工程力学12应力应变分析强度理论

工程力学第12章应力应变分析强度理论中国石油大学（北京）应力应变分析强度理论平面应力状态分析——图解法应力状态的概念平面应力状态分析——解析法三向应力状态位移与应变分量之间的--几何方程

广义虎克定律复杂应力状态下的变形比能2应力应变分析强度理论莫尔强度理论及其相当应力强度理论的概念四个强度理论及其相当应力强度理论的应用3一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP4应力状态的概念4四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy5应力状态的概念5四、普遍状态下的应力表示

xyzs

xsz

s

ytxy6材料力学剪应力正负号定义弹性力学剪应力正负号定义应力状态的概念6xyzs

xsz

s

ytxy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。7应力状态的概念7tzx六、原始单元体（已知单元体）：例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx8应力状态的概念8七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress

）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，s1s2s3xyzsxsysz9应力状态的概念9单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz10应力状态的概念1011应力状态的概念当锅炉或其他圆筒形容器的壁厚t远小于它的内直径D时（譬如D大于20t），称之为薄壁圆筒。薄壁容器承受内压力的压强为p

圆筒部分横截面上的正应力:由圆筒及其受力的对称性可知，作用在圆筒底上压力的合力F的作用线与圆筒的轴线重合。因此圆筒部分的横截面上各点处的正应力可按轴向拉伸时的公式计算1112应力状态的概念圆筒部分纵截面上的正应力:用相距为l的两个横截面和包含直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分1213应力状态的概念圆筒内壁的微分面积压力为该部分内压力在y方向的投影的代数和为1314应力状态的概念在横截面和纵向截面上都没有切应力作用于内壁的内压力p和作用于外壁的大气压力1415应力状态的概念压力容器内壁应力？用过球心的平面的球分成两个半球作用在半球上压力的合力容器截面的内力15sxtxysyxyzxysxtxysyO16平面应力状态分析——解析法16规定：截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图217平面应力状态分析——解析法17图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2同理：18平面应力状态分析——解析法18二、极值应力19平面应力状态分析——解析法19´´xysxtxysyO20平面应力状态分析——解析法20xysxtxysyO21平面应力状态分析——解析法21xysxtxysyO在剪应力相对的项限内，且偏向于x

及y大的一侧。222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

¢

¢）（22平面应力状态分析——解析法22例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx23平面应力状态分析——解析法23破坏分析低碳钢铸铁24平面应力状态分析——解析法24对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）25平面应力状态分析——图解法25建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2626sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)

应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。2727四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s328平面应力状态分析——图解法2829平面应力状态分析——图解法2930平面应力状态分析——图解法3031平面应力状态分析——图解法3132平面应力状态分析——图解法323333343435三向应力状态3536三向应力状态3637三向应力状态3738三向应力状态3839三向应力状态39s3例3求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点4040s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB41三向应力状态41解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO42三向应力状态42解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO43三向应力状态43解法2—解析法：60°xyO44主应力力方向三向应力状态44解法2—解析法：60°xyO45主应力力方向三向应力状态4546几何方程位移与应变分量之间的关系—几何方程46一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系xyzsxxyz

x

y47广义虎克定律47三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx48广义虎克定律48主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:s1s3s249广义虎克定律49主应力与主应变方向一致?50广义虎克定律50五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:s1s3s2a1a2a351广义虎克定律51例7

已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态52广义虎克定律5253广义虎克定律5323

1图a图

c3

-m

1-m2-mm图bmm54复杂应力状态下的变形比能54称为形状改变比能或畸形能。图

c3

-m

1-m2-m55复杂应力状态下的变形比能55例9用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：txyA1356复杂应力状态下的变形比能56一、引子：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP强度理论的概念57二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failurebyloststrength）起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式：⑴屈服；⑵断裂。2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximumdistortionenergytheory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。强度理论的概念58一、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。四个强度理论及其相当应力59二、最大伸长线应变（第二强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。四个强度理论及其相当应力60三、最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2、强度准则：四个强度理论及其相当应力61四、形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。四个强度理论及其相当应力62莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。莫尔强度理论及其相当应力63[y]saaot[

L]O1O2莫尔理论危险条件的推导2、强度准则：1、破坏判据：O3

1

3MKLPN莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。莫尔强度理论及其相当应力64三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，

*—相当应力。3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。莫尔强度理论及其相当应力65一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。强度理论的应用66二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。其它应力状态时，使用第三或第四理论。强度理论的应用67解：危险点A的应力状态如图：例1

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。PPTTAAst强度理论的应用68例2薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。解：由广义虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。强度理论的应用69作业刘鸿文材料力学第四版P253习题7-14;7-19;7-29;7-36;7-37应力应变分析强度理论70711.二向应状态下任意斜截面上的应力

2.二向应状态下主应力及其主方向3.二向应状态下最大剪应力、最小剪应力及其作用面方应力应变分析强度理论71724广义虎克定律5平面状态下的应力—应变关系应力应变分析强度理论72736.位移与应变分量之间的关系—几何方程7.三向应力状态下的变形比能应变能密度体积改变能密度畸变能密度应力应变分析强度理论73747.强度理论第一强度理论(最大拉应力强度理论)

第二强度理论(最大伸长线应变理论)第三强度理论(最大剪应力强度理论)第四强度理论(形状改变比能理论)莫尔强度理论莫尔应力圆应力应变分析强度理论74757.7锅炉直径D＝1m,壁厚10mm，蒸汽压力，求内壁主应力，及最大切应力，斜面ab上的正应力剪应力。解：这是典型的二向应力状态问题，环向应力和轴向应力分别是主应力径向应力下面求斜面ab上的正应力剪应力，已知75767.8已知矩形截面梁上给定截面的弯矩及剪力分别为，，给出截面上1、2、3、4各点的应力状态，并求这四点的主应力解：横截面对z轴的惯性矩下面求各点的应力状态和主应力1点的应力分量1点处于单向应力状态76772点的应力分量2点处于纯剪切应力状态77783点的应力分量按照主应力符号规定78794点的应力分量4点处于单向应力状态79807.10薄壁圆筒扭转－拉伸试验示意图如图所示，已知，

求A点在指定截面上的应力以及主应力大小和方向解：A点指定横截面上的应力因为是薄壁圆筒，可以使用下面近似公式8081A点指定斜截面上的应力A点的主应力大小A点的主应力方向81827.14在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为MPa，求主应力数值及主平面位置解：建立如下坐标系8283主应力公式主应力力方向单元体草图83847.19a求下图所示的应力状态下的主应力和最大切应力解:本题属于三向应力状态,但是一个方向只有主应力,即已经是主应力面,已经知道一个主应力为,原来问题简化为二向应力状态主应力:最大切应力84857.19b求下图所示的应力状态下的主应力和最大切应力解:本题属于三向应力状态,但是一个方向只有主应力,即已经是主应力面,已经知道一个主应力为,原来问题简化为二向应力状态主应力:最大切应力85867.19c求下图所示的应力状态下的主应力和最大切应力解:本题属于三向应力状态,但是一个方向只有主应力,即已经是主应力面,已经知道一个主应力为,原来问题简化为二向应力状态主应力最大切应力86877.25列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用变形仪测量得：试求A点在x-x,y-y方向的正应力，设，问这样能否求出A点主应力