函数项级数一致收敛的判别

河南师范大学新联学院本科毕业论文 ——科文函数项级数一致收敛的判别专业名称： 数学与应用数学年级班别：2009级1班姓名： 张庆明 指导教师： 左红亮 2013年04月函数项级数一致收敛的判别摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。本文则在数项级数的基础上，分析函数项级数的收敛性定义及其判定，函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义，柯西一致收敛准则，魏尔斯特拉斯判别法(M判别法)，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，余项判别法，积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广，主要归纳总结出了对数判别法，导数判别法，连续性判别法，逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法，同时并应用函数项级数一致敛的定义，重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。DiscriminationofuniformconvergenceoffunctionseriesAbstract:Theuniformconvergenceoffunctionseriesistheconceptofseriesoffunctionsarethemostbasicandmostimportantproblem.Inthispaper,onthebasisofanumberofseries,thedefinitionsofconvergenceoffunctionseriesanditsdecision,uniformconvergenceanalysisofpropertiesandfunctionsrelatedtothefunctionofseries.Therefore,thispaperproposesadefinitionofuniformconvergenceoffunctionseries,CauchyuniformconvergencecriteriatheWeierstrassdiscriminationmethod(Midentificationmethod),Dirichletdiscriminationlaw,Abeldiscriminantlaw,theremainderdiscriminantmethod,integrationcriterionmethodandarticleonthefunctionseriesconvergencediscriminantmethodtopromotemainlysummarizedDiagnosticMethodderivativetest,continuitydiscriminationlaw,forcingseveraldiscriminantmethodofconvergencediscriminationlawandMinferenceofdiscriminationlaw,andapplyfunctionseriesconsistentdefinitionofconvergence,itisimportantdiscriminationmethodandthenecessaryandsufficientconditionsaregivensomeproofoftheconclusionofthepaper.Keywords:FunctionSeries;uniformconvergence;discriminationlaw.刖言一致收敛性是函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例，它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质.比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微，判断出和函数的连续性、可积性和可微性。这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。即函数项级数的一致收敛性。文献［1］讨论了函数项级数一致收敛的基本判别法，给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法；文献［6］［7］［8］给出了函数项级数一致收敛的重要判别法，如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法；文献［5］［3］给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件：柯西准则，余项定理，并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理；文献［10］对该问题进行了推广,得到了比试和根式判别法，同时也有其它一些文献，得到了一些其它的结论。本文结合上述文献，总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法，如对数判别法，导数判别法，M判别法的推论等，并给出了一些判别法的证明，此外也用一些例题验证它的可行性。1.函数项级数一致收敛的定义定义1［1］设［un(X)｝是定义在数集E上的一个函数列，表达式TOC\o"1-5"\h\zu(x)+u(x)+u(x)++u(x)+xeE, (1)1 2 3 n称为定义在定义域E上的函数项级数，简记为£ujx)或£un(X)。称••• ••«n=1S(x)=£nu(x),xeEn=1,2,3, , (2)k=1为函数项级数(1)的部分和函数列。若X0eE,数项级数u(x)+u(x)+u(x)++u(x)+ xeE, (3)123 n收敛，即部分和S^(x)=£ujx°)当n-8时极限存在，则称级数(1)在点%收敛,••• •••k=1X0称为(1)的收敛点。