误差及分析复习

考试安排时间4月16日周三9：30～11：30地点：教1-009考试题型

填空

选择(单选、多选）

计算题考试方式：开卷，独立完成带计算器

课程内容要点：什么是误差、相对误差、（仪表）引用误差、实验（样本）标准差、偏移？什么是准确度、正确度、精密度、重复性、再现性、稳定性？三类误差性质的特征有什么异同?如何分析测量随机误差?如何分析系统误差、粗大误差是否显著存在?函数误差、误差分配、微小误差取舍、最佳测量方案的确定单次测量的标准差与算术平均值的标准差是什么关系?怎么理解标准差的标准差?标准差有哪几种常用的统计公式?常用的误差分布，服从常用误差分布的可能情形。权的概念，权的确定方法，权与方差的关系，加权算术平均值及其标准差。什么是测量不确定度？如何评定两类标准（差）不确定度?如何估计他们的自由度?如何分析测量不确定度的来源?如何求得合成测量不确定度及其有效自由度?如何确定扩展不确定度的包含因子?如何合理表示测量结果?什么是最小二乘法？一元线性回归的基本概念、回归系数的计算推导、回归系数的不确定度的公式推导、回归值的不确定度公式推导偏差平方和的分解：总偏差平方和、回归平方和、残余平方和回归效果的检验典型例题常用的计算公式名称说明公式误差误差的定义绝对误差相对误差引用误差最大绝对误差最大相对误差三类不同性质的误差随机误差算术平均值实验标准差算术平均值的标准差权的确定粗大误差3σ准则格拉布斯(Grubbs)准则狄克逊(Dixon)准则常用的计算公式名称说明公式系统误差系统误差的定义统计检验恒定系统误差组间t检验线性系统误差周期系统误差函数误差函数系统误差函数随机误差名称符号说明公式A类评定方法标准不确定度s(xi)(单次测量)实验标准差平均值实验标准差uA测量结果标准不确定度B类评定方法标准不确定度uB已知扩展不确定度U和包含因子k已知扩展不确定度Up和置信概率p及包含因子kp或有效自由度eff及tp()已知区间半宽度a和相应的先验概率分布的包含因子k测量不确定度评定的有关公式总结名称符号说明公式合成标准不确定度uc(y)直接测量各标准不确定度分量ui(x)(包括输入量和影响量)一般都互不相关间接测量y=f(x1,x2,…,xn)不确定度传播率各标准不确定度分量ui互不相关（r(xi,xj)0）。当y/xi=1或1时各标准不确定度分量ui正相关（r(xi,xj)

1）。当y/xi=1时简化形式y＝c1x1c2x2…cnxn各标准不确定度分量ui互不相关，

系数ci=1或1各分量ui互不相关，c是常数，pi可以是正数、负数、分数扩展不确定度U不评定自由度，取k2~3Ukuc(y)Up评定有效自由度，kptp(eff)Upkpuc(y)=tp(eff)uc(y)误差的定义及表示法

绝对误差：测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。绝对误差＝测得值－真值修正值：实际工作中常用修正值。为消除（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。修正值≈真值(约定真值）－测得值测量结果(≈真值)＝测得值＋修正值一、误差的基本概念相对误差

测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。

GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值）。（1）无单位（无名数），通常以％或×10-d表示（2）通常可比较不同测量的质量如何。引用误差(fiducialerror)

式中引用值xm通常指全量程或量程上限，示值误差Δxm是该量程范围内任一刻度点的示值的绝对误差中的最大值。二、误差的分类按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类：

1．系统误差定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。特征：在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为:

（1）定值系统误差：即误差的大小和方向为固定值。（2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化值。为减少系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。

averageofreplicateindicationsminusareferencequantityvalue———VIM,3rdedition,JCGM200:2008指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。

偏移或偏畸（biasofameasuringinstrument）测量偏移measurementbiasestimateofasystematicmeasurementerror系统误差的估计值用标准器具（物质）检定恒定系统误差2、构造统计量3、在给定显著水平下，查分布表的临界值4、作出决策。若，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。5、加修正值。对测得值加一个修正值，即1、计算均值，按贝塞尔公式计算标准差变值系统误差的发现方法之一：残差观察法

将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加。当n为偶数时，取，n为奇数时，取和检验法（检验显著递增和递减误差）前半残差和后半残差和引入统计量若存在显著的线性变化或递增、递减系统误差。记序差序差平方和残差平方和（突出分散性）引入统计量若则存在显著的周期性变化系统误差。小样本序差法：用于发现周期性系统误差

