程为非线性代数方程,即系数是与函数值或其导数有关ItsFDEisalsononlinearequationthatisitscoefficientsarerelatedtothevariables迭代求解:
Iterationmethod把系数假设成已知量,每次求解之后再重新计算系数,再次求解直到得出收敛解为止.Assumethecoefficientareknownatfirstiteration,thenrecalculatethecoefficientsagainafteronceiteration,repeatiterationuntiltheiterationconvergences二、高阶代数方程的线松弛解法
ThelinerelaxationiterationmethodforHighorderarithmeticlinearequations
高阶线性方程组,线性化后的差分方程
Highorderlinearequations,linearizedFDE阶数为,M为网格点数,n为问题的维数.或阶数M*N*L(M,N,L为空间三坐标方向的网格点数)Theorderoflinear-algebraequationis,whereMisthenumberofthegrids,nisthenumberofdimension.Theorderoflinear-algebraequationisM*N*L,whereM,N,Larenumberofgridsincoordinatesx,yandz松弛迭代:Relaxationiteration
轮流放松流场中的的部分速势,将其假设为未知,其余部分看成已知的,利用线性方程组联立求解
Relaxatethepotentialfunctionsequently,assumethatthepresentpointisunknown,andothersareknown.松弛迭代点松弛:每次把一个点作为未知点Pointrelaxation:onlyonepointisassumedtobeunknown线松弛:每次把一条网格线上的所有点作为未知Linerelaxation:allpointononegridlineareassumedtobeunknown线松弛linerelaxationj线松弛linerelaxationi线松弛法:要求内存较多,方程组的个数减少到一维点数Linerelaxation:requiremorememorysource,thenumberofequationequalstothenumberof1Dpointsij点松弛pointrelaxation逐点松弛:要求内存较少(为线性松弛的倍),扫描流场中的各个网格点,把周围点均看成是已知点。Sequentpoint:requirelessmemoryresource,onlytimesoflineelaxation.Scanallthegridpointssequently.线松弛方程组可采用三对角矩阵快速解法Forlinerelaxationmethod,thetri-diagonalarraycanbesolvewithquickmethod.三、简单迭代和改进迭代Improvemethodofsimpleiterationmethod简单迭代:迭代公式右端的速度势全部采用前次迭代结果Simpleiteration,allparametersonrighthandareoldvalueoflastiteration.改进迭代:每次迭代都用最新速度势值代替右端项。速度判别式要用简单迭代方式计算,则会导致超临界气流计算振荡发散。Theimprovediterationmethodalwaysusesthenewestvalue,andthevelocitycriteriamustbecalculatedaccordingtothesimpleiterationway,otherwise
thedivergencewilloccuratcriticalstate.四、追赶法Thechasemethod求解三对角矩阵线性方程快速方法Itisafastmethodtosolvetri-diagonalmatrix线松弛方法求解方程组Equationforlinerelaxationmethod对于边界点:forboundarypoints上边界upboundary下边界lower
boundaryj=1,2……Ni-1,ji,ji,j-1i,j+1i+1,j对应的系数矩阵为三对角矩阵
追赶法:顺着消去,逆着带入。从上至下消去首项,从下而上代入末项。Thechasemethod:eliminatingsequently,substitutinginversely.Eliminatefromtoptodown,substitutefromdowntoup.五、初场Initialfield
初始值分布:影响收敛速度Initialfielddistributionofparameterswillinfluenceconvergence对亚音速流场:可以选全场速度势为0,即未经扰动Subsonicflowfield:globefieldcanbeputas0,thatistheflowisnotdisturbed对跨音速流场:初值选取需谨慎,合理初场能加速收敛Fortransonicflowinitialvaluemustgivencarefully,thereasonableinitialvaluemightaccelerateconvergence
