结构力学 力法(2)课件

§10.6对称结构(symmetricalstructure)的计算对称结构是几何形状、支座、刚度都对称.EIEIEI1、结构的对称性：对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷载的对称性：对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。反对称荷载——绕对称轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴EIEI对称轴↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反对称荷载对称轴↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1对称荷载任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。PP1P2一般荷载aP/2FF对称荷载aaP/2WW反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F3、利用对称性简化计算：1）取对称的基本体系(荷载任意，仅用于力法)PP2一般荷载X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降阶如果荷载对称，MP对称，Δ3P=0，X3=0；如果荷载反对称，MP反对称，Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。EIEIEI①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移，内力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代结构PPC对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCuc=0vc=0P等代结构NCNCMC2）取等代结构计算(对称或反对称荷载，适用于各种计算方法)c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。PPC2EIEIEIEI②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

a）位于对称轴上的截面的位移，

内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m103.581135MKkN·m198198103.581135kNm396207等代结构对称结构对称（或反对称）荷载作用时的计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/mPPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图作图示刚架的弯矩图。EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=úûùêëé··+····=dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN

0.08Pl0.014Pl0.028Pl0.014Pl0.094Pl0.094PlPll/2l/2lAB对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基本体系，对称和反对称的未知力计算，可将荷载分为对称和反对称两组，按等代结构计算两个问题，再叠加最后弯矩图。P/2ABP/2P/2EIEIEIP/2AEIEI/20.014PlP/2ABP/20.027Pl0.108Pl对称结构对称荷载作用下中柱无弯矩无剪力。Z1Z2X2X2PAB对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基本体系，对称和反对称的未知力计算，也可将处于对称位置的未知力分解为对称和反对称两组，力法方程也就解偶为两组，一组只包含对称未知力，一组只包含反对称未知力，一次计算出最后弯矩图。X1X13）组合未知力(仅适用于力法)Pll/2l/2lABEIEIEI0.107Pl0.080Pl0.027Pl0.197PlM图Pll/2l/2lPZ1Z2X1X1X2X2X1=1X1=1lX2=1X2=1ll2lPPl/28kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1=133X2=13333用力法计算作图示结构的弯矩图。184.54.59M图(kN.m)X2X136对称结构非对称荷载作用时的处理方法：

①在对称轴上解除多余约束，取对称和反对称未知力直接计算。②将荷载分为对称和反对称两组，选等代结构计算，再叠加。集中结点力作用时常这样处理。③在对称位置解除约束，将多余未知力分为对称和反对称未知力两组。无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。－PM=02）一集中力沿一柱轴作用，只有该柱有轴力.－PM=0M=03）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPPEI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。M=0－P/2P/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+41626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁强柱k很大强梁弱柱4Ph41920Phk=3荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。lIhIk12=例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零反对称荷载作用取等代结构如下1、取基本结构；2、力法方程：=+P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基本体系X1=1X1MP3、绘求系数自由项4、解方程：5、按绘弯矩图。1512715127M图a§10-7超静定拱的计算方法16m3mX1d111HPD-=jcos1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò21dsEAN+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M0X1=1xyX1=1由于拱是曲杆δ11Δ1P不能用图乘法基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只考虑弯曲变形，计算δ11时，有时（在平拱中）还要考虑轴向变形jjcossin0HQN--=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，内力的计算与三铰拱相同即：三铰拱中：两铰拱中：d111HPD-=MP=M000＝≠E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M0ò=DdsEIMMPP11òò+=dsEANdsEIM212111d落地式拱带拉杆的拱作为屋盖结构如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际一简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适当的加大拉杆的刚度。H*=1例：EI=常数，求H。拱轴线方程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓qql81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<<qxqlxM221830-=fqlHP162111=D-=d()EIlfdxxlxlfEIøöçèæ-=òddxyMdxyEIlpl10010211-=D=òòd解:简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取ds=dx,cos=1(平拱,f/l<0.2)。∴(0<x<0.5l)ql642ql642Mxx上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。M=M0－Hyql162M0－Hy例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1对称荷载下，取三铰拱为基本体系，其MP=0∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而M=M对称=0基本体系＝＋在反对称荷载下，对称未知力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1M反对称=M1X1+MP=MP=M0-Hy而H==0＝＝↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ql642ql642M0=M0＝M反对称MP对称无铰拱的计算P1P2P1P2CC1OO1P1P2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1对称的基本体系=oyxjcos2-=-=N2yM001111===QNMd21212112++=òòòdsEANNdsGAQQkdsEIMMX1=1引起：X2=1引起：=0òò+¢-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay¢òò¢=dsEIdsEIya1δ12=δ21=0→x’O点的物理含义：jsin2-=-=N2xMX3=1引起：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP3331/EIaòò¢=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘弹性中心O刚臂的端点O就是弹性面积的形心，叫弹性中心。例题10-3等截面圆弧无铰拱求内力。l=10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0

