岩石强度理论

上节内容——岩石的强度性质岩块强度：岩块抵抗外力破坏的能力。岩块破坏方式脆性破坏塑性破坏(延性破坏）拉破坏剪切破坏

一、单轴抗压强度二、单轴抗拉强度三、剪切强度四、三轴压缩强度受力状态2.8岩石强度理论2.8.1库仑强度准则2.8.2莫尔强度理论2.8.3格里菲斯强度理论2.8.4

Griffith强度准则的三维推广（Murrell强度准则）2.8.5德鲁克一普拉格准则主要内容材料力学中强度理论：关于材料强度破坏决定性因素的各种假说——强度理论解释材料脆性断裂破坏的强度理论——最大拉应力、拉应变理论塑性屈服的强度理论——最大剪应力、均方根剪应力理论由于（岩面）材料的破坏，从微观颗粒脱离情况而言，不外远离、错开两种可能，物体破坏只有拉坏和剪坏两种。由于岩石抗压不抗拉，材料力学中第一、二、三、四强度理论不适用。岩石强度理论——指岩石在某应力或应变条件下产生破坏的判据

岩体力学研究对象:岩体，岩体是岩块和结构面的组合体，其力学性质往往表现为弹性、塑性、粘性或三者之间的组合。

岩体基本力学问题求解基本单元:岩体微分单元体，其基本求解过程如下：2.8岩石强度理论岩体本构关系:指岩体在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。依据适合于岩体的强度理论，判断岩体的破坏及其破坏形式。力的平衡关系（平衡方程）位移和应变的关系（几何方程）应力和应变的关系（物理方程或本构方程）应力场位移场边界条件+=

岩石的强度是指岩石抵抗破坏的能力。岩石材料破坏的形式:断裂破坏、流动破坏（出现显著的塑性变形或流动现象）。断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到屈服极限。强度准则：通过试验以及强度理论。

岩体的力学性质可分为变形性质和强度性质两类，变形性质主要通过本构关系来反映，强度性质主要通过强度准则来反映。2.8岩石强度理论岩石强度理论：研究岩石在一定的假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理论。强度准则：又称破坏判据，岩石在极限应力状态下（破坏条件）的应力状态和岩石强度参数之间的关系。可表示为极限应力状态下的主应力间的关系方程，即:或处于极限平衡状态截面上的剪应力和正应力间的关系方程：2.8岩石强度理论

2.8.1库仑强度准则岩石的破坏：剪切破坏。岩石的强度：抗摩擦强度等于岩石本身抗剪切摩擦的粘结力和剪切面上法向力产生的摩擦力。平面中的剪切强度准则（图7-6）为：或（7-27）

图7-6σ－τ坐标下库仑准则2.8岩石强度理论固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力(τ)应等于或大于材料本身的抗切强度(C)和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。若规定最大主应力方向与剪切面（指其法线方向）间的夹角为（称为岩石破断角），则由图7-6可得：故：若用平均主应力和最大剪应力表示，上式变成：

其中：

(7-29)

2.8.1库仑强度准则

由图7-6可得：并可改写为：若取，则极限应力为岩石单轴抗压强度，即有：利用三角恒等式，有：（7-31）

(7-30)剪切破断角关系式可得：将方程（7-31）和（7-32）代入方程（7－30）得：(7-32)

2.8.1库仑强度准则图7-7σ1－σ3坐标系的库仑准则坐标系统中库仑准则的完整强度曲线。如图7-6所示，极限应力条件下剪切面上正应力和剪力用主应力表示为：(7-34)

由方程（7-27）式并取，得：

(7-35)

2.8.1库仑强度准则

根据方程（7-27）式，如果方程（7-36）式小于，破坏不会发生；如果它等于（或大于），则发生破坏。令方程（7-35）式对求导可得由此给出的最大值，即(7-36)

则方程（7-36）式变为（7-37）

2.8.1库仑强度准则上式表示（图7-8)的直线交于，且：交轴于。注意：并不是单轴抗拉强度图7-8σ1－σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线

2.8.1库仑强度准则由：有：或：由于，故若，则有：方程（7-37）式与（7-38）式联立求解可得：

(7-38)