一般应选用与流场相近的速度势分布Usuallyselectanearsolutionofpotentialfunction可以用相近的亚声速计算结果Theapproximatelysubsonicresultcanbeused六、收敛标准Criterionofconvergence所有点相邻两次计算所得的速势差别的最大值Themaximumdifferencebetweentwoimmediatevicinityiterative可以用与初始比值判别收敛
theratioofcurrentandinitialcanbethecriterion七、超松弛法Superrelaxationmethod加速速度势函数的修正步伐Toacceleratetheconvergence
超松弛
superrelaxation
弱松弛weakrelaxation
八、加密网格法Meshrefinemethod计算精度增加,计算网格数增加Toincreasetheprecision,toincreasethemeshNo.问题复杂度增加TheincreaseofcomplexitytoincreasethemeshNo.计算机时与网格总点数以正比增加computationtimeincreaseasthemeshNo.采用疏密结合的方法可以减少计算时间
Usingcoarse/finemeshmaydecreasecomputationtime加密网格法:先用疏网格数算初始场,加密之后获得精确解meshesrefiningmethod多重网格:先疏后密、再疏;交替使用疏密相间的网格multiplegrid*§4-6绕升力翼型的跨声速小扰动势流差分计算方法FDMforpotentialfunctionoftransonicsmallperturbationflowaroundairfoil一、绕升力翼型的跨声速小扰动方程势流的差分方程Theequationforpotentialfunctionoftransonicsmallperturbationflowaroundairfoil4—7隐式近似因式分解法的基本思想
ThebasicconceptofApproximateDecompositionMethod求解速度势方程的快速收敛解法ItisafastworkingmethodforPotationequationSLOR是显式迭代方法,因此收敛慢SLORisfullexplicitmethod,thusitworksslowly全隐式松弛算法:每次迭代中流场中的任意一点能受到它的依赖区中全部其点的影响
Fullimplicitrelaxationmethod,anypointinflowfieldcanbeinfluencedbyallotherpointsADI(AlternatingDirectionImplicit)交替方向隐式迭代,分为AF1和AF2UsingAF1andAF2基本差分算子:Somebasicfinitedifferencecalculator迎风差分(前差)upwindFD顺风差分(后差)backward/rearwardFD二阶中心差分:2ndordercentralFD二阶一侧迎风差分:upwind2ndonesideFD位移算子:displacement(FD)calculator用位移算子表示差分算子
TheFDexpressedusingdisplacementcalculators差分算子位移:ThedisplacementofFDcalculator差分算子的分解与组合:ThedecompositionandcombinationofFDs差分方程可以用算子表示TheexpressionofFDEusingFDcalculatorL代表未经松弛的差分算子
FDcalculatorrelaxation松弛差分算子N,第n次迭代的修正值为TheFDcalculatorofrelaxationiteration,thecorrectionofnthiteration.算子表达式:
Calculatorexpression当松弛迭代收敛时,,即两者相同Whentheiterationconverged,bothcalculatorarethesame
.
当时,表示其不是差分方程的解,因此表示差分方程满足微分方程的程度。When,denotesthesolutionofFDEisnotthesolutionoftheoriginalPDE,thereforedenotesthedegreeofhowdosetheFDEsatisfythePDE.差分松弛迭代算子的选取原则TheprincipleforseleetingFDcalculator
便于求解,线性,有快速解法convenienceforsolvingequation,linearmethod,fastsolver
稳定,能达到收敛标准stable
高效,N尽可能接近L。
higherefficiency,NapproachingL差分算子的用途:可以清晰的显示差分方程的结构UsageofthePDcalculator,itmakestheFDEsimpleandevident近似因式分解的基本思路ThebasicconsiderationofapproximatedecomposeLaplace方程的差分格式(简单迭代法)TheFDschemeofLaplaceequation(simpleiterationmethod)
改进的迭代法
improvediterationmethod松弛迭代格式
Relaxationiteration
scheme中间值由此then还原为(n)和(n-1)表达式后差分方程还原为ExpresstheFDEusing(n)and(n-1)改进的差分格式为
