第四章 时间响应分析法

第三章线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算§3-1引言

一、时域法的特点直观、准确二、时域法典型控制过程1、典型初始状态二、时域法典型控制过程2、典型外作用(t≥0)

（1）单位脉冲信号δ(t)（2）单位阶跃信号1(t)（3）单位斜坡（速度）信号t（4）单位加速度信号(½)t2（5）正弦信号Asin(wt+ø)

前四者互为导数关系二、时域法典型控制过程3、典型时间响应

（1）单位脉冲响应（2）单位阶跃响应（3）单位斜坡（速度）响应（4）单位加速度响应互为导数关系二、时域法典型控制过程

4、动态过程与稳态过程

（1）动态过程（过渡过程、瞬态过程）：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。

（2）稳态过程：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。§3-2时域性能指标

0tσ超调量允许误差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h延迟时间td（DelayTime）：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间tr（RisingTime）:响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。峰值时间tp（PeakTime）：响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。

调节时间ts（SettlingTime）：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作，超调量（MaximumOvershoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即⑥

稳态误差e

ss

：期望值与实际值之差。

或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。评价系统的阻尼程度。稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越高。ess§3-3一阶系统时域分析

一、一阶系统数学模型例：RC电路

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。传递函数为：

(T=RC)R(

s)

C(

s)（

b）方块图

I(

s)R(

s)

C(

s)（c）等效方块图二、一阶系统单位阶跃响应三、一阶系统单位脉冲响应四、一阶系统单位斜坡（速度）响应五、一阶系统单位加速度响应六、一阶系统响应小结等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。§3-4二阶系统时域分析

－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）一、二阶系统数学模型

图3-9二阶系统极点分布左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1两个相等根jωnξ=0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1两个不等根0特征方程：特征根：，欠阻尼系统，

闭环极点为共扼复根，位于左半S平面。，临界阻尼，两个相等的负实根，零阻尼，虚轴上一对纯虚根,过阻尼，两个不相等的负实根,负阻尼，两个正实部的特征根，系统发散二、二阶系统单位阶跃响应1、负阻尼情况（）二、二阶系统单位阶跃响应2、过阻尼情况（）二、二阶系统单位阶跃响应3、临界阻尼情况（）在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二、二阶系统单位阶跃响应4、欠阻尼情况（）

令时，亦可用在较大的值范围内，近似有：，求得

一定，即一定，

,响应速度越快

,根据峰值时间定义，应取

超调量在峰值时间发生，故即为最大输出

二、二阶系统单位阶跃响应5、零阻尼情况（）二阶系统在不同值瞬态响应曲线例2磁悬浮列车线圈电流—)(sE间隙的大小求K=100时，系统的动态性能指标。三、二阶系统单位斜坡响应四、二阶系统的性能改善1、比例-微分控制（PD控制）+图PD控制系统2、速度反馈控制系统的开环传递函数:两种方法的比较:（1）附加阻尼来源不同；（2）使用环境不同；（3）对开环增益和自然频率的影响不同；（4）对动态特性的影响；（5）实现方法与成本。例：不加速度反馈的二阶系统斜坡跟踪误差曲线具有速度反馈的二阶系统斜坡跟踪误差曲线§3-5线性控制系统的稳定性

一、稳定性定义

稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。

基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。

线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。二、线性系统稳定的充要条件三、赫尔维茨稳定判据对于n阶系统：该系统稳定的充要条件为：该系统的n个赫尔维茨行列式均为正。闭环特征方程的根必须位于S平面的左半平面

系统稳定充要条件例：如图所示的IS机器人公司的一体化6腿微型机器人：机械腿由12种150个传感器组成，能起到与环境交互的作用，能判断出环境的表面形状、结构、硬度以及颜色。由陀螺稳定的照相系统和激光测距系统能使其迅速移动、跨越障碍以及其他复杂的动作。试判断该机器人的稳定性。系统特征方程为：Q(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+63四、劳斯稳定判据(Routh’sstabilitycriterion)1劳斯表令系统的闭环特征方程为将各项系数，按下面的格式排成劳斯表（=an）这样可求得n+1行系数劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。=an已知一调速系统的特征方程式为例试用劳斯判据判别系统的稳定性：解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。已知某调速系统的特征方程式为

例求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：2劳斯判据特殊情况

劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。

或特征方程两边同乘以(s+a),再重新列写劳斯表。已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。例由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。解：列劳斯表劳斯表中出现全零行

则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到。列劳斯表由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=2s4+12s2+16=0，求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。

例如，一个控制系统的特征方程为：

3劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设，并代入原方程式中，得到以为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。s1sa-0用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验是否有根在垂线的右方。

例解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入特征方程：列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。式中有负号，显然有根在的右方。五线性系统的稳态误差控制系统的性能

动态性能

稳态性能

稳态误差

本节主要讨论原理性稳态误差的计算方法系统结构--系统类型输入作用方式1稳态误差的定义

控制系统框图在实际系统中是可以量测的

如果，输出量的希望值，即为输入量:误差传递函数二阶系统在斜坡输入作用下的响应的误差曲线二阶系统在阶跃输入作用下的响应的误差曲线公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）输入形式结构形式开环传递函数给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构以及输入信号形式。

因此按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。

终值定理，求稳态误差。2系统类型令系统开环传递函数为！

系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别令

系统稳态误差计算通式则可表示为分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况阶跃信号输入

令令

则：Staticpositionerrorconstant要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统斜坡信号输入

令静态速度误差系数

Staticvelocityerrorconstant要求对于斜坡作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统加速度信号输入

令

令静态加速度误差系数

Staticaccelerationerrorconstant要求对于加速度作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统静态位置误差系数

静态加速度误差系数

静态速度误差系数

在参考输入作用下的稳态误差:

某单位反馈控制系统开环传函为：，试确定使系统在单位斜坡信号输入时稳态误差小于0.1的K的范围。例3扰动作用下的稳态误差负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。扰动不可避免它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。

扰动稳态误差控制对象

控制器输出对扰动的传递函数

终值定理:

若扰动为单位阶跃信号：

则：

扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的，其增益的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的结论稳态误差没有什么作用