【教案】向量的减法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8/86.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入概念[问题1]类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？[问题2]你认为向量的减法该怎样定义？教师1：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？提出问题1．学生1：学生思考．大小相等，方向相反的向量叫做相反向量.教师2：提出问题2．学生2：学生思考．定义,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.问题引入：类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．动手实践理解几何意义[问题3]已知向量和，的几何意义是什么？[问题4]能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？[问题6]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？教师3：提出问题3．学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设a,b,-b,连接AB，由向量减法的定义知，．在四边形OCAB中，，所以OCAB是平行四边形．所以．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a,b,则a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设a,b,则＝a+b，＝a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|＝，|a-b|＝，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用1.向量减法法则的应用例1.(1)在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求作向量b＋c－a.2.向量的加减法运算例2.(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))可以写成：①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)).其中正确的是________(填序号).(2)化简：①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))；②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))).3.向量加减法的应用例3.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→)).[课堂练习]1.化简下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))).2.如图所示，解答下列各题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c，d表示eq\o(EC,\s\up6(→)).教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b＋c－a.教师9：展示例题2．学生9：①eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；②eq\o(MO,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝－(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))≠eq\o(MN,\s\up6(→))；③eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))；④eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，故填①④.学生10：①eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).②(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1.(1)原式＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NP,\s\up6(→))＝0.(2)原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.2.(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．明晰概念:让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1:掌握作两个向量的差的基本方法．课堂练习2:让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结升华认知[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简eq\