若级数⑶发散，则称级数(1)在点X0发散。若级数⑴在E上的某个子集D上的每个点都收敛，则称级数(1)在D上收敛，并且称(1)的收敛域为D,级数(1)在D上的每一点x与其所对应的数项级数⑶的和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为(1)的和函数，并写作u(x)+u(x)++u(x)+=S(x),xGD,1 2 n即limS,(x)=S(x),xgD,nT9n也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列⑵的收敛性。定义2[1]设｛sn(x)｝是函数项级数Eun(x)的部分和数列。若｛sn(x)｝在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数Eu,x)在D上一致收敛于S(x),或称Eu(x)在D上一致收敛。n由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。定义3[1]设函数项级数Eun(x)在D上和函数为S(x),称Rn(x)=S(x)-Sn(x),为函数项Eun(x)的余项。2.函数项级数一致收敛性的基本判别法M判别法定理1[2](M判别法)设函数项级数Eun(x)定义在数集D上，EMn为收敛的正项级数，若对一切xgD,有1un(x)l<M」n=1,2,,则函数项级数Eu(x)在D上一致收敛。n证明：由假设正项级数EMn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数e,存在某正整数N，使得当n>N及任何正整数p,有M1+...+M|=M1++M<e,所以对一切xgD有根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数Eu,x)在D上一致收敛。例1证明函数项级数E ,xG(-8,8)一致收敛。1+n5x2n=1证明:由不等式1+n5x2>2n2闵可知对任意x,有-x^-<1-。因干,证明:1+n5X2 3 32n2 n=12n2收敛，由M-判别法知于在(-*+8)上一致收敛。1+n5x2n=12.2莱布尼茨判别法定理2［1］若交错级数u1-u+u—uH—(—1>+1uH—(u>0,n=1,2,)7两足下述两个条件：(1)数列｛uj单调递减；(2)limu=0,则交错级数收敛。nf8••«例2试证不土匕在区间L,b］上一致收敛。,n+x3n=1证明：｛｝是任意闭区间［a,b］的连续函数列，且VXe［a,b］有n+x30<u(x)<u(x),limu(x)=0,n+1 n nf8n由上述定理知，函数项级数宜上上在区间［a,b］上一致收敛。,n+x3n=1定义判别法例3讨论S(x)=-^―在(—8,+8)上一致收敛性。n 1+n2x2解：显然S(x)=0,xe(—8,+8),因为S(x)-S(x)|=—忖一=—•2n〔x|<J_n 1+n2x22n1+n2x22n所以，对任给的£>0,只要取N』—］,当n>N时，S(x)-S(x)<—<8L28」 n 12n对一切xe(—8,+8)成立，因此｛S(x)｝在(—8,+8)上一致收敛于S(x)=0。n余项判别法定理3[3]函数项级数2un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是limsupIR(x)1=limsupIS(x)—S(x)1=0。nf8xeDn nf8xeD n证明(n)已知函数项级数之u(x)在区间D一致收敛于S(x),nn=1V8>0月NeN,Vn>N,VxeD有IS(x)—S(x)I<8,从而supIS(x)-S(x)l<s,xeD即TOC\o"1-5"\h\zlimsupIS(x)-S(x)l=0,nTsxeD n(u)已知limsupIS(x)-S(x)l=0,nTsxeD n即Vs>0月NeN+，Vn>N,VxeD有supIS(x)-S(x)l<s,xeD所以VxeD有IS(x)-S(x)l<s.即级数守u(x)在区间d上一致收敛于S(x)。n nn=1例4讨论函数项级数于xn(1-x)2,xe(0,1］的一致收敛性。n=1\o"CurrentDocument"解：设S(x)=£xM1-x)2=x(1-x)2£xi=x(1-xM1-xn)n 1-xk=1 k=1=x(1-x)G—xn G—xn)neN+。因而，S(x)=limS(x)=xe[0,1]，nTsn=xn[(n+1)-(n+2)x]S(x)-S(x)=(1=xn[(n+1)-(n+2)x]易知，该点为函数xn+1(1-x)在［0,1］上的最大值点。于是:故原级数在［0,1］上一致收敛。推论1［4］{Sn(x)}是函数项级数Zun(x)的部分和函数列，和函数S(x),都是定义在同一数集D上，对于任意的n,存在数列{%}(%>0)，使得对VxeD,有IR(x)l=lS(x)-S(x)l<a,且lima=0,则称函数列{S(x)}一致收敛于S(x),n n n nTsn n即函数项级数Zu(x)在D上一致收敛于函数S(x)。n证明：因lima=0,故对任给的s>0,3NeN(与x无关)，使得当nTsn +n>N时，对一切xeD,都有IR(x)l=lS(x)-S(x)l<a<s。由定义2得函数列{Sn(x)}一致收敛于S(x),即函数项级数Zun(x)在D上一致收敛于S(x)。注用放大法判定函数项级数£u(X)一致收敛性时，需要知道S(x)。n2.5柯西准则定理4［51(一致收敛的cauchy准则)函数项级数£un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：任给£>0。存在N£N+，当n〉N时，对一切p£N及一切X£D，都有Iu(x)+u(x)++u(x)|<£成立。证明：(必要性)设£u,x)在D上一致收敛，于是有Sn(X)一^S(X),根据定义，对任意的£〉0,存在正整数N1,只要n〉N1,对一切x£D和任意正整数p有IS(x)-S(x)l<\；,

