第四章 图形变换

计算机图形学主讲：刘圣军Email:shjliu.cg@1第四章图形变换2图形变换图形变换是计算机图形学的基础内容之一，是图形显示过程中必不可少的一个环节，变换本身也是描述图形的一个有力工具。主要介绍二维、三维几何变换以及窗口到视区的变换。图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。窗口到视区的变换是指建立从世界坐标系中的窗口到设备坐标系中的视区的变换。3变换的数学基础矢量n元组，对应n维空间中的一个点，代表物体在空间中的位置或者运动的状态。三维矢量。矢量运算矢量和矢量的数乘矢量的点积矢量的长度（模）矢量的叉积4变换的数学基础矢量运算5变换的数学基础矩阵m×n阶矩阵A定义为零矩阵n阶矩阵，n阶方阵行向量，列向量单位矩阵(I)6变换的数学基础矩阵运算矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置行列互换矩阵的逆矩阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵（其行列式不为零）。7二维基本变换平移变换

在二维坐标系中，将点P(x,y)在x、y方向分别平移tx，ty，得点，则它们的相互关系为：8矢量形式为：其中：PT二维基本变换旋转变换

给定点P(x,y)，其极坐标为：9将它绕坐标原点旋转,得，则：P(x,y)二维基本变换放缩变换

点P(x,y)在x方向和y方向分别放缩Sx和Sy倍，有10矩阵表示为：放缩变化是相对于坐标原点的。当它作用于物体时，不仅改变了物体的形状，也改变了它离原点的距离。放缩比例Sx和Sy可以相等，也可以不相等。齐次坐标与二维变换的矩阵表示实际绘图需对图形进行连续变换，这样对图形上的每个点需要按前面给出的式子计算，计算量较大，如果只对图形对象进行旋转和放缩两类变换，则可以通过首先将两变换合成一个复合变换，将两次运算转换成一次性的矩阵与向量运算，如先旋转，再放缩，有：11这样，对图像上每点做上述变换时，只要用A乘点的坐标就可以了。齐次坐标与二维变换的矩阵表示但如果在变换中加入平移变换，就不容易合并，因为平移和旋转、放缩变换的表示形式不一样：平移为一个矢量的加法，旋转和放缩为一个矩阵的乘法。为了使得变换的表示形式一致，引入齐次坐标。所谓齐次坐标是用n+1维向量表示一个n维向量。在n维空间中的位置向量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量(P1,P2,…Pn)，而且是唯一的。若用齐次坐标表示，此向量有n+1个坐标分量(hP1,hP2,…hPn,h)，且不唯一。则二维点(x,y)对应的齐次坐标为(hx,hy,h),那么(x,y,1)也表示(x,y)的齐次坐标。12齐次坐标与二维变换的矩阵表示用齐次坐标表示，几种基本变换为13齐次坐标与二维变换的矩阵表示两个连续平移是加性的14齐次坐标与二维变换的矩阵表示连续比例变换是相乘的15齐次坐标与二维变换的矩阵表示两个连续旋转是相加的1617复合变换几何变换均可表示成P’=T*P的形式复合变换是指图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。复合变换前面介绍的旋转变换和放缩变换的参照点都是坐标原点。构造关于任意参照点的旋转和放缩变换——变换合成。18复合变换关于任意参照点Pr(xr,yr)的旋转变换绕Pr点旋转角通过下面三个基本变换来实现：平移使Pr点落于坐标原点，变换矩阵T(-xr,-yr)。旋转角，变换矩阵为R().平移使位于原点的Pr点返回原位置，变换矩阵为T(xr,yr)。19复合变换记其变换矩阵为R(xr,yr;)，则：20复合变换关于任意参照点Pr(xr,yr)的放缩变换关于Pr点放缩(sx,sy)通过下面三个基本变换来实现：平移使Pr点落于坐标原点，变换矩阵T(-xr,-yr)。放缩(sx,sy)，变换矩阵为S(sx,sy).平移使位于原点的Pr点返回原位置，变换矩阵为T(xr,yr)。2122记其变换矩阵为S(xr,yr;sx,sy)，则：复合变换复合变换我们需要对一个图形对象进行复杂的变换时。并不直接去计算这个变换，而是将其分解成多个基本变换，再依次用它们作用于图形。变换合成时，矩阵相乘的顺序是：先作用的变换放在连乘式的右端，后作用的变换放在连乘式的左端，由于矩阵乘法不满足交换率，只有在特殊情况下，矩阵的顺序才可交换。23复合变换举例：设Translate2D()和Rotata2D()分别是对图形对象进行二维平移变换和旋转变换的函数，House()是图形对象绘制函数，设(1)是House()显示的图形，左下角点为P(1,0)，执行下面程序后得(2)24先平移后旋转：Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House();(1)(2)P(1,0)25将变换顺序颠倒一下，得先旋转后平移：Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();P(1,0)复合变换变换的模式在上面两个程序中，先调用的变换先执行，后调用的变换后执行，体现在矩阵合成时，先调用的变换放在连乘式的右边，后调用的变换放在连乘式的左边，这种变换模式称为固定坐标系模式。它的特点是连续执行几次变换时，每一次变换均可看成相对于原始坐标系进行的。另一种模式称为活动坐标系模式，在此模式下，连续执行几个变换时，变换矩阵的合并方式恰好和固定坐标系模式相反。即先调用的变换放在连乘式的左边，后调用的变换放在连乘式的右边。体现在程序执行顺序上，先调用的变换后执行，后调用的变换先执行(堆栈实现)。这种变换模式的特点是每一次变换可看成是前一次变换后所形成的新坐标系中进行的(变换作用于坐标系)。2627变换的模式28其它变换对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。其它变换关于x轴对称29其它变换关于y轴对称30其它变换关于原点对称31其它变换关于y=x轴对称32其它变换关于y=-x轴对称3334其它变换错切变换也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。其它变换其变换矩阵为参数b、c变化使图形产生变化：沿x方向错切(b变化，c不变)沿y方向错切(b不变，c变化)两个方向错切(b变化，c变化)35其它变换仿射变换二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换矩阵表示形式为：36其它变换仿射变换的性质仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。3738各部分不同的取值可以得到不同的变换矩阵。其它变换二维图形变换的变换矩阵一般形式为复合变换：