岩石发生破裂（或处于极限平衡）时取值的下限确定：考虑到剪切面（图7-6）上的正应力的条件，这样在值条件下，由方程（7-34）式得：

2.8.1库仑强度准则图7-8中直线AP代表的有效取值范围。为负值（拉应力），由实验知，可能会在垂直于平面内发生张性破裂。特别在单轴拉伸中，当拉应力值达到岩石抗拉强度时，岩石发生张性断裂。基于库仑准则和试验结果分析，由图7-8给出的简单而有用的准则可以用方程表示为：图7-8σ1－σ3坐标系中的库仑准则的完整强度曲线(7-39)

2.8.1库仑强度准则

在此库仑准则条件下，岩石可能发生以下四种方式的破坏。

(1)当时，岩石属单轴拉伸破裂；

(2)当时，岩石属双轴拉伸破裂；

(3)当时，岩石属单轴压缩破裂；

(4)当时，岩石属双轴压缩破裂。另外，由图7－8

中强度曲线上A点坐标可得，直线AP的倾角为：在主应力坐标平面内的库仑准则可以利用单轴抗压强度和抗拉强度来确定。

2.8.1库仑强度准则库仑准则主要公式：

2.8.1库仑强度准则按照库仑-纳维尔理论，岩石的强度包络线是一条斜直线，破坏面与最小主平面的夹角α恒等于45－φ/2。库仑-纳维尔判据适用于坚硬、较坚硬的脆性岩石产生剪切破坏的情况，而不适用于拉破坏的情况。该判据没有考虑中间主应力σ2的影响。2.8.2莫尔强度理论2.8岩石强度理论莫尔（Mohr，1900年）把库仑准则推广到考虑三向应力状态。最主要的贡献是认识到材料性质本身乃是应力的函数。他总结指出“到极限状态时，滑动平面上的剪应力达到一个取决于正应力与材料性质的最大值”，并可用下列函数关系表示：

(7-40)式在坐标系中为一条对称于轴的曲线，它可通过试验方法求得，即由对应于各种应力状态（单轴拉伸、单轴压缩及三轴压缩）下的破坏莫尔应力圆包络线，即各破坏莫尔圆的外公切线（图7-9)

，称为莫尔强度包络线给定。(7-40)

莫尔包络线的具体表达式，可根据试验结果用拟合法求得。包络线形式有：斜直线型、二次抛物线型、双曲线型等等。斜直线型与库仑准则基本一致，库仑准则是莫尔准则的一个特例。主要介绍二次抛物线和双曲线型的判据表达式。图7-9完整岩石的莫尔强度曲线2.8.2莫尔强度理论

1、二次抛物线型岩性较坚硬至较弱的岩石。式中：为岩石的单轴抗拉强度；n为待定系数。利用图7-10中的关系，有：1.双向压缩应力圆，2.双向拉压应力圆，3..双向拉伸应力圆图7-10二次抛物型强度包络线

(7-41)

(7-42)

2.8.2莫尔强度理论其中：消去式中的，得二次抛物线型包络线的主应力表达式为：单轴压缩条件下，有：解得：

(7-43)

（7-44）

（7-45）

利用（7-41）式（7-44）式和（7-46）式可判断岩石试件是否破坏。（7-46）

2.8.2莫尔强度理论

2、双曲线型砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石的强度包络线近似于双曲线（图7-11)，其表达式为：式中，φ1为包络线渐进线的倾角，（7-47）

图7-11双曲线型强度包络线2.8.2莫尔强度理论莫尔强度理论实质:剪应力强度理论。优点：

(1)适用塑性岩石及脆性岩石的剪切破坏；

(2)反映岩石抗拉强度远小于抗压强度特性;(3)能解释岩石在三向等拉时破坏，在三向等压时不会破坏（曲线在受压区不闭合）的特点。

缺点:(1)忽略了中间主应力的影响，与试验结果有一定的出入。

(2)该判据只适用于剪破坏，受拉区的适用性还值得进一步探讨，不适用于膨胀或蠕变破坏。2.8.2莫尔强度理论2.8.3格里菲斯强度理论2.8岩石强度理论格里菲斯（Griffith，1920年）认为:脆性材料断裂的起因是分布在材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中（这种裂纹称之为Griffith裂纹）。格里菲斯确定断裂扩展的能量不稳定原理认为:当作用力的势能始终保持不变时，裂纹扩展准则可写为：式中：C为裂纹长度参数；Wd为裂纹表面的表面能；We为储存在裂纹周围的弹性应变能。式中：a为裂纹表面单位面积的表面能；E为非破裂材料的弹性模量。图7-12平面压缩的Griffith裂纹模型图7-13Griffith强度曲线

