实际应用问题专题讲座

实际应用问题专题讲座主讲：史晓辉新的《课程标准》中明确指出：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具.”为了全面推进新课程改革，和新的教育理念接轨，联系实际，贴近生活的数学应用题已经走入各省市的中考试卷。它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。应用性问题的常见模型有：

方程模型不等式模型函数模型几何模型统计模型

方程（组）型应用题（1）审：未知量、已知量、相等关系；（2）设：用字母表示未知数(写明单位)；（3）列：列出方程（组）；（4）解：解所列方程（组）；（5）验：检验答案是否符合方程、符合题意（6）答：写出答案。一般步骤：例1．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为哪种方案获利最多，为什么？解：

方案一，总利润为4×2000＋（9－4）×500＝10500（元）

方案二，设加工奶片x吨，则

9－xx＋x＝4解得，x＝1．5

总利润为1.5×2000＋7.5×1200＝12000（元）10500＜12000所以方案二获利较多

例2．5.12汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？解：设：原来每天生产ｘ顶帐篷。根据题意，得

：解这个方程的：经检验：x＝1000是原方程的根，且符合题意。

答：该厂原来每天生产1000顶帐篷。例3．长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？解：

（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得:所以平均每次下调的百分率为0.1（2）方案①购房少花4050×100×0.02＝8100（元）

需要交两年的物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元）

实际得到的优惠是8100－3600＝4500（元）

方案②省两年物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元）

因此方案①更优惠

解得，（不合题意舍去）

219x10=例4．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图内阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？设正方形观光休息亭的边长为x米．根据题意，得:解：（100－2x）（50－2x）=3600．

整理，得x2－75x+350=0

解得x1=5，x2=70

∵x=70>50，不合题意，舍去，∴x=5．答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．例5．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？解：

∵150×25＝3750<4800∴购买的团体票超过25张.设共购买了x张团体票，根据题意列方程得：

即x2－100x＋2400＝0当x1＝60时，不符题意，舍去x2＝40符合题意∴x＝40答：共购买了40张团体票.不等式（组）型应用题

现实世界中不等关系是普遍存在的，有关最佳决策、合理调配、统筹安排等最优化问题，一般可通过对给出的一些数据进行分析、转化、建立不等式模型，再求在约束条件下的不等式的解集．不等式（组）型应用题（1）审：未知量、已知量、不等关系；（2）设：用字母表示未知数(写明单位)；（3）列：列出不等式（组）；（4）解：解所列不等式（组）；（5）验：检验答案是否符合不等式、符合题意（6）答：写出答案.例1．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．60100每台日产量（个）57价格（万元/台）乙甲（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台．根据题意，得：解：解这个不等式，得即x可以取0、1、2三个值所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；

按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；

按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个

因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．例2．今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；(1)．该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．(2)．若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，依题意，得解：解这个不等式组，得

安排甲、乙两种货车有三种方案：①甲种货车5辆，乙种货车5辆；②甲种货车6辆，乙种货车4辆；③甲种货车7辆，乙种货车3辆；是整数，x可取5、6、7，

∵x方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元；方法二：方案①需要运费2000×5+1300×5=16500（元）方案②需要运费2000×6+1300×4=17200（元）方案③需要运费2000×7+1300×3=17900（元）∴该果农应选择①运费最少，最少运费是16500元．例3．2011年8月上旬，我市受台风“梅花”的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．已知甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天．依题意得

：解：经检验知它们适合方程组和题意

则甲队每天施工1200÷20=60m，乙队每天施工1200÷30=40m.

解之得设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天，b天.依题意得

解得b≥15

答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天，30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天．函数型应用问题

函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带;它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，在实际问题中，有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想，建立函数模型，转化为函数的最值问题.函数型应用问题（1）审：常量、变量、相等关系；（2）设：用两个字母分别表示自变量、因变量；（3）列：列出函数关系式（写出自变量的取值范围）（4）解：解决函数问题；（5）验：检验答案是否符合函数关系、符合题意（6）答：写出答案.例1．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为

分钟，小聪返回学校的速度为

千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?D2O4t(分钟)s(千米)154530小聪小明ABC15(2)由图象可知，s是t的正比例函数设所求函数的解析式为:代入(45，4)得:

解得:∴s与t的函数关系式为

()(3)由图象可知，小聪在的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为:代入(30，4)，(45，0)得:

解得:

∴

令，解得

当时，

答:当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.

