第四章 时间响应分析

控制理论基础4.1

时间响应及其性能指标4.2

一阶系统的时间响应4.3

二阶系统的时间响应4.4

高阶系统的时间响应本章主要内容：第四章时间响应分析Part4.1

时间响应及其性能指标

研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来。时域分析的目的:时间响应的概念：系统在输入作用下，其输出随时间变化的过程。瞬态响应与稳态响应瞬态响应：表示系统在输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的变化过程（动态过程/过渡过程/瞬态过程）；用动态性能指标描述。稳态响应：表示系统在输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统的输出状态（稳态过程)。用稳态性能指标描述。在控制理论中，通常只分析典型输入信号作用下的零初态响应（零初始条件）。

一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。典型输入信号Asint

正弦信号

单位加速度信号t，t0单位速度/斜坡信号1(t)，t0单位阶跃信号1(t)，t=0

单位脉冲信号

复数域表达式

时域表达式

名称

常用的典型输入信号脉冲信号单位脉冲信号阶跃信号卸载加载A=1时称为单位阶跃信号速度和加速度信号干扰、电压不稳随机信号速度信号加速度信号正弦信号能反映系统在工作过程中的大部分实际情况：如果控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号，如室温调节系统；如果控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号；典型输入信号的选择原则如果控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。控制系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号。如宇宙飞船控制系统；典型时间函数、典型时间响应之间的关系时间响应的性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。控制系统的时域性能指标10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9y(t)控制系统的时域性能指标td0.5

上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对于过阻尼系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。

响应曲线从0上升到稳态值50%所需的时间。延迟时间td评价系统快速性的性能指标

调整时间ts响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。

最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数P.O.表示：

峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。评价系统平稳性的性能指标

振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。

一阶系统（惯性环节）

极点（特征根）：-1/T

在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。Part4.2一阶系统的时间响应能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。

它的典型形式为一阶惯性环节:一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入为

输出为单位阶跃响应为10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Ty(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T

响应分为两部分

瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

稳态响应：1表示t时，系统的输出状态

y(0)=0，随时间的推移，y(t)指数增大，且无振荡。y()=1，无稳态误差；一阶系统单位阶跃响应的特点：

y(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%

~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。

故在t＝0处，响应曲线的切线斜率为

一阶系统的单位速度(斜坡)响应单位斜坡输入为

输出为单位斜坡响应为0ty(t)x

(t)x

(t)=ty(t)=t-T+Te-t/Te()=TT

瞬态响应：Te–t/T；稳态响应：t–T；

经过足够长的时间(稳态时，如t4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：

t–T，即输出相对于输入滞后时间T；

系统响应误差为：一阶系统单位速度响应的特点一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入为

输出为单位脉冲响应为y(t)1/T0t0.368

1T斜率T

瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；

y(0)=1/T,随时间的推移，y(t)指数衰减；

对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

一阶系统单位脉冲响应的特点

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。

注意到：线性定常系统时间响应的性质对一阶系统：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立，但不适用于线性时变系统和非线性系统。Part4.3二阶系统的时间响应

能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统总包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势。RLC就是一个典型的二阶系统。二阶系统的典型传递函数其中，T为时间常数

为阻尼比；

n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统闭环传递函数二阶系统的特征方程特征方程的根（闭环极点）显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复平面的分布决定系统的性能，如稳定性。左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1两个相等负实根jωnξ=0σjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1两个不等根0一对虚根一对负实部复根特征根在复平面上的分布ωn具有一对共轭复数极点：系统时间响应含有衰减的复指数振荡项：其中，称为阻尼振荡频率。系统的时间响应表现为衰减振荡。

欠阻尼二阶系统（振荡环节）：0<<1具有两个相等的负实数极点（负实根）：系统包含两类瞬态衰减分量：不产生振荡

临界阻尼二阶系统：＝1具有两个不相等的负实数极点：系统包含两类瞬态衰减分量：不产生振荡

过阻尼二阶系统：

>1具有一对共轭虚极点：极点(特征根)实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：

无阻尼二阶系统：＝0

负阻尼二阶系统：

<0产生等幅振荡

欠阻尼（0<<1）状态

其中，

二阶系统的单位阶跃响应

根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：

欠阻尼二阶系统的时域性能指标

上升时间tr

响应曲线从0到第一次达到稳态值所经过时间。从而：显然，一定时，n越大，tr越小；即：n一定时，

越大，tr越大。，并将t=tp代入可得：

令即：

峰值时间tp指输出响应第一次达到最大峰值所需要的时间。根据tp的定义解上方程可得：

可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一半。并且:一定，n越大，tp越小；

n一定，

越大，tp越大。

最大超调量Mp或百分比超调P.O.当

t=tp时，输出y(t)为最大值，出现最大超调。单位阶跃响应的稳态值为1。显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。

越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当

=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100P.O.二阶系统P.O.—

图对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量

1的指数曲线：

调整时间ts瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值%允许误差范围内（一般取5%～2%）的最小时间。时间常数：t01xo(t)T2T3T4T当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：可以求得：由此求得调节时间为