两组算术平均值之间是否存在系统误差的差值与标准差比较法：对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，两算术平均值之差的方差为：两组算术平均值之差为：两组数据统计量给定显著水平，若，则与有显著差别，即存在系统误差；反之则无根据怀疑两组间有系统误差。组间t检验法（组数m=2，正态）系统误差的减小与消除恒定系统误差

替代法

交换法

抵消法

线性系统误差周期性系统误差对称补偿法半周期法补偿和减少系统误差的途径有：（1）从误差根源上消除；（2）在测量过程中采取一定措施避免系统误差引入测量结果。

单次测量的标准[偏]差：算术平均值的标准[偏]差：2、随机误差不等权测量：

权的概念应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重小一些。各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈高，应给予的“权”应愈大。加权算术平均值:

对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果

设m个测量结果各自相应的权为pi，

则加权算术平均值为：测量准确度（accuracyofmeasurement）

表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。

就误差分析而言，准确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差大，则准确度低，误差小，则准确度高。

国际“通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解：①不要使用“precision”来表示准确度。②准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合××标准的说法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg，≤16mg等方式表示。附：测量仪器的准确度定义为：测量仪器给出接近于真值的能力。当只考虑系统误差的大小时，准确度称为正确度。正确度（correctness，measurementtrueness）表示对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值与真值之间的一致程度closenessofagreementbetweentheaverageofaninfinitenumberofreplicatemeasuredquantityvaluesandareferencequantityvalue只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。精密度（precision）表示在给定条件下对同一或类似被测量进行多次测量所得的示值或测量值之间的一致性closenessofagreementbetweenindicationsormeasuredquantityvaluesobtainedbyreplicatemeasurementsonthesameorsimilarobjectsunderspecifiedconditions测量精密度通常在数值上表示成不精密度，如标准偏差，方差等“给定条件”可以是，比如，测量重复性条件，测量复现性条件等精密度可以用来定义测量重复性，测量复现性重复性（repeatability）

在重复性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。重复性条件相同的测量程序，相同的观测者，在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的地点，在短时间内重复测量复现性（reproducibility）

在复现性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。复现性条件不同的测量程序或不同的观测者或不同的测量仪器或不同的地点指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。

稳定性（stabilityofameasuringinstrument）3、异常值（粗大误差）明显歪曲测量结果的误差称为异常值（粗大误差），也叫过失误差或疏忽误差。我国在GB4883－85中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：

1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。

2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。三种粗大误差判断准则：（1）3准则（莱以达准则）当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值

|v|＞3σ时，则剔除此数据。（2）格拉布斯（Grubbs)准则。

设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，…，xn，其测量标准偏差为s(x),

对其中的一个可疑数据xd,,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。

函数误差间接测量的概念直接测量——无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。例如：用游标卡尺直接测量零件直径。(2)间接测量——实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。例如:用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h，通过函数计算来求圆柱体体积V。一、函数系统误差计算

设间接测量中间接测量值y是各个直接测量量xi的多元函数，其表达式为

式中：－间接测量值－各个直接测量值。可近似得到函数的系统误差为：二、函数随机误差的计算：对于函数的随机误差,当各测量值的随机误差相互独立时，函数随机误差的计算式为：

当各测量值的随机误差相互不独立，即相互间相关时，函数随机误差计算的普遍式为：其中相关系数为：测量不确定度不确定度定义：

不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量的值的分散性。测量误差测量不确定度1测量值与真值之差，表明测量结果偏离真值的量表明测量值的分散性2由于真值不可知，往往不能准确得到。可以根据实验，或者资料、经验等进行评定，从而可定量确定。3是有正负号的量值无正负符号的参数4已知系统误差的估计值时，可以对测量值进行修正。对变值系统误差无法处理。不能用不确定度对测量结果进行修正。无系统不确定度或随机不确定度提法。不确定度的分类：

标准不确定度：用标准偏差表示的不确定度。

A类标准不确定度：用统计方法评定出的不确定度

B类标准不确定度：用非统计方法评定出的不确定度合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到标准不确定度的A类评定：

(一）定义：用统计方法评定出的不确定度。

(二）符号：用符号u表示，有多个分量时用ui表示(三）评定方法：测量不确定度的B类评定影响被测量之值可能变化的全部信息概率分布类型区间半宽度引用误差

示值误差仪器分辨力仪器的滞后舍入误差

仪器基本误差合成标准不确定度的评定：

若不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按A类评定或B类评定方法来确定各不确定度分量ui的值，然后求得合成标准不确定度为：对于间接测量的情况，Y=F(X1,X2,……Xm)时，有如下