n+p 22因此只要n〉N2,对一切x£D有IS(x)-S(x)l<%,所以，对存在正整数N二max(NN),只要n〉N,对一切x£D和任意正整数p有IS(x)-S(x)l<lS(x)-S(x)l+IS(x)-S(x)l<e,必要性得证。(充分性)设对任意的£〉0,存在正整数N,只要n>N,对一切x£D和任意正整数p有lS(x)-S(x)l<£,所以对一切n〉N和一切任意正整数p,令pf8,可得，只要n〉N,对一切x£D有lS(x)-S(x)l<£,所以函数项级数£un(x)在数集D上一致收敛，充分性得证。TOC\o"1-5"\h\z推论2若£u(x)在D上一致收敛，则u(x)n0(nf8；x£D)。n n例5：设Vn£N+,u(x)在［a,b］连续且£u(x)在(a,b)内一致收敛，且由n=1£u(a)与£u(b)均收敛，证明£u(x)在［a,b］上一致收敛。nn nn=1 n=1 n=1

证明：由£u(x堆(a,b)内一致收敛及£u(a)£u(b)均收敛，知

n n nn=1 n=1 n=1Ve>0,3NGN+,Vn>N,VpgN+,Vxe(a,b)，同时有因而V因而Vxg[a,b],有u<x)+u(x)++u(x)故£uG)在［^,b］一致收敛。n•••3.n=13.关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法阿贝尔判别法定理5［6］(Able判别法)定义在区间I上的函数项级数£u (x)v (x)=u(x)v (x)+u (x)v (x)+ +u (x)v (x)+ (4)nn 1 1 2 2 nn£un(x)在区间I上一致收敛；⑵对于每一个xGI,{v(x)}是单调的； … …n⑶{vn(x)}在I上一致有界，即对一切xGI和正整数n,存在正数M,使得vn(x)|<M,则级数(4)在I上一致收敛。例6证明函数项级数£x(x+n>在xG［0,1］上一致收敛。n2+nn=1解：设u(x)=—,v(x)=1+x,xG［0,1］,ngN+on n2nI n)根据优级数判别法，易知于土在［0,1］上一致收敛。n2n=1由阿贝尔判别法，知原级数在［0,1］上一致收敛。例7设£an收敛，则于anxn在［0,1］上一致收敛。n=1 n=1证明：£an是数项级数，它的收敛性就意味着关于x的一致收敛性。而{m}n=1关于n单调，且|xn|<1,xg［0,1］,对一切n成立。由阿贝尔判别法可知级数£anxnn=1在［0,1］上一致收敛。特别地，比如£U>xn在［0,1］上是一致收敛的。n=13.2狄利克雷判别法定理6［7］(Dirchlet判别法)设⑴Zun(x)的部分和函数列U'x)工'")(n=1,2,)在I上一致有界;k=1(2)对于每一个xeI,{v(x)}是单调的；n•••⑶在I上v(x)n0(n.8);则级数(4)在I上一致收敛。证明：由(1)3正数M,对一切xeI,有IUn(x)\＜M,因此当有任何正整数n,p时Iu(x)+u(x)++u(x)I=IU (x)-U(x)I<2M,对任何一个xeI,再由(2)及Abel引理，得到Iv<x)+v(x)+•早v(x)I<2M(Iv<x)I+21v(x)I),再由(3)对Ve>0,3N>0,当n>N时，对一切xeI,有Iv(x)I<e,所以Iu1(x)v1(x)+•.+u (x)v(x)I<2M(e+2e)=6Me,于是由一致收敛的Cauchy准则知级数(4)在I上一致收敛。一(_1)n…冗冗例8试判别力〜^,xe(上,-)的一致收敛性。n+cosx22n=1解:Vxe[0,2-],有：因而，级数£sinxcoskx的部分和函数列在［0,2-］上一致有界。