工程力学十二 动载荷

2023/2/2动载荷第十二章2023/2/2教学要求(1)掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强度计算方法。(2)理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设条件，熟练掌握受该冲击作用时简单结构的动应力和动变形的计算方法。(3)会用能量法推导其它形式冲击时的动应力和动变形公式。(4)了解提高构件抗冲击能力的主要措施。2023/2/2静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增加到某一定值且不再随时间改变。杆内各质点均处于静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不计。动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时间变化的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；若以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急剧地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊索上的载荷就是动载荷。第一节、概述2023/2/2动应力：在动载荷作用下构件内产生的应力，记为。实验证明：在静载荷下服从胡克定律的材料，在承受动载荷时，只要动应力小于等于比例极限(

),胡克定律仍然有效，而且弹性模量E也与静载荷下的数值相同(即=)。本章讨论的两类问题：作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；2023/2/2第二节等加速运动构件的应力计算

—动静法解此类问题的方法：牛顿第二定律或动静法。此类问题的特点：加速度保持不变或加速度数值保持不变，即角加速度为零.2023/2/21、等加速直线运动构件

动静法(达朗贝尔原理)即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在质点系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作用于质点系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。故惯性力是遍布于整个构件体积内的体积力。

在惯性坐标系(与地球固连的参考坐标系)中，质点运动满足牛顿第二定律引入惯性力即惯性力的方向与加速度a的方向相反，则有2023/2/2计算构件的加速度；将相应的惯性力作为外力虚加于各质点；作为静力平衡问题进行处理。设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力P作用,以等加速度a运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。解：构件的加速度：

maP构件单位长度上的惯性力(惯性力集度)：动静法解题的步骤：2023/2/2amPxx用截面法求内力：根据平衡条件 应力：上式中为P作为静载荷作用在构件上产生的静应力。即动应力沿杆长作线性分布。0Lx2023/2/2变形：根据虎克定律有微段的变形dx整个杆件的绝对变形为：2023/2/2例：一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。QammxQx解：将吊索在x处切开，取下面部分作为研究对象。作用在这部分物体上的外力有：重物的重量：Q；x段的吊索重量：Ax惯性力为：，吊索截面上的内力：根据动静法，列平衡方程：即2023/2/2解得：吊索中的动应力为：当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：代入上式，并引入记号，称为动荷系数，则：2023/2/2于是，动载荷作用下构件的强度条件为：式中的[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。动荷系数的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以下重要关系：式中分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移；

分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。2023/2/2

因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系数，即通常情况下， 。2023/2/22、等角速度旋转的构件旋转圆环的应力计算例：一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁厚为t。Dto2023/2/2o

等角速度转动时，环内各点具有向心加速度，且D>>t

可近似地认为环内各点向心加速度相同，。沿圆环轴线均匀分布的惯性力集度为：解:1.分析运动状态,确定动载荷2023/2/22.圆环在动载荷作用下的内力和应力：oxyd圆环横截面上的应力：式中是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：2023/2/23.旋转圆环的变形计算

在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为，则其直径变化，径向应变为所以

由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘与轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过高有可能使轮缘与轮心发生松脱。2023/2/2xdx例：图示刚轴AB的直径为8cm,轴上有一直径为8cm的钢质圆杆

CD,CD垂直于AB。若AB以匀角速度=40rad/s转动。材料的

[]=70MPa,比重。试校核AB轴、CD杆的强度。动载荷集度——单位长度惯性力：解:1.分析运动状态,确定动载荷CDAB6006006002023/2/2则CD杆中最大的应力为所以CD杆安全。2.计算在动载荷作用下的内力和应力CDAB600600600CD杆任意截面上的轴力2023/2/2600DAB600M图AB轴中最大的应力为所以AB轴安全。2023/2/2总结