相对任意方向的二维几何变换对某任意一直线段作反射变换，其变换的过程是平移变换旋转变换针对坐标轴进行二维几何变换；反向旋转逆向平移39复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.相对直线y=2*x的反射变换40复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.相对直线y=2*x的反射变换41复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.相对直线y=2*x的反射变换42复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)→(1,1)方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。43复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)→(1,1)方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。44复合变换：

相对任意方向的二维几何变换例.将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)→(1,1)方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。45二维几何变换的性质直线的中点不变性；平行直线不变性；相交不变性；仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；比例变化可改变图形的大小和形状；错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。46二维图形的显示流程世界坐标系(用户坐标系)和设备坐标系(屏幕坐标系)世界坐标系：用户按照自己熟悉的方式建立的坐标系。相对于物体的坐标系为局部坐标系。设备坐标系：在显示屏幕上定义的二维直角坐标系。该坐标系的坐标轴取成平行于屏幕的边缘，长度为一个像素的长度，坐标取成整数，坐标系的原点和方向随显示设备的不同而不同。图形的显示由于屏幕有限及某些特殊应用的要求，需要定义裁剪窗口(世界坐标系)进行裁剪。47二维图形的显示流程问题：如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察？基本概念在计算机图形学中，将在世界坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域称为窗口（Window）。将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视区（Viewport）。48二维图形的显示流程49二维图形的显示流程将观察坐标系原点移动到世界坐标系原点绕原点旋转使两坐标系重合50二维图形的显示流程原来定义的裁剪是在世界坐标系下进行的。在屏幕上定义的矩形窗口，我们称为视区，用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。窗口和视区分别处在不同的坐标系，它们所用的长度单位、大小、位置均不同，要将窗口内的图形在视区中显示出来，需经过窗口到视区的变换。二维图形的显示流程如下51世界坐标系内的变换关于窗口的裁剪窗口到视区的变换扫描转换显示世界坐标系设备坐标系窗口到视区的变换52窗口到视区的变换给定一个窗口和视区，用变换合成的方法建立从世界坐标系中窗口到设备坐标系中视区的变换。在世界坐标系中Oxy，假设窗口左下角坐标为(xmin,ymin)，两边的长度为Ex,Ey。在设备坐标系Ouv中，视区左下角坐标为(umin,vmin)，两边的长度为Eu,Ev。可按如下步骤求出窗口到视区的变换：在世界坐标系Oxy中，平移使(xmin,ymin)到原点。放缩使窗口和视区的大小相等，变换。在设备坐标系Ouv中，平移使窗口和视区重合。5354窗口到视区的变换这样，窗口到视区的变换矩阵为：假设窗口的边和坐标轴轴不平行，首先对窗口进行定义，给定参数(xmin,ymin)，Ex，Ey，还要给定一个转角，用类似的步骤建立窗口到视区的变换。在世界坐标系Oxy中，平移使(xmin,ymin)到原点。旋转使窗口边和坐标轴重合，变换为R(-)。放缩使窗口和视区的大小相等，变换