k=1又对Vxe［0,2-］,［-=L=I单调减少且不」＜《，lim=0，［v'n+xJ \；n+x7nn.8nn于是1-^=I在［0,2-］上一致收敛于零。［、?n+xJ根据Dirchlet判别法知，原级数在［0,2-］上一致收敛。例9在［〃/］上，级数》(—1＞上±是一致收敛的。n2n=1证明：首先，为(―1》的部分和函数列在［a,川上是一致有界的。其次，对每n=1一个xG(a,b),三个关于n是单调递减的，且有x3<竺士f0(n.8),n2 n2 n2M=max1a|,b|｝。于是根据Dirichlet判别法，即得所证。3.3积分判别法定理7［8］设f(x,y)为区域R=｛(x,y)|xeD,1<y<+8｝上的非负函数，Zu(x)是定义在数集D上正的函数项级数，且u(x)=f(x,n)为非负函数，如果n nf(x,y)在［1,+8)上关于y为单调减函数，若含参变量反常积分58f(x,y)dy在数1集D上一致收敛，Eun(x)在数集D上一致收敛。证明：由卜8f(x,y)dy在数集D上一致收敛，对Ve>0,NeN+,当n>N1时，对一切自然数p和一切xeD,有lu (x)+u (x)++un+1 n+2 n+p所以Eun(x)在数集D上一致收敛。例10讨论「级数E—的敛散性。npn=1解：函数f(x)=-1,当P>0时在［1,8)上是非负减函数。由反常积分「8—在xp 1xpP>1时收敛，P<1时发散。再由积分判别法得E—当p>1时收敛，当0<P<1时npn=1发散。至于P<0的情形，则可由级数收敛的柯西准则的推论知道它也是发散的。例11讨论下级数cn(Inn)(InInn)pn=3的敛散性。

(Inx)pLduJ In2up解：研究反常积分I，由于I-Jxy-2x(Inx(Inx)pLduJ In2up当P>1时收敛，P<1时发散。根据定理7知级数(1)在p>1时收敛，p<1时发散。对于(2),考察反常积分1一d一丁，同样可推得级数(2)在P>1时收敛，3x(Inx)(InInx力在P<1时发散。4.函数项级数一致收敛方法的的推广比式判别法定理8定理8[9](比式判别法)设(x)为定义在数集D上正的函数列，记q(x)存在正整数N及实数q、M,使得:q(x)Wq<1,u(x)WM对任意的n>N,xeD成立,则函数项级数£un(x对任意的n>N,n=1证明：易见u(x)u(x)u(x)(X)——n •-n-1-N+1•u(x)u(x)u(x)uN(x)Nn-1 n-2=q (x)•q (x) q(x)•u(x)n-1 n—2 …N N而等比级数£qn•Mq1-N当公比0<q<1时收敛，从而由函数项级数一致收敛性

••・n=N的优级数判别法知，£un(x)在D上一致收敛。n=1推论3(比式判别法的极限形式)设£un(x)为定义在数集D上的函数项级,若limsupq(x)=q<1,且u(x)在D上一致有界，则函数项级数£un(x)在D上一致收敛。证明：由limsupq(x)=q<1,则存在正整数N,使得当n>N时，有nn-xgD由un(x)在D上一致有界，则对任意的正整数n,及任意的xeD,存在正整数M,使得u'x)<M,令=q(x)•q(x)•••q(x)•u(x),则有u(x)<qn一N+1M=qnMq1-n,而几何级数于qnMq1-n当0<q<1时收敛，由函nn=N数项级数一致收敛的M判别法知Zun(x)在D上一致收敛，得证。例12试证函数项级数Zr之在[1力(t>1)上一致收敛。In+37!n=1证明：因为u (x) xqn1 u(x)n+3limsupq(x)=lim—t—=0<1,