1921年，Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂纹的扩展研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的均匀单轴拉伸应力σ的加载方向。当裂纹扩展时满足下列条件：2.8.3格里菲斯强度理论双向压缩下裂纹扩展准则（Griffith强度准则）:

条件：1)不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响；2)假定椭圆裂纹将从最大拉应力集中点开始扩展的情况下（图7.12中的P点）。图7-12平面压缩的Griffith裂纹模型图7-13Griffith强度曲线（7-50）

2.8.3格里菲斯强度理论结论：

(1)材料的单轴抗压强度是抗拉强度的8倍，其反映了脆性材料的基本力学特征。

(2)材料发生断裂时，可能处于各种应力状态。不论何种应力状态，材料都是因裂纹尖端附近达到极限拉应力而断裂开始扩展，即材料的破坏机理是拉伸破坏。新裂纹与最大主应力方向斜交，而且扩展方向会最终趋于与最大主应力平行。

Griffith强度准则只适用于研究脆性岩石的破坏。

Mohr-coulomb强度准则的适用性一般的岩石材料。2.8.3格里菲斯强度理论7.3.4

Griffith强度准则的三维推广（Murrell强度准则）7.3岩石强度理论Murrell将Griffith强度准则从二维推广到三维，得到强度准则特点：1)形式简单，能够考虑中间主应力的影响，并且将单轴压拉强度比提高到12。2)Murrell准则在主应力之和小于3时应为圆锥面，压拉强度比仍然是8。3)该式并不能全部用来表示岩石的强度准则，否则就得到3个主应力为零时材料也会屈服破坏这样的结论。因此必须考虑拉伸破坏时的强度准则。平面Griffith强度准则的几何性质是，以σ1＝σ3为对称轴的抛物线，与直线σ1＝－和σ3＝－相切。在三维应力情形，假设强度准则具有类似的几何性质：以σ1＝σ2＝σ3为对称轴的旋转抛物面，与直线σ1＝σ2＝－，σ2＝σ3＝－和σ3＝σ1＝－相切。

(7-51)

子午面σ2＝σ3上，强度准则形状如图7-14。图7-14

Griffith强度准则的三维推广2.8.4Murrell强度准则主应力空间点P（－，－，－）在Oxy坐标系的位置是（0，）。过该点的抛物线切线σ2＝σ3＝－就是图中的PA，与主应力σ1轴平行。切点A（x，y）满足：主应力σ1轴与对称轴ON的夹角是arccos（），与其垂直的方向是σ2＝σ3。设对称轴的坐标为y，垂直于对称轴方向坐标为x，则抛物面的方程为：而：解切点坐标

(7-52)

2.8.4Murrell强度准则x，y用应力不变量的式表达，可得到Murrell准则即公式(7-51)。其成立范围只能是切点以外的部分（图中实线），即

。而两切点之间并不是材料的强度准则。用主应力表示，则分界面是：σ1+σ2+σ3≥3显然，σ1＋σ2＋σ3＜3时强度准则是一个以切线PA为母线的圆锥面，其方程是：(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2(σ1+σ2+σ3+3)2

注意：1)双向等拉时的强度是，即图中点；而由于切线PB与坐标轴不平行，单向拉伸的强度是－3／2，即图中R点。但压拉强度比仍然是8。2)Griffith强度准则三维推广时，不假设旋转抛物面与平面σ1＝－