R=6.25mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027.0855.1132222211121====¢-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39.5cossin=¢==+=¢=òòjj三铰拱的水平推力505.2810108220=··===¢kNfqlfMHC350507.51=-=¢¢-HHH%qqRdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223.0224.024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXHBA.98.6)cos(.76.2)(7.510212102=-+===--===jkNqRXmkNqRXPP7.51827.0.1.47121.0222221111==D-===D-=ddpΦ0Φ0RRDOΦX1X2X3合理拱轴线M=0，Q=0，N=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR例10-4求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。解：1）忽略轴向变形，取三铰拱为基本体系。Δ1P=0Δ2P=0Δ3P=0无铰拱和三铰拱均处于无弯矩状态pRpRpR=2）考虑轴向变形，用弹性中心法计算将精确的内力状态分为：X1X2X2yxcos012211-====jN-yMNM①不计轴向变形产生无弯矩状态②单由轴向变形产生的附加内力状态以无弯矩状态作基本体系cos0221.==D=DòòjPPPdsEApRdsEANNMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR基本体系cos22+=òòjdsEAEIdsy222222+=òòdEAdsNEIdsM如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产生不大的弯矩，接近无弯矩状态。X2X2§10.9温度改变、支座移动时超静定结构的内力由于超静定结构由多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。1、温度内力的计算（仅自由项计算不同）例9-6图示刚架施工时的温度为15°C，使用期间（冬季）温度如图。求温度变化产生的内力。EI=常数。－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mδ11X1+Δ1t=001523515t--=)35(15t--=D50C=o1111XNNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94.2N=－15.74M&N×αEIX1基本体系+15°+15°+15°－35°－35°－35°ååD±Δit=MNhttwawa0X1X1=166=－25°Ct0C2t0C2t0C2t0C2t0C图示封闭框温度变化如图，画出弯矩图的大致形状。2t0C2t0C2t0C2t0C2t0C－t0C2、支座移动时的计算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系数计算同前；自由项ΔiC=－∑R·cc是基本体系支座位移。所以，基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比。支座移动时的力法计算特点：1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位移）。用力法求解单跨超静定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddúûùêëéD-+=úûùêëéD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X1θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22-=qC232=DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM

当杆件两端为刚结或固定，且无相对侧移时，可在一端及距该端2/3处加铰选基本体系，可使相应付系数等零。§10.10超静定结构位移计算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本体系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0当{原结构与基本体系受力和变形相同=36=－13.5求原结构的位移就归结求基本体系的位移。X=16MCDDD求ΔDH16=——（2×6×135－6×81）

EI61134=——EI虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，计算结果相同。例：ΔGVGG13M6×1.581729=－———·—=－——2EI24EI11.5超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算c1c2MNQMNQRP=1MNQt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0å-cR综合影响下的位移计算公式aEIlM例9-7求例9-5中超静定梁跨中挠度。P=1l/41/2P=1l/2l/2求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。cEI,l,t0,ΔtP=1①②而：T12=W12Δc=－∑R*×c3Pl/16P=1aEIl例：求超静定梁跨中挠度。5P/16例：求超静定结构，各杆EI为常数，截面为矩形，h=0.1l，求A点水平位移。ll/2l/215°15°15°25°AP=11/21/2l/2l/2P=1－1/2＋1－1例：求超静定结构，各杆EI为常数截面为矩形，h=0.1l，求C点竖向位移。ll/2l/215°15°15°25°CP=1P=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：在原超静定结构上虚拟单位荷载，并用力法求得其弯矩图和轴力图。1）重视校核工作，培养校核习惯。2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。3）计算书要整洁易懂，层次分明。4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。力法校核1）阶段校核：①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否几何不变。②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。§10.11超静定结构计算的校核2）最后内力图总校核：a）平衡条件校核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－Q图（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3N图（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200－22.5=0力法基本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，(荷载作用下)Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0将它们展开得到力法方程Δi=∑δijXj+Δ

iP=0i，j=1，2，……n其中：2)变形条件的校核+=åòòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=òåPjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+åiPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP这样，荷载作用下，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。变形条件的一般校核方法是：任选一基本体系，任选一多余未知力，由最后内力图计算出Xi方向的位移，并检查是否与原结构对应位移相等。4m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M图（kN.m)BAXA=144200