、n n+3nsxeD ns1r所以由比式判别法的极限形式知函数项级数£[』在1t](t>1)上一致收n=1敛。根式判别法定理919](根式判别法)设Zu,x)为定义在数集D上的函数项级数,若limsupq(x)=q<1,则函数项级数Zu(x)在D上一致收敛。nlsxeDn n证明：由limsupq(x)=q<1,则存在正整数N,当n>N时，有q(x)<q<1,nnisxeD则对任意的n>N,xeD,有|u(x)|<qn,而几何级数Zqn收敛，由函数项级nn=1数一致收敛性的M判别法知Zun(x)在D上一致收敛，定理得证。例13试证函数项级数立n+2v在(小+8)上一致收敛，其中(y>1)。,(x+1)nn=1证明：设D=(Y,+s),因为q(x)=/u(x)1=nn+2,nn Ix+11

所以由根式判别法可知函数项级数寸卢々在(r,+9)上一致收敛。।(x+1〉n=1推论4(根式判别法的极限形式)设un(x)为定义在数集D上的函数列，若%、u(x)I一致收敛于q(x),即limJIu(x)I=q(x),且(sup{q(x)})<1,q(x)<q<1,xeDxeD对VxeD成立，则函数项级数Eu(x)在D上一致收敛。n证明：由/u(x)I一致收敛于q(x)(nT9),取0<£<1-q,3N0,当n>N0时，对一切xeD有所以JIu(x)I<q(x)+£<q+£,又因为由M判别法知Eu(x)在xeD上一致收敛。n推论n推论5有函数项级数Eun(x),若对VxeD,有limJu(x)I=l<1,则函nT9数项级数Zu(x)在D上一致收敛。n例14例14判别函数项级数斗九)n=1在(-9,+9)上的一致收敛性。证明：因为: IxIlimn；I(丁)nI=lim =0<1,2n+1 2n+1在(-9,+9在(-9,+9)上一致收敛。所以由推论5知函数项级数E1\n=112n+U对数判别法定理1019](对数判别法)设un(x)为定义在数集D上的函数列，若有

立u(x)在D上n=1—当p>1收敛,nplim1nUn(x)=p(x)存在，对立u(x)在D上n=1—当p>1收敛,np一致收敛。证明：由定理条件可知：对V£>OJN,使得对Vn>N,有P(X)-S<lnUri(x)<p(X)+8,

ln(n)np(x)-snnp(x)-s则当p(x)>p>1时，对VxeD成立时，有u(x)<—,而p级数Ennp而优级数判别法可知函数项级数Eun(x)在D上一致收敛.所以得证。n=1例15证En-(2x+1)5在(0,+8)上一致收敛。n=1证明：Vxe(0,+8),因为lnu(x)「-ln(n-(2x+1)5) (2x+1)5Innlim n——=lim =lim =(2x+1)5>1,n—8lnn n-8 lnn n-8 1nn所以由对数判别法知函数项级数Eun(x)在(0,+8)上一致收敛。导数判别法定理11U0(导数判别法)设函数歹列｛un(x)｝在区间［a,b］上连续，可微，且TOC\o"1-5"\h\z存在一点xe［a,b］使得Eu(x)在点x收敛；Eu(x)在［a,b］上一致收敛；则0 n 0 nn=1 n=1函数项级数Eu(x)在［a,b］上一致收敛。nn=1证明：已知Eu(x)在点xe［a,b］收敛，Eu1(x)在［a,b］上一致收敛,n0 nn=1 n=1即V8>0月N(8),使得n>N(8)时对VpeN有k=n+1对xe[a,b]有