调节时间ts

近似与成反比关系N仅与

有关。与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。对欠阻尼二阶系统，振荡周期则

振荡次数N

二阶系统的动态性能由n和决定。

结论

通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpy

(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

y()=1，无稳态误差；

瞬态分量为振幅等于的阻尼

正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率；

振荡幅值随减小而加大。系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。单位阶跃响应传递函数

临界阻尼（=1）状态

临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线

10ty

(t)

特点

单调上升，无振荡、无超调；

xo()=1，无稳态误差。01ty(t)

特点

单调上升，无振荡，过渡过程时间长

y

()=1，无稳态误差。

过阻尼（>1）状态

系统具有一对纯虚根极点传递函数

无阻尼（=0）状态

单位阶跃响应系统响应曲线为无衰减的周期振荡，振荡频率为210ty(t)

负阻尼（<0）状态

0ty(t)-1<<0t0y(t)<-1-1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。

<-1：输出表达式与过阻尼状态相同。

特点：振荡发散

特点：单调发散

几点结论

二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快，=0时，出现等幅振荡。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

工程中通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证统有比较理想的响应曲线，这时瞬态响应时间短，系统有较好的快速性，同时不至于产生过大的振荡。因此一般希望二阶系统的阻尼比设计在这一范围内。对于那些不允许振荡而又要求响应较快的系统，如仪表指示和记录系统，则采用ξ=1的临界阻尼系统。

二阶系统的单位斜坡(速度)响应当输入信号为单位斜坡(速度)函数时，相应的拉普拉斯变换。则二阶系统的单位斜坡响应为：

这个方程的拉普拉斯反变换，就是单位斜坡的时域响应。

0<<1：

=0：

=1：

>1：二阶系统的单位斜坡响应

二阶系统的单位脉冲响应

当输入信号为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换。则二阶系统的单位脉冲响应为：

这个方程的拉普拉斯反变换，就是单位脉冲的时域响应。

>1：

=1：

0<<1：

=0：对ζ≥1的情况，单位脉冲响应总是正值或在t=∞时为零。

单位脉冲响应曲线

单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。解：由题意Xi(S)=1，所以：

例题1解：1）单位阶跃输入时已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。从而：

例题22）单位脉冲输入时，由于因此：图a)所示机械系统，当在质量块m上施加fi(t)=8.9N的阶跃力后，m的位移时间响应如图b)。试求系统的质量m、弹性系数k和粘性阻尼系数μ的值。

00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)

例题3a)解：根据牛顿第二定律：

其中，系统的传递函数为：由于Fi(S)=L[fi(t)]=L[8.9]=8.9/S，因此根据拉氏变换的终值定理：由图b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由图b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根据解得m=77.3Kg，μ

=181.8Nm/s

已知单位反馈系统的开环传递函数为：求K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。

例题4解：系统闭环传递函数为：

1）K=200时

n=31.6rad/s，=0.5452）K=1500时

n=86.2rad/s，=0.2，同样可计算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可见，增大K，减小，n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化

即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5时

n=8.22rad/s，=2.1，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：

对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。对图示系统，要使系统的最大超调量等于0.2，峰值时间等于1s，试确定增益K和Kh的数值，并确定此时系统的上升时间tr和调整时间ts。1+KhSXo(S)Xi(S)解：例5由题意：又：已知系统的单位阶跃响应为：求：1）系统的闭环传递函数；

2）系统阻尼比和无阻尼固有频率n。解：1）

例62）对比二阶系统的标准形式：

有：

原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统(a)和(b)的单位阶跃响应h(t)。例7(a)(b)解：对于系统(b)，其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有而已知Mp=16.4%tp=1.14s根据

求得（1）求得其单位阶跃响应为将代入(1)得对于系统(a)，其闭环传递函数为与典型二阶系统比较有系统的最大超调量峰值时间其单位阶跃响应为三阶系统的瞬态响应高阶系统的单位阶跃响应闭环主导极点Part4.4高阶系统的时间响应二阶因子引起的阻尼振荡一阶因子引起的非周期指数衰减三阶系统的瞬态响应例其中：1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；2）附加一个实数极点（0<<），原二阶系统的单位阶跃响应： 超调量上升时间峰值时间>1,

即1/T>n

呈二阶系统特性；实数极点S3距离虚轴远；共轭复数极点S1、S2距离虚轴近特性主要取决于S1、S2。

<1,即1/T<n

呈一阶系统特性；实数极点S3距离虚轴近；共轭复数极点S1、S2距离虚轴远特性主要取决于S3。当系统高于二阶时，将其称为高阶系统。N阶系统的闭环传递函数一般可以写成如下形式：

高阶系统的单位阶跃响应

其中，a,aj，bk、ck是常数。当X

(S)=1/S时，假定极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点。其中，=arctg(bk/ck)。

高阶系统的单位阶跃响应的特点

高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。

如果所有闭环极点都在s平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部(pj<0、-kk<0)则随着时间t