例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？（1）若销售单价为x元，根据题意得

：

解：（30≤x≤70）

（2）

当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。例3．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？解：

以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）

用待定系数法求得抛物线的解析式为

设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y

x的取值范围是0<x<4（x≠2）

若l=8，则，即。解得。而0<x<4（x≠2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。解直角三角形型应用问题掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。

例1.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。解：

A

B

H

C例2.

永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（，结果保留整数）．解：根据题意，可知根据题意，可知∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，DC＝50解：在Rt△ABC中，由∠BCA＝∠BAC＝45°,得BC＝AB.在Rt△ABD中，由得

又∵

∴

，即∴

答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118m.

ABCD45°60°ADNM北东15°60°PB例3.一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向上，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里（结果保留根号）？（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果精确到个位，参考数据：≈1.73）解：

（1）过点B作BC⊥AP于点C

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°

∴BC=AB=20，AC=AB·cos30°=20∵∠PBD=90°-15°=75°，

∠ABC=90°-30°=60°∴∠CBP=180°-75°-60°=45°∴PC=BC·tan45°=20∴AP=AC+PC=（20+20）海里∵PD⊥AD，∠PAD=30°∴PD=AP=10+10

答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里.

（2）设轮船每小时航行x海里，在Rt△ADP中，

AD=AP·cos30°=（20+20）=（30+10）海里∴BD=AD-AB=30+10-40=（10-10）海里

+=经检验，是原方程的解

x=60-20∴≈60-20×1.73=25.4≈25

x=60-20答：轮船每小时航行约25海里

.

x=60-20∴

几何型应用问题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题等能力，同时也对学生观察、想像、分析、综合、数形结合等数学思想方法进行考查．

几何型应用问题踏板长榫头图2图1例1．王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A8B8＝0.8m．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）设要制作A1B1，A2B2，…，A8B8这些踏板需用木板的长度分别为a1cm,a2cm,，…，a8cm，则a1

＝50＋8＝58，解：

如图，设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A2B2，A3B3，…，A7B7，过A1作B1B8的平行线分别交A2B2，A3B3，…，A8B8于点C2，C3

，…，C8。A1B1A2B2C2A8B8C8∵每两级踏板之间的距离相等，∴C8B8＝C7B7

＝…＝C2B2

＝A1B1

＝50cm，A8C8

＝80－50＝30cm，∵A2C2∥A8C8，∴∠A1A2C2

＝

∠A1A8C8，∠A1C2A2

＝

∠A1C8A8，∴△A1A2C2∽△A1A8C8，∴A2C2∶A8C8

＝1∶7∴A2C2

＝730∴王大伯买的木板肯定不能少于3块．

又∵∴王大伯最少买3块这样的木板就行了．

统计型应用问题

统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强，与统计有关的实际问题可建立统计模型，并利用统计的知识加以解决。例1.根据北京市水务局公布的2009年、2010年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如图1统计图表：2010年北京市水资源分布图（单位：亿m3）2009年北京市用水量统计图6.783.226.882.793.51潮白河水系永定河水系蓟运河水系北运河水系永定河水系大清河水系农业用水生活用水工业用水环境用水2％37％39％22％012345678水系2.796.786.883.22永定河水系潮白河水系北运河水系蓟运河水系大清河水系水资源量2010年北京市水资源统计图（单位：亿m3）2010年北京市用水情况统计表38.3％19.7％3.2％38.8％占全年总用水量的比例13.226.8013.38用水量（单位：亿m3）农业用水工业用水环境用水生活用水（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供.请你根据以上信息补全2010年北京市水资源统计图，并计算2010年全市的水资源总量（单位：亿m3）；（2）在2010年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你先计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2010年北京市用水总量（单位：亿m3）；（3）根据以上数据，请你计算2010年北京市的缺水量（单位：亿m3）；（4）结合2009年及2010年北京市的用水情况，谈谈你的看法.（1）由于从2010年北京市水资源分布图中知道大清河水系的水资源量为3.51亿m3，所以补全2010年北京市水资源统计图见如图2；由此可以计算出水资源总量为23.18亿m3.012345678水系2.796.786.883.22永定河水系湖白河水系北运河