，σ2＝－

和σ3＝－

相切，否则旋转抛物面方程不合实际。2.8.4Murrell强度准则7.3岩石强度理论Coulom准则和

Mohr准则机理有相同之处，可以统称为Mohr-CUulom(C-M）准则。体现了岩土材料压剪破坏的实质；没有反映中间主应力的影响，不能解释岩土材料在静水压力下也能屈服或破坏的现象。Druckre-Prager(德鲁克一普拉格准则)准则，是在C-M准则和塑性力学中著名的Mises准则基础上的扩展和推广而得的，表达式为：

其中：为应力第一不变量；

为应力偏量第二不变量；

Drucker-Prager准则计入了中间主应力的影响，又考虑了静水压力的作用。第二章习题选择题1、在岩石单向抗压强度试验中，岩石试件高与直径的比值h/d和试件端面与承压板之间的磨擦力在下列哪种组合下，最容易使试件呈现锥形破裂。（）（A）h/d较大，磨擦力很小（B）h/d较小，磨擦力很大（C）h/d的值和磨擦力的值都较大（D）h/d的值和磨擦力的值都较小2、岩石的弹性模量一般指（）。（A）弹性变形曲线的斜率（B）割线模量（C）切线模量（D）割线模量、切线模量及平均模量中的任一种3、岩石的割线模量和切线模量计算时的应力水平为（）。（A）(B)（C）4、由于岩石的抗压强度远大于它的抗拉强度，所以岩石属于（）。（A）脆性材料（B）延性材料（C）坚硬材料（D）脆性材料，但围压较大时，会呈现延性特征5、剪胀（或扩容）表示（）。（A）岩石体积不断减少的现象（B）裂隙逐渐闭合的一种现象（C）裂隙逐渐涨开的一种现象（D）岩石的体积随压应力的增大逐渐增大的现象6、剪胀（或扩容）发生的原因是由于（）（A）岩石内部裂隙闭合引起的（B）压应力过大引起的（C）岩石的强度大小引起的（D）岩石内部裂隙逐渐张开的贯通引起的7、岩石的抗压强度随着围压的增大（）。（A）而增大（B）而减小（C）保持不变（D）会发生突变8、劈裂试验得出的岩石强度表示岩石的（）。（A）抗压强度（B）抗拉强度（C）单轴抗拉强度（D）剪切强度9、格里菲斯强度准则不能作为岩石的宏观破坏准则的原因是（）。（A）它不是针对岩石材料的破坏准则（B）它认为材料的破坏是由于拉应力所致（C）它没有考虑岩石的非均质特征（D）它没有考虑岩石中的大量生长裂隙及其相互作用10、岩石的吸水率是指（）。（A）岩石试件吸入水的重量和岩石天然重量之比（B）岩石试件吸入水的重量和岩石干重量之比（C）岩石试件吸入水的重量和岩石饱和重量之比（D）岩石试件天然重量和岩石饱和重量之比11、已知某岩石饱水状态与干燥状态的抗压强度之比为0.72，则该岩石（）。（A）软化性强，工程地质性质不良（B）软化性强，工程地质性质较好（C）软化性弱，工程地质性质较好（D）软化性弱，工程地质性质不良12、当岩石处于三向应力状态且比较大的时候，一般应将岩石考虑为（）。（A）弹性体（B）塑性体（C）弹塑性体（D）完全弹性体13、在岩石抗压强度试验中，若加荷速率增大，则岩石的抗压强度（）。（A）增大（B）减小（C）不变（D）无法判断14、按照库仑—莫尔强度理论，若岩石强度曲线是一条直线，则岩石破坏时破裂面与最大主应力作用方向的夹角为（）。（A）45°（B）（C）（D）60°15、在岩石的含水率试验中，试件烘干时应将温度控制在（）。（A）95~105℃（B）100~105℃（C）100~110℃（D）105~110℃16、按照格理菲斯强度理论，脆性岩体破坏主要原因是（）。（A）受拉破坏（B）受压破坏（C）弯曲破坏（D）剪切破坏17、在缺乏试验资料时，一般取岩石抗拉强度为抗压强度的（）（A）1/2~1/5（B）1/10~1/50（C）2~5倍（D）10~50倍

18、某岩石试件相对密度ds=2.60，孔隙比e=0.05，则该岩石