离散型随机变量的分布列、均值与方差

离散型随机变量的分布列、均值与方差1．(2019·嘉兴一中质检)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝()X02aP1p163A.2B．3C．4D．5111解析：选C因为p＝1－6－3＝2，111所以E(X)＝0×6＋2×2＋a×3＝2，解得a＝3，所以()＝(0－2)21(2－2121－3)＝22()＝4，故×＋2)×＋(3－2)×＝1，所以(2623选C.2．(2019·广雅中学期中 )口袋中有 5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)＝()A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6解析：选B易知随机变量X的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P(X＝0)63P(X＝2)＝1＝3＝0.6，P(X＝1)＝3＝0.3，3＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝C5C5C50.5，故选B.3．(2019·衡水中学月考 )已知5件产品中有 2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则(ξ)＝()EA．37B.218C.5D．421解析：选B由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为2，(ξ＝2)＝2＝PA5101123213113133223323323E(ξ)＝2×10＋3×10＋P(ξ＝3)＝A53＝10，P(ξ＝4)＝A54＝10，所以6 74×10＝2.故选B.4．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设 ξ为回答正确1的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝()4A．1B．3C．5D．23解析：选B由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.(ξ＝0)＝1×1×2＝1，(ξ＝1)＝1×1×2＋1×1×2＋1×1×1＝5，(ξ＝2)＝1×1P2236P22322322312P22211111111111151×＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3223223322312612343×12＝3.5．(2019·天津一中月考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为1，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望(ξ)3E为()241266A.81B.81274670C.D.81243解析：选B由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止22125的概率为3＋3＝9.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、 乙在该轮中必是各得一分，此时， 该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．5542042165所以P(ξ＝2)＝9，P(ξ＝4)＝9×9＝81，P(ξ＝6)＝9＝81，所以E(ξ)＝2×9＋20162664×＋6×＝.故选B.8181816．(2019·南安一中期中)设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1＋x2x2＋x3x3＋x4x4＋x5x5＋x1，2，，，的2222概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则()A．D(ξ1)＞D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)＜D(ξ2)2D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关1解析：选A由题意可知E(ξ1)＝5(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，1x1＋x2x2＋x3x3＋x4x4＋x5x5＋x112＋＋2＋＋2＝12345E(ξ)＝52225(x＋x＋x＋x＋x)，期望相等，都设为m，D(ξ1)＝1[(x1－m)2＋⋯＋(x5－m)2]，51x1＋x22x5＋x12，D(ξ＝－m＋⋯＋－m)22510≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，∴D(ξ1)＞D(ξ2)．故选A.7．(2019·湖南名校联考)体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若X的数学期望()＞1.75，则p的取值范围是()pXEXA.0，7B.7，1121211C.0，2D.2，1解析：选C根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P(X＝1)＝p，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)，发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故(＝3)＝(1－)2，则()＝＋2(1－PXpEXppp)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，251依题意有E(X)＞1.75，则p－3p＋3＞1.75，解得p＞2或p＜2，结合p的实际意义，可得11，故选C.0＜p＜，即p∈0，228．(2018·浙江高考 )设0＜p＜1，随机变量 ξ的分布列是ξ 0 1 21－p 1 pP2 2 2则当p在(0,1)内增大时，( )A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小1－p 1 p 1解析：选D 由题意知 E(ξ)＝0× 2 ＋1×2＋2×2＝p＋2，3D(ξ)＝0－p＋12×1－p＋1－p＋12×1＋－p＋12×p2222222121－p12132p＝p＋×2＋p－×2＋－p×2222＝－21121p＋＋＝－p－＋，p4221 1D(ξ)在0，2上递增，在2，1上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．9．(2019·鄂南高中期中 )设随机变量 X的概率分布列为X1234P111m463则P(|X－3|＝1)＝________.1111115解析：由3＋m＋4＋6＝1，解得m＝4，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝4＋6＝12.5答案：1210．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超112小时离开的概率分别为12过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过，；两人4623滑雪时间都不会超过 3小时．求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元，两人都付 0元的概率为 P11 1 14×6＝24，1 2 1两人都付40元的概率为 P2＝2×3＝3，两人都付80元的概率为1 1 1 2 1 1 1P426346241 1 1 5故两人所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝24＋3＋24＝12.4(2)由题设甲、乙所付费用之和为 ξ，ξ可能取值为 0,40,80,120,160 ，则：1 1 1P(ξ＝0)＝4×6＝24，1 2 1 1 1P(ξ＝40)＝×＋×＝，1112115P(ξ＝80)＝4×6＋2×3＋6×4＝12，(ξ＝120)11121＝×＋×＝，P26434P(ξ＝160)111＝4×6＝24.ξ的分布列为：ξ04080120160P1151124412424(ξ)＝0×1＋40×1＋80×5＋120×1＋160×1＝80.E24412424D(ξ)＝(0－2121252180)×24＋(40－80)×4＋(80－80)×12＋(120－80)×4＋(160－21400080)×24＝3.11．(2019·大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单价进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，⋯，6)如表所示.试销单价x/元4567a9产品销量y/件b848380756866已知变量，具有线性负相关关系，且x＝39，y＝480，现有甲、乙、丙三位同iii＝1i＝1学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确，并求出，b的值；a^若由线性回归方程得到的估计数据(xi，yi)中的yi与检测数据(xi，yi)中的yi差的绝对值不超过 1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取 3个，求“理想数据”的个数 ξ的分布列和数学期望．－ 39解：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得， x＝654806.5，y＝6＝80，－将x＝6.5，y＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确，故回归方程为 y＝－4x＋106.6由xi＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，＝16由yi＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.＝1列出估计数据(xi，yi)与检测数据(xi，yi)如表.x456789y908483807568^908682787470y易知有3个“理想数据”，故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.3112912931C3C3C3C3C3C3P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝.故C620C620C620C620ξ的分布列为ξ0123P19912020202019913E(ξ)＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝2.12．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都6不小于40的概率．若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元)，求X的分布列和数学期望 E(X)；②小王打算到甲、 乙两家公司中的一家应聘送餐员， 如果仅从日工资的角度考虑， 请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，32325.则P(M＝3＝C50196(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为 a，当a＝38时，X＝38×6＝228，当a＝39时，X＝39×6＝234，当a＝40时，X＝40×6＝240，当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.所以X