。在设备坐标系Ouv中，平移使窗口和视区重合。55窗口到视区的变换56窗口到视区的变换总的变换矩阵为：57在三维齐次坐标系下讨论，其变换矩阵的一般形式是：此矩阵分成四块，各块进行变换产生的效果和二维图形是一致的。三维几何变换三维基本几何变换三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换下面均是假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后的点为p'(x',y',z')。58三维基本几何变换平移变换设任意点P（x,y,z）经过平移矩阵T的变换后得到点P’(x’，y’，z’）59三维基本几何变换缩放变换点P=（x,y,z）相对于坐标原点的缩放变换矩阵表示为其中，sx,sy和sz为指定的任意正值.

60三维基本几何变换缩放变换上式的变换对物体的所方式的物体大小和相对于坐标原点的物体位置发生变化。

61三维基本几何变换旋转变换物体进行旋转变换时，必须指定一个旋转轴和一个旋转角度。二维的旋转仅发生在xy平面上，而三维旋转则可指定为空间中任意直线进行。旋转方向正向采用右手法则

62三维基本几何变换旋转变换二维绕原点旋转式子

63三维基本几何变换旋转变换由二维推广到三维，绕z轴的旋转方程式为

64三维基本几何变换旋转变换绕x轴的旋转方程式为绕y轴的旋转方程式为

6566反射在二维变换下，反射变换是以线和点为基准，在三维变换下，反射变换则是以面、线、点为基准的。其他变换67错切错切变换可以修改三维物体的形状沿X轴方向错切变换矩阵,Y、Z轴方向坐标不变其他变换68错切关于XY平面的错切这个矩阵变换的效果是：使用一个与z值成比例的数值来改变x和y的坐标值，同时保持z坐标不变。其他变换69错切在三维空间中，产生对z轴错切的矩阵为：X、Y轴方向坐标不变其他变换70以Pr(xr,yr,zr)为参照点的放缩变换三维几何变换(复合变换)三维几何变换(复合变换)例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换，比例变换步骤如下7172三维几何变换(复合变换)绕空间任意轴AB旋转角的变换：

设旋转轴AB由A(xa,ya,za)及其方向数(a,b,c)定义，空间任意一点P(x,y,z)绕AB旋转角到P*(x*,y*,z*)，则： Rab就是要求的变换矩阵，求Rab的基本思路是：以A(xa,ya,za)为原点，并使AB绕X轴和Y轴旋转适当角度与Z轴重合，再绕Z轴旋转角，最后再做上述变换的逆变换，使原点回到原来原点的位置。73三维几何变换(复合变换)基本步骤如下：A点平移到坐标原点，原来的AB则变成OB’，这条轴的方向数仍为(a,b,c)。(A)74经旋转角后，OB’就落在XOZ平面上了。三维几何变换(复合变换)让平