【教案】向量的数乘运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9/96.2.3向量的数乘运算一、内容和内容解析内容：向量的数乘运算．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容．实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义.（2）了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质．目标解析：（1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义．学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.（2）学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义.基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的数乘运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：与物理中的矢量对比，从大小和方向两个角度分析.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：数形结合，借助图象加强理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量数乘运算的法则，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过问题串的形式引导学生分析问题，解决问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情景引入新知[问题1]实数运算,x+x+x=3x,思考能否写成呢?[问题2]与的方向有什么关系?与的方向呢?[问题3]按照向量加法的三角形法则,若为非零向量,那么的长度与的长度有何关系.[问题4]实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量,,上式是否仍成立?1.创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880000v2.对于880000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．2.探索交流，解决问题教师1：提出问题1．学生1：学生思考．可以,即.教师2：提出问题2．学生2：与的方向相同,与的方向相反.教师3：提出问题3．学生3：的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=.教师4：提出问题4．学生4：成立,向量同样满足分配律、结合律.问题引入：通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定理.明确概念，理解定理[问题5]阅读课本，回答以下问题：（1）向量的数乘运算定义；（2）它的大小和方向如何确定？（3）数乘的运算律有哪些？【练习1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则()A．|a|＝|b|B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反【练习2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b[问题6]a＝λb⇒a与b共线，对吗？[问题7]若a与b共线，一定有a＝λb吗？[问题8]若两个非零向量,共线,是否一定存在实数λ使得=?教师5：提出问题5．学生5：定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.学生6：规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.学生7：运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.教师6：我们把向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.教师6：完成【练习】学生8：第一题答案：C∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．学生9：第二题答案D教师6：提出问题6．学生10：对．教师7：提出问题7．学生11：不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.教师8：提出问题8．学生12：一定存在,且是唯一的.教师9：向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养.典例探究落实巩固1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．2.向量共线定理及其应用例2.已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1+e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1+8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．例3.如图，ABCD是一个梯形，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up6(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示向量eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(MN,\s\up6(→)).[课堂练习1]已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．[课堂练习2]如图，四边形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，，用，表示.教师10：完成例1．学生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]＝eq\f(1,2)(3a－eq\f(2,3)a＋2b－b)－eq\f(7,6)(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)b)＝eq\f(1,2)(eq\f(7,3)a＋b)－eq\f(7,6)(a＋eq\f(3,7)b)＝eq\f(7,6)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(7,6)a－eq\f(1,2)b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.教师11：小结：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.教师12：完成例2．学生14：(1)证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.教师13：完成例3．学生15：因为eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.教师18：布置课堂练习1、2．学生16：完成课堂练习，并核对答案．1.答案：－eq\f(1,3)由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))2.（1）因为，所以；（2）因为，所以.例1：巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．课堂练习1：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．课堂练习2：利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2bB．－2bC．0D．b－a2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up12(→))等于()A.eq\f(1,2)(a－b)B.－eq\f(1,2)(a－b)C.eq\f(1,2)(a＋b)D.－eq\f(1,2)(a＋b)3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))