这类问题的特点是加速度保持不变或加速度数值不变而方向改变，即角加速度不为零。解这类问题的方法是用牛顿第二定律或“理论力学”中的动静法。2023/2/2vQa受冲击的构件冲击物一、概念冲击：冲击物在被冲击物接触的非常短暂的时间内，速度发生很大变化，这种现象称为冲击。2.研究方法：能量法3.几个假设：1.冲击物——刚体；2.被冲击物——无质量的弹性体;3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动;4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与位能的转化。第三节构件受冲击时的应力和变形计算

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根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处落下的作用，计算冲击应力。QHABQHQH弹簧2023/2/2根据能量守恒定律，即:冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；:冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；:被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。2023/2/2QH弹簧设：受重物Q自高度H落下，冲击弹性系统后，速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最大值,与之相应的冲击载荷即为Pd冲击载荷:冲击物速度为零时的瞬间载荷冲击前：冲击物Q具有的动能为：冲击物Q具有的位能为:被冲击物具有的变形能为:冲击后：冲击物Q具有的动能为：冲击物Q具有的位能为:被冲击物具有的变形能为:二、竖向冲击2023/2/2PQ于是变形能为根据力和变形之间的关系：且由能量守恒定律知为弹性系统在静载荷Q作用下产生的变形2023/2/2可以得到：即解得：式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。即2023/2/2式中为冲击时的动荷系数，其中是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量）作用下的垂直位移。2023/2/2因为所以冲击应力为强度条件为2023/2/21、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由可得：2、若已知的是冲击物冲击前的能量，则由得(为被冲击物在静荷

Q作用下的变形能)关于动荷系数的讨论:2023/2/23、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时。4、当时，可近似取，误差<5%。当时，可近似取，误差<10%。5、不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，更与有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变形，刚度越小,动荷系数越小。即“柔能克刚”。2023/2/2冲击力冲击应力冲击变形动荷系数2023/2/2

例：重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处，求B点的挠度。2023/2/2

例：等截面刚架的抗弯刚度为EI，抗弯截面系数为W，重物Q自由下落时，求刚架内的最大正应力。2023/2/2

例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN的静载荷作用下缩短0.625mm。钢杆直径d=40mm,l=4m，许用应力[σ]=120MPa,E=200GPa。若有重为15kN的重物自由落下落，求其许可高度h。2023/2/22023/2/2水平冲击时的动荷系数计算解：根据能量守恒：冲击过程中释放的动能等于杆件增加的变形能。而(a)设：一重量为Q的重物以水平速度v撞在直杆上，若直杆的E、I、均为已知。试求杆内最大正应力。三、水平冲击QvL则2023/2/2即水平冲击时的动荷系数为——假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。冲击力冲击应力2023/2/2实例1等截面直杆的冲击拉伸应力LHQ已知：等截面直杆长度为L，截面积为A，杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处自由落下。解：静应力和静伸长分别为，动荷系数为冲击应力为四、几个冲击实例的计算2023/2/2可见：不仅与杆的截面积A有关，且与长度L、体积V=AL

有关。而且V，。实例2等截面简支梁的冲击弯曲应力已知：梁的抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。在梁的中点处受到重物Q从高H处自由下落的冲击。解：梁中点处的静挠度为ABQHL/2L/2动荷系数2023/2/2最大冲击应力为ABQHL/2L/2k

如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为k，此时梁中点处的静挠度将变为即增大，动荷系数下降，使下降，此即弹簧的缓冲作用。2023/2/2实例3等截面圆轴受冲击扭转时的应力LABD设：等圆截面圆轴上有飞轮D，以等角速度转动，飞轮的转动惯量为。由于某种原因在B端突然刹车。求此时轴内的冲击应力。解：飞轮动能的改变量：轴的变形能(为冲击扭转力矩)2023/2/2解得：所以轴内冲击应力为（与体积V=AL有关）所以对于转轴，要避免突然刹车。2023/2/2解题步骤1:.求Δst；2.求Kd；3.求σs