空间点线面之间的位置关系

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．2.平面的表示方法：一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的 2倍长，如右图．两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形语言 符号语言A aA aAAaIb AaaIaI A

文字语言（读法）点A在直线a上点A不在直线a上点A在平面点A不在平面直线a、b交于A点直线a在平面直线a与平面 无公共点直线a与平面 交于点AI l 平面 、 相交于直线 l二、平面的基本性质公理1如果一条直线的两点在一个平面，那么这条直线在这个平面A推理模式：

AB

． 如图示：B或者：∵

A

,B

，∴

AB公理1的作用：①判定直线是否在平面；②判定点是否在平面；③检验面是否是平面．公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A,B,C不共线推理模式：

A,B,CA,B,C

与 重合或者：∵

A,B,C

不共线，∴存在唯一的平面

，使得

A,B,C

.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件， 是判断两个平面重合的依据， 是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．2.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 ,有且只有一条过该点的公共直线A推理模式：

A l

I

如图示：A或者：∵

A

,A

，∴

I

l,A

l公理3的作用：判断两个平面是否相交及交线位置；判断点是否在线上、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面，又在第二个平面。、证明空间三线共点可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证明另两条直线的交点在此直线上。、证明空间几点共面问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面三、空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面有且只有一个公共点平行直线在同一平面没有公共点异面直线不同在任何一个平面没有公共点四、平行直线公理4平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式： a//b,b//c a//c．(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．五、异面直线定义：不在任何一个平面的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面的两条直线为异面直线(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．3．异面直线判定定理过平面一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过该点的直线是异面直线lA推理模式： 直线AB与直线l是异面直线BB L六、异面直线所成的角1.定义：已知

a，b是两条异面直线，经过空间任意一点

O作直线

a//a,b//b，我们把直线

a和b

所成的锐角（或直角）叫做异面直线

a，b所成的角．(1)异面直线所成的角与 O点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作 a b．(3)异面直线所成角的围是 0, ．2求异面直线所成角的步骤1）恰当选点，由平移构造出一个交角；2）证平行关系成立；3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．七、直线、平面的位置关系1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面：如果一条直线 a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面，记作a?α.(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.2.两个平面的位置关系有且只有一下两种：(1)两个平面平行 ---没有交点(2)两个平面相交 ---有一条公共直线3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．一、直线与平面的位置关系位置关系 交点个数 图形语言 符号语言直线在平面 无数个 a直线与平面相交 只有一个

aI A直线在平面外直线与平面平行 没有 a//二、直线和平面平行1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．a推理模式：b a//a//b特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线面平行．3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．”3.性质定理如果一条直线和一个平面平行，行．

经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线就和交线平a//推理模式

a

a//bI

b特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可． 2、该定理的作用：证明线线平行．3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．”三、平面和平面的位置关系位置关系公共点

两平面平行没有公共点

两平面相交有一条公共直线符号表示

//

I

a图形表示四、平面与平面平行1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．2.两平面平行的判定定理如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a

,a//推理模式：

b

,b//

//

．简言之：线面平行

面面平行aIb

A推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行．3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//推理模式： I a a//b．简言之：面面平行 线线平行I b特别说明：平面与平面平行的其它性质1）两个平面平行，其中一个平面的任何一条直线必平行于另一个平面．2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 并且交角为直角， 则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线 (AB)和一个平面(α)相交于点 O，并且和这个平面过点 O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段