空间中的位置关系-平行与垂直

第五讲空间中的位置关系—平行与垂直异面直线及平行关系1(异面直线所成角).点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是A．60B．90C．45D．30A1C1DB1变式必做1：直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝900，且FACBCAA1a,则AB1与BC1所成角为（）ACEBA.300B.450C.600D.900变式必做2：设线段AB，CD是夹在两相距为1的平行平面α，β间的两线段且AB⊥CD，若AB3,则CD的取值范围________.变式必做3:设线段AB，CD是夹在两平行平面α，β间的两异面线段，点A,C,B,D．若M,N分别为AB，CD的中点，则有（）A．|MN|1(|AC||BD|)B．|MN|1(|AC||BD|)22C．|MN|1(|AC||BD|)D．|MN|≤1(|AC||BD|)222（异面直线的判定）。正方体的共 12条棱中，其中是异面直线的有 _______对。变式必做1：已知异面直线a，b成60角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45角的直线（）A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条变式必做2：已知异面直线a，b成60角，A为空间中一点，则过A与a，b都成600角的直线（）A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条3（位置关系的判定，方法是固定一些量，变换或旋转一些量，看原来位置关系是否满足） ．(1)已知 m，n表示两条不同直线， α表示平面．下列说法正确的是 ( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α1(2)如图，矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＡＢ的中点，将△ＡＤＥ沿直线ＤＥ翻转成△Ａ １ＤＥ。若Ｍ为线段Ａ１Ｃ的中点，则在其翻转过程中，正确的说法是 ______。①|ＢＭ|是定值；②点Ｍ在圆周上运动；③一定存在某个位置，使得ＤＥ⊥Ａ１Ｃ；④ＭＢ//面Ａ１ＤＥ变式必做2．将一个真命题“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后得到一个新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行。其中是“可换命题”的是 ______。4（几何体内的位置关系的确定，充分考虑几何体的性质）.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，E,F,G,,H分别是所在棱的中点，从这四个点中任取两个点所决定的直线中，与平面ACD1平行的有____条。设正方体棱长为1，P在正方形BB1C1C内，直线A1P//面ACD1，则P点的规迹长度____。变式必做1．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,,M分别是AB,AD,AA1的中点，又P,Q分别在线段A1B1,A1D1上，且A1P=A1Q=x(0x1)，设平面MEF与平面MPQ交于直线l，现有下列结论：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线。其中不成立的结论是______。变式必做2．长方体ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为π，若空间有一条直线l与直线61π，则直线l与平面14π5πB。[ππ5ππD。[0,5πA。[,],]C。[,]]121212212212变式必做 3．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．给出下列四个结论：①存在点E，使得A1C1//平面BED1F；②存在点 E，使得B1D 平面BED1F；2③对于任意的点 E，平面A1C1D 平面BED1F；④对于任意的点 E，四棱锥B1 BED1F的体积均不变.其中，所有正确结论的序号是 ___________．5（按比例找平行关系（线线平行则线面平行））(1)如图，底面是菱形的的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上且PE:ED=2:1，F是棱PC上一点，若BF//平面AEC，则PF:FC=()A.1C.22B.1D.23(方法：见分点找分点，分点生成平行线，异面夹角就出现（各种关系就出现） )(2). 如图，在四棱锥 P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD,AD//BC,AD ⊥DC,AD=DC=PA=2,BC=4.E 为PA的中点，M是棱BC上一点。①当BM为何值时，有 EM//平面PCD。②在①的条件下，求点 P到平面DEM的距离。变式必做1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上．（1）求证：BC平面ACFE；MFE（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？写出结论，并加以证明．DCBA变式必做 2：在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， BAD 60，PA 面ABCD，PA 3，E，F分别为BC，PA的中点.1）求证：BF//面PDE；（2）求二面角 D PE A的大小的正弦值；（3）求点C到面PDE的距离.

PFDAC E B34（面面平行及面面平行的应用）(1).由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（Ⅰ）证明： AO∥平面B1CD1;1（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面 A1EM 平面B1CD1.(2).如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为3的菱形， ABC 60.PA 面ABCD，且PA 3.E为PD中点，F在棱PA上，且AF 1.P（Ⅰ）求证： CE//面BDF；E（Ⅱ）求三棱锥 P BDF的体积.

