第四章 数值积分

引言

牛顿——柯特斯公式龙贝格算法

第四章数值积分第一节引言对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:不同的插值方法有不同的基函数这就是数值求积公式为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立因此定义代数精度的概念:定义1.

若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度代数精度也称代数精确度例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此所以该积分公式具有3次代数精确度Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式:各节点为:第二节Newton-Cotes数值求积公式其中因此对于定积分:有而令n阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)即有注意是等距节点所以Newton-Cotes公式化为思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明该结果一、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezia)公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为第二积分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代数精度故2.Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有3次代数精度3.Cotes公式及其余项Cotes系数为：求积公式为:上式称为Cotes求积公式，也称五点公式.记为Cotes公式的余项为:Cotes公式具有5次代数精度.4、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)考察Cotes系数因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定记而理论值为即Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的参见教材此时,公式的稳定性将无法保证因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式而是采用低阶复合求积法(下节)思考1.n=0时的Newton-Cotes公式称为矩形公式，试求出该公式2.试编写trapezia公式、Simpson公式、Cotes公式的模块程序程序1：Tixing程序2：Simpson程序3：Cotes

二、复合求积法直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的舍入误差又很难得到控制,为提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法.然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加1、复合求积公式各节点为记为由积分的区间可加性,可得复合求积公式复合梯形公式复合Simpson公式复合抛物线公式复合Cotes公式复合梯形公式分解复合Simpson公式分解例1.解:为简单起见,依次使用8阶复合梯形公式、4阶复合Simpson公式和2阶复合Cotes公式可得各节点的值如右表

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098复合求积公式的程序newtoncotes.m函数程序func.m分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有原积分的精确值为：精度最高精度次高精度最低比较三个公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？2、复合求积公式的余项和收敛的阶我们知道,三个求积公式的余项分别为单纯的求积公式复合求积公式的每个小区间则复合梯形公式的余项为由于即有又由比较三种复合公式的的余项为此介绍收敛阶的概念定义1：不难知道,复合梯形、Simpson、Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可三、复合求积公式步长的自动选取复合梯形公式的余项为因此有即依此类推步长自动选取的步骤:依此类推以上这种方法称为自适应求积法有时也去掉精度会更高以复合Simpson求积公式的特点为例具有以下特点:旧节点新节点步长折半综合前几节的内容,我们知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的有没有办法改善梯形公式呢?第三节Romberg算法1、复合梯形公式的递推化各节点为复合梯形(Trapz)公式为--------(1)--------(2)--------(3)则由(1)(2)(3)式,有因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式上式称为递推的梯形公式：递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯形公式具体的方法请同学们完成思考--(4)2、外推加速公式由复合梯形公式的余项公式可得由(3)式复合Simpson公式--------(5)--------(6)因此由复合Simpson公式的余项可得即当然令自己证明--------(6)--------(7)--------(8)即当然同样由复合Cotes公式的余项得令--------(9)外推加速公式以上