ImprovementofFDE或(隐式)or(ImplicitForm)引入差分算子,采用差分算子表示,并令IntroducetheFDcalculator,usingFDcalculatorexpression.则松弛迭代法的差分格式为:TheFDschemeofrelaxationiterationis线松弛迭代对应的差分格式FDSrelatedtolinerelaxationiterationis因此超松弛差分算子Thus,thesuper-relaxationFDcalculatorisN分解成两个因式的乘积,则IffactorizeNintotwofactors,then
4-8AF1方法AF1method小扰动速势方程Equationofpotentialfunctionforsmallperturbationflow其中,对亚音速小扰动。可用中心差分格式或隐式方程Where,forsubsonicpoint,thecentralschemecanbeused其中where令Let
则小扰动速势方程的隐式差分格式为Then,theimplicitFDEschemeofthesmallperturbationpotentialis分解第一项系数
Tofactorizethefirstcoefficientterm原系数origin误差error松弛差分算子N可分解成为N1和N2,为加速收敛参数,求解可分两步,
RelaxationPDEcalculatorNcanbefactorizedIntoN1andN2,thesolvingcanbedecomposeintotwosteps
代表中间结果Whereisamiddleresult交替方向隐式差分格式(ADI,or,ApproximateFactorization)
Step1:全场沿X方向线松弛,解三对角矩阵
Xdirectionlinerelaxation,tosolvetrianglematrixStep2:全场方向沿y方向线松弛,也解三对角矩阵
Ydirectionlinerelaxation,tosolveatrianglematrix全隐式格式,对亚声速区适用,称为AF1,
fullimplicitscheme,Forsubsonicit’scallAFI
对超音速点,采用迎风格式Forsupersonicpointstheupwindschemeisused对应两步
Correspondingtwostepsare1.
2.二、AFI的收敛性TheconvergenceofAFI亚音速点(中心差分格式)等价于时间相依方程(将迭代过程看成时间推进)Forsubsonic(centralPDEscheme),thesolvingprecedingisequivalenttoatime-dependentproblem设和,当与系数异号时,差分方程的解收敛于微分方程的解。andhavedifferentsign,thenthePDEconvergestwothePDE三、AF1的稳定性StabilityofAFI采用Vonneumann方法分析误差UsingVoneumannanalyticmethod代入AF1差分方程SubstituteintothePDEofAFI其中where假设,为实数Assume,isrealnumber收敛条件:Theconditionofconvergence即or稳定性条件:
stabilitycondition两个可选参数和,适当选取可以加快收敛Twoparametersandcanbechosencarefullytogetquickconvergence取得到最短迭代次数()Take,thengetminimiterationtimes对应的最佳选择是:CorrespondingopticalchoiceisAFI中所有的误差Fourier分量均可以同速度下降
AFIerrorcomponentsofFourierseriesmaydecrease超声速点的AF1差分方程等价于(4-8-12),但没有阻尼项
TheAFIforsupersonicpointitequaltoequation(4-8-12)
亚,超声速流混合问题,AF1第一个算子需四对角矩阵求逆Forsub-super-sonicmixedproblem,AFIhastosolvefour-diagonalmatrix,thustheefficiencyislower对此类流动,AF1不是最有效的方法Forsuchflow,AFIisnotthemostefficiencyone§4-9AF2方法
methodofAF2对超声速流增加时间阻尼项,取Forsupersonicflow,thetunedampingistraduced差分算子FDcalculatorwithupwindscheme对超声速点,取:Forsupersonicflowpoint等价的一阶微分方程(时间依存)Equivalent1storderPDE(timedependent)其中,为超声速阻尼项,当时,与系数同号,大小取决于
Where,issupersonicdamping,whenthecofficentofandhavethesamesignandthequantitydependson更加高效(有阻尼)ItishigherefficiencyAF2格式对亚声速流收敛性比AF1差AF2convergenceforsubsonicisworstthanAF1亚,超声速点的两步AF2格式如下:Forsub-supersonicflow,twosteps,AF2havefollowingscheme亚:(y方向线松弛x方向迎风格式)
sub
LinerelaxationinYupwindschemeinX
(x向线松弛x方向顺风格式)
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