FADB C变式必做 1：在如图所示的几何体中， D是AC的中点，EF∥DB.I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.变式必做 2：如图斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，点D,D1分别为AC,A1C1上的点。①当A1D1为何值时，BC1//平面AB1D1?D1C1②若平面 BC1D//平面AB1D1,求AD的值。DC4直线、平面垂直及折叠存在性问题1(固定一些量，旋转或变换一些量看原来的位置关系是否满足 )。已知l，m，n为三条不同直线， ， ，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）A.若m//，n//，则m//nB.若m，n，lm，ln，则lC.若l，m//，m//，则m//lD.若m，n//，，则mn变式必做：设a,b,c是空间三条直线，,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是()．．．．A.当c时，若c，则//B.当b,a且c是a在内的射影时，若bc，则abC.当b时，若b，则D.当b且c时，若c//，则b//c2（几何体内的垂直关系及度量）。(1)如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AFPB;②EF⊥PB;③AF⊥PC;④AE⊥面PBC.其中正确的结论序号______。(2)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则PEQ周长的最小值为（）A．22B．10C．11D．23变式必做 1：一个直径 AB 2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线， 在垂线上取一点S，使AS AB，C为半圆上一个动点， N,M分别为A在SC,SB上的射影.当三棱锥S AMN的体积最大时， BAC的余弦值为____.变式必做2：如图正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是CD上的动点，当CF____时，D1E⊥平面AB1F.FD变式必做3：三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与底边AB,AC所成的角均为60.若顶点A1在下底面的投影5恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为 .3（线面角的求法）。正方形 ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，把 AE，AF，EF折起成一个四面体，使C，B，D三点重合，记为P，则直线PA与平面AEF所成角的正弦值是（）.12A.B.3312C.D.44D1C1变式必做1：如图，在正方体ABCD1111中，点O为线段BDABCD

的中A1B1点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成角为 ，则sin

的

P取值范围是( )

D

CO36,1]62222，A．[,1]B．[C．[,]D．[1]33333

A B变式必做2：已知正ABC的顶点A在平面上，顶点B,C在平面的同一侧，D为BC的中点，若ABC在平面上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面所成角的正弦值的范围是（）A.[6,1)B.[6,3)332C.[1,3)D.(1,6]22234(折叠问题，注意哪些量不变才是关键点 ).在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角 B CD A（如图②）。若折叠后A,B两点间的距离为 d，则下列说法正确的是（ ）A．当CD为Rt△ABC的中线时， d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线线时， d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时， d取得最小值D．当D在Rt△ABC的斜边AB上移动时，d为定值变式必做1：6如图，矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＡＢ的中点，将△ＡＤＥ沿直线ＤＥ翻转成△Ａ１ＤＥ。若Ｍ为线段Ａ１Ｃ的中点，则在其翻转过程中，正确的说法是______。|ＢＭ|是定值；②点Ｍ在圆周上运动；③一定存在某个位置，使得ＤＥ⊥Ａ１Ｃ；④ＭＢ//面Ａ１ＤＥ变式必做且PA

2：已知平面四边形 ABCP中，CD 2AB 4．将此平面四边形

D为PA的中点，PA AB，ABCP沿CD折成直二面角 P

CD/DC

/ABB

，，连接

PA、PB，设

PB

中点为

E．（I）证明：平面 PBD 平面PBC；（II）在线段BD上是否存在一点 F，使得EF 平面PBC？若存在，请确定点 F的位置；若不存在，请说明理由．（III）求直线 AB与平面PBC所成角的正弦值．PPD C ED CAA B B5（体积转化与解答题型） 。如图，四棱锥

P

ABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

PA

底面

ABCD

，PA

AB

1,AD

3，点

F

是PB的中点，点

E在边

BC

上移动．（1）当点

E

为

BC

的中点时，试判断

EF

与平面

PAC

的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点

E在BC

边的何处，都有

PE

AF

；（3）求三棱锥

P

AEF

体积的最大值．O变式必做：如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB底面ABCD，且侧