工程力学 压杆稳定

Dec12,2014压杆稳定压杆稳定性的概念2压杆稳定性的概念3轴向拉压杆的强度失效塑性材料σlim＝σs，过大塑性变形脆性材料σlim

＝σb，断裂相应的强度条件只适用于拉杆和“粗短”的压杆。对于“细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。F直杆受压变弯的现象，称为失稳。

——压杆的一种失效形式。压杆稳定性的概念4在工程实际中，其它构件也需要考虑稳定问题。本章只讨论直杆的稳定问题。实际中，很多构件需要考虑稳定性压杆稳定性的概念当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变化————失去稳定性。5平衡的稳定性小球原有的平衡具有稳定性。小球原有的平衡不具有稳定性。平衡是稳定的平衡是不稳定的随遇平衡6压杆的稳定性：指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。（1）P<Pcr（3）P=PcrPP压杆原有的直线平衡形式不是稳定的。压杆不具有稳定性Pcr压杆的直线平衡形式为过渡状态。临界状态Pcr临界载荷P>Pcr压杆失效P压杆原有的直线平衡形式是稳定的。压杆具有稳定性（2）P>Pcr压杆稳定性的概念71、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压杆失稳的最小力。由上述讨论得：2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。8细长压杆的临界载荷欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷PPxyyxABPPxyM代入挠曲线近似微分方程令该微分方程的通解为式中A、B为积分常数杆的边界条件代入通解得B＝0A≠0利用挠曲线微分方程求临界载荷。9

两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分方程求临界载荷。C1

PPxyAByx讨论：1、n=0，没有意义。2、n=2、3时，挠曲线如图。n=2n=3中间没有支座，压杆不会弯成这种形状。3、临界载荷是压杆失稳的最小力。n只能等于1。4、挠曲线方程A为挠曲线中点的挠度。1011.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷推导方法：仿照两端铰支、细长压杆的临界载荷的推导方法，利用微分方程推导。细长压杆的临界载荷公式。（欧拉公式）m为长度因数，ml为相当长度。1、Pcr∝EI2、杆端约束越强，Pcr越大。11细长压杆的临界载荷公式。

若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。xyzyzlyzbh例11-1细长压杆，材料Q235，l=4m,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。解：m=1若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别计算临界载荷取较小的值。PP12压杆分类欧拉公式适用范围11.3.1临界应力与柔度的概念临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。惯性半径柔度：临界应力：关于柔度（长细比）：1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于l。l大，稳定性差。3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同，则l不同，计算临界载荷（应力）时，取较大的l值。4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使13欧拉公式的适用范围大柔度杆（细长杆）欧拉公式所以：从而：对于A3钢（Q235）E＝200GPa，σP＝200MPa。对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当l大于100时才可用欧拉公式计算临界载荷。当l大于lP时才可用欧拉公式计算临界载荷。由此可见：称l大于lP的压杆为细长杆或大柔度压杆。14压杆分类、临界应力总图

实际中的压杆，l往往小于lP。当l<lP

，

cr>P，欧拉公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性稳定。临界应力常常采用经验公式：a、b为材料常数，单位MPa.对于Q235为实际压杆的柔度，仍由计算。由知，l越小，，

cr越大。当l小于某值时，压杆的强度不允许。15所以，直线公式当成立。即材料常数因此，当S

≤≤P

时可以用直线公式。对于A3钢（Q235）σs＝235MPa。称s

≤≤P

的杆为中柔度杆。压杆分类、临界应力总图16称<s的杆为小柔度杆（粗短杆）。

由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：塑性材料：s脆性材料：b

当l<ls，压杆分类、临界应力总图17l讨论稳定性问题时，先计算l，判断压杆类型，选用相应公式。l越大，压杆的临界应力越小，稳定性越差。临界应力总图lslP小柔度杆中柔度杆大柔度杆18例11-2

螺旋千斤顶，丝杠的材料为45号钢，其，，。丝杠的为长度，内径。试求其临界载荷。解：（1）计算压杆的柔度，判断压杆的类型：横截面的惯性半径：丝杠的柔度：对于45号钢：则由于柔度s＜

＜P，所以丝杠为中柔度杆。（2）计算临界应力和临界载荷：丝杠可以简化为一端固定另一端自由的压杆，故长度系数为采用直线公式19例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235，E=210GPa，截面边长b=40mm

，h=60mm，。求临界载荷。zxPP解：（1）在xy面，两端铰支m=1，若失稳弯曲，z为中性轴。（2）在xz面，两端固定m=0.5，若失稳弯曲，y为中性轴。<lz连杆在xy面属于细长杆，在xz面不属于细长杆。PP2000xyyzbh20例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235，E=210GPa，截面边长b=40mm

，h=60mm，。求临界载荷。zxPP解：（1）在xy面，两端铰支m=1，若失稳弯曲，z为中性轴。（2）在xz面，两端固定m=0.5，若失稳弯曲，y为中性轴。<lz连杆在xy面属于细长杆，在xz面不属于细长杆。PP2000xyyzbh（3）lz>ly，连杆在xy面容易失稳计算临界载荷应以lz计算。lz＝115>100，属于细长杆。用欧拉公式。21压杆稳定计算

要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。

考虑到稳定贮备，取大于1的稳定安全系数nst。稳定条件常见压杆的稳定安全系数nst在设计手册中给出。三类稳定计算问题稳定性校核、确定许可载荷、截面尺寸设计(稳定系数法)。

压杆的工作压力或：压杆的工作安全因数22轴向压力为，规定稳定安全系数。试校核其稳定性。例11-4

一圆截面压杆，长度，直径，材料是钢，最大解：P（1）计算压杆的柔度：（2）计算临界载荷：压杆是中柔度杆。故临界载荷为:采用直线公式计算临界载荷。（3）校核压杆的稳定性：压杆稳定性是满足要求的。钢，对于长度系数23例11-5图示结构，AB材料为Q235，直径为d＝40mm。试求（1）直杆AB的临界载荷；（2）若Ab的稳定安全因数为[nst]=5,确定结构的最大载荷F。1.5m0.5mFQ30ºABCD解：（1）求AB的临界载荷AB的柔度>P＝100AB属于细长杆，可用欧拉公式计算临界载荷长度系数24例11-5图示结构，AB材料为Q235，直径为d＝40mm。试求（1）直杆AB的临界载荷；（2）若Ab的稳定安全因数为[nst]=5,确定结构的最大载荷F。1.5m0.5mFQ30ºABCDFQ30ºCADFDyFDxFAB解：（1）求AB的临界载荷（2）利用稳定条件，AB的所承受的最大轴向力依题意（3）结构的最大载荷25提高压杆稳定性的措施

由于压杆的临界载荷是压杆保持稳定的最大力（稳定极限载荷），临界载荷越大，压杆的稳定性越好。因此，提高压杆的稳定性措施应从影响临界载荷的因素入手。Q235优质碳钢影响临界载荷的因素：m（约束）l（杆长）I（截面形状与尺寸）材料261.尽量减小压杆的长度ll1气缸活塞活塞杆十字头BA不能减小长度时，也可在中间加支座。抱辊管坯顶杆27若杆为细长杆PlPl/2l/22.加强约束的牢固性丝杠导套对开螺母溜板l0d0滑动轴承尽可能增大宽度l01.5简化为铰支1.53不完全铰支3简化为固定端滑动轴承的约束情况由来确定。杆端约束越强，m值越小，临界载荷越大。若杆仍为细长杆283.选择合理的截面形状（1）压杆在各纵向平面约束相同时a、各方向