k=n+1根据拉格朗日中值定理VneN,VpeN,xe［a,b］有£u(x)-£k=n+£u(x)-£k=n+1于是k=n+1kk=n+1u'(x)(x一x <8(b一a)(8介于x与x0之间0)£u(x)kk=n+1£u(x)-kk=n+1£u(x)+£u(x),k0 k0k=n+1k=n+1<8(b—a)+8=8(b—a+1),故£u(x)在［a,b］上一致收敛。nn=1例16设u(x)=—ln(9+n2x2),n=1,2,,证£u(x)在［0,1］上一致收敛。nn=1解：对于每一个n,易见u(x)为［0,1解：对于每一个n,易见u(x)为［0,1］上的增函数，故n2nxu,x)连续且可微，对 = < n(9+n2x2)n2(9+n2x2) 3n2,n=1,2,故收敛级数分.n=1为£u-(x)的优级数，所以由M判别法知£u-(x)在［0,1］上一致收敛。故原级数nn=1£u(x)在［a,b］上一致收敛。nn=1nn=14.5连续性判别法定理12［10设函数项级数£un(x)在区域口上点态收敛于S(x),如果n=1u(x)(n=1,2,)在口上连续，S(x)在D上连续，对D上每个固定的x,{un(x)}不变号，则£u(x)在D上一致收敛于S(x)。n=1例17证明中2(xeR)的一致收敛性。3nn=1证明：由于n=1在R上点态敛于S(x),竺在R上连续，而S(x)在R上连续，对R上每个固定的x,3n{un(x)}不变号。则由定理12知原级数一致收敛于S(x)。推论6设u(x)>0,(u(x)<0)(n=1,2,)在D=\a,b］上连续，又Zu(x)在a,b］上收敛于连续函数，则函数项级数zu(x)在a,b］一致收敛。n例18试证Z二在(xG［0,+8))内一致收敛。2nn=1解：对VxG［0,+8),都有u(x)>0，又当n充分大时|土|单调递减，故n I2nITOC\o"1-5"\h\zu(x)连续，和函数S(x)=Zx=x在［0,+8)上连续，故由推论知Z-在n 2n 2nn=1 n=1x£(-8,+8)上一致收敛。4.6迫敛性判别法定理13\10(迫敛性定理)设VngN+,都有un(x)<vn(x)<^n(x)成立，且Zu(x)和Zw(x)在I上都一致收敛于S(x),则Zv(x)在I也一致收敛于S(x)。n=1 n=1 n=1证明：设U(x)=Zu(x),V(x)=Zv(x),W(x)=Zw(x),k=1 k=1 k=1因为Vn>N,VxgI都有u(x)<v(x)<w(x),所以VngN,3NgN都有U(x)<V(x)<W(x),又级数£u(x),Zw(x)在I一致收敛于S(x),即Vs>0,3NgN,n n +n=1 n=1Vn>N,VxgI有S(x)-s<U(x)<V(x)<W(x)<S(x)+s,及S(x)-s<U(x)<S(x)+s,

所以即Vs>0,3NgN,Vn>N,VxeI有S(x)-e<U(x)<V(x)<W(x)<S(x)+8,由函数项级数一致收敛定义知，£［(x)在I上也一致收敛于S(x)。n=1推论7已知数项级数£an,£bn都收敛，若存在neN,当n>N时有n=1 n=1a<攻(x)<b,xeD,则函数项级数£攻(x)于D一致收敛。=1(x)为常数项级数，则可判断£匕收敛)。n=1(显然，当攻(x)=攻，则£攻=1推论8设函数列{un(x)},£u(a)及£u(b)(显然，当攻(x)=攻，则£攻=1推论8设函数列{un(x)},£u(a)及£u(b)都绝对收敛,n nn=1 n=14.7M判别法的推论则级数£un(x)在［a,b］上一致收敛。n=1TOC\o"1-5"\h\z推论9设有函数项级数£un(x),存在一收敛的正项级数£an使得对n=1 n=1VxeI,有lim"n(x)1=k(0<k<+8),则函数项级数£u(x)在区间I一致收、a nn-8n n=1敛。证明：已知lim”n(x)।=k(0<k<+8),即3e>0,NeN+