空间角及其计算

第52讲 空间角及其计算1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成的角为(A)A．30°B．45°C．60° D．90°取B1D1的中点E，连接C1E，BE，因为C1E⊥平面BDD1B1，所以∠C1BE即为所求角 θ.22 1因为sinθ＝ ＝，所以θ＝30°，选A.2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B)A．3B．6C．9D．18棱锥的底面对角线长为2×23cos60＝°23，高为23sin60＝°3，设底面边长为a，则2a＝23，所以a＝6，所以底面面积为a2＝6，1所以其体积V＝3×6×3＝6，所以选B.3．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α、β所成的角分别为ππ4和.过A、BA′、B′，若AB＝12，则A′B′＝(B)6分别作两平面交线的垂线，垂足为A.4B．6C．8D．9π连接AB′，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝4，在Rt△BAB′2中，有AB′＝2a.π同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝6，1所以A′A＝2a.因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝221212a－2a＝2a，因为AB＝12，所以A′B′＝6，故选B.5．长为2a的线段AB在平面α内的射影线段A1B1的长为a，则直线AB与平面α所成的角的大小为60°.a1设直线AB与平面α所成的角为θ，则cosθ＝2a＝2，则θ＝60°.6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于36

.如图，O为底面正△ABC的中心，则 OP⊥平面ABC，∠PCO即为所求角，设AB＝1，3则PC＝2，OC＝3，OC 3所以cos∠PCO＝PC＝6.7．(2017天·津卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，AD5故cos∠DAP＝AP＝5.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明：由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于 AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，所以PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得 CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，PD5在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝DF＝5.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.8．(2014·课程卷Ⅱ新)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)2A.10B.52C.10D.2取BC的中点D，连接MN，ND，AD，1由于MN綊2B1C1綊BD，因此ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝ND2＋NA2－AD2因此，cos∠AND＝2ND·NA＝

BM与AN所成的角．5，AD＝ 5，3010.9．已知正四面体A-BCD的棱长为a.(1)AC与平面BCD所成角的余弦值为3；3(2)二面角A-BD-C的平面角的余弦值为1.3设A在底面BCD上的射影为 O，连接OA，连接OC并延长与 BD相交于E，连接AE.(1)因为AO⊥平面BCD，所以∠ACO就是AC与平面BCD所成的角．因为△BCD是正三角形，所以O是△BCD的中心．在Rt△AOC中，OC＝2×3332a＝3a，OC3所以cos∠ACO＝AC＝3.所以AC与平面BCD所成角的余弦值为33.(2)因为四面体 A-BCD为正四面体，所以△BCD和△ABD都为正三角形，所以OE⊥BD且AE⊥BD，所以∠AEO为二面角 A-BD-C的平面角，1×33a3所以OE＝32a＝6，AE＝2a，OE1所以cos∠AEO＝AE＝3.1所以二面角A-BD-C的平面角的余弦值为3.10．如图，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，且PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面 BED⊥平面ABCD；(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值；(3)求二面角 D-PA-B的平面角的余弦值．证明：设AC交BD于O，连接OE，因为O是AC的中点，E是PA的中点，所以OE∥PC，又PC⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，因为OE?平面BED，所以平面 BED⊥平面ABCD.(2)连接OP，因为ABCD是菱形，所以 BD⊥AC，又PC⊥平面ABCD，所以BD⊥PC，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC，所以OP是BP在平面PAC上的射影，所以∠BPO即为所求角．在Rt△BPO中，OB＝32a，PB＝2a，OB6所以sin∠BPO＝PB＝4.所以PB与平面PAC所成角的正弦值为64.(3)过D作DF⊥PA于F，连接BF，由(2)知BD⊥PA，DF∩BD＝D，所以PA⊥平面BFD，BF?平面BFD，所以PA⊥BF，所以∠DFB即是所求二面角的平面角．在△DFB中，可考虑用余弦定理求∠ DFB.因为PD＝PA＝ 2a，取AD的中点G，连接PG，则P