的合成标准不确定度公式：式中：

uc(y)——输出量估计值y的合成标准不确定度

u(xi),u(xj)——输入量估计值xi和xj

的标准不确定度函数F(X1,X2,…）在(x1,x2,…,xm)处的偏导数，称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)处的相关系数当第ｉ和第j个输入量xi

和

xj

相互间均独立时ρij＝0,这时间接测量的标准不确定度传播公式可简化为：扩展不确定度的评定：扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以一个包含因子k得到（k一般在2～3范围内选取）。符号：用符号U,Up表示。记为：U=k*uc

或：Up=k*uc

包含因子k的确定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的类型确定。1）一般测量时，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。2）重要的测量，或测量次数较小时，k由t分布确定：

包含因子k（t分布时常用符号t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν从t分布表查出。自由度概念：概念：对应n个变量,m个独立的线性约束条件，那么n个变量中独立变量的个数仅为n－m，则称平方和∑vi2

的自由度为n－m。用符号ν来表示，记为ν＝n－m。自由度的意义：当测量次数n不同时，计算出的标准偏差自身的可信赖程度不同。例如测量次数n大时，自由度值大，可信赖程度高。自由度所包含的意义就是代表标准偏差自身的不确定度的大小。自由度的评定：1、A类标准不确定度的自由度的评定：

贝塞尔公式计算的n次测值的标准偏差

s(x)的自由度ν＝n－1。算术平均值的标准偏差的自由度仍然是n-1，因为自由度ν表示的是不确定度自身的不确定度的大小2、B类标准不确定度的自由度的评定：

对于B类标准不确定度，其自由度一般通过不确定度（或标准偏差）自身的相对不确定度来折算，不确定度（或标准偏差）自身的相对不确定度由资料等先验信息给出。）

折算公式为：合成标准不确定度的自由度：

当各不确定度分量ui的自由度均已知时，合成标准不确定度uc的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同。１、合成标准不确定度表示方式

某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度(1)，或，(2)(3)括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样2、扩展不确定度表示方式

某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度包含因子，扩展不确定度或或或包含因子或或扩展不确定度表示方式

扩展不确定度三、数字位数与数据修约规则

在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则(1)最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。多余部分推荐：当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”；0.001101

0.0012

0.0010010.001

0.0013340.002

多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原则进行舍弃截断或进位截断。(2)被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的数据要与不确定度数值的位数对齐被测量的估计值已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000540.001220.000520.000560.001220.000620.000550.001220.0006四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约在最终表示测量结果的场合，规范和完整的表示方式有以下两种：（1）扩展不确定度表示方式：测量结果=最佳估计值±测不准部分（单位）（置信水平，自由度）（2）合成标准不确定表示方式：测量结果=最佳估计值（测不准部分）（单位）（自由度）测量结果的最终表示测量数据处理的完整步骤思考与练习题1-1车间计量室温度(203)C，相对湿度(605)%，某检验员用一把游标卡尺测量某轴形工件直径，重复测量3次的数据为15.125，15.124，15.127mm。试分析该测量问题的测量要素?若另一检验员用另一把游标卡尺测量同一轴形工件直径，重复测量3次的测量数据为15.125，15.137，15.115mm，测量结果产生变化的主要因素可能是什么?试答该工件直径的测量结果及测量误差应如何表示？1-2用标准测力机检定材料试验机，若材料试验机的示值为5.000MN,标准测力仪输出力值为4.980MN,试问材料机在5.000MN检定点的示值误差、示值的相对误差各为多少？1-4某待测的电压约为86V，现有0.5级0—300V和1.0级0—100V两个电压表，问用哪一个电压表测量较好？1-8检定一只5mA、2.5级电流表的满度值误差。按规定，引入修正值后使所用的标准仪器产生的误差不大于受检仪器容许误差的1/3。现有下列几只标准电流表，问选用哪一只最合适，为什么？（1）10mA0.5级（2）10mA0.2级（3）15mA0.2级（4）5mA0.5级检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为全量程最大误差，问该电压表是否合格？5-10对某量进行两组等权测量，其数据如下：甲组：25.94，25.97，26.03，25.98，26.0426.02，26.04，25.98，25.96，26.07乙组：25.93，25.94，26.02，25.98，26.0125.90，25.93，26.04，25.94，26.02(1)试用残差统计法判断各组中是否有系统误差；(2)假设各组无系统误差，试用t检验法检查两族之间是否有系统误差（）。5-11为检验某种测量锌含量的方法是否存在系统误差，用含锌量25.04%的标准物质作样品，重复测30次，得平均测值25.22%，标准差0.46%，试判断有无系统误差（）。现用此法测得某试样的平均值27.19%，试修正该试样的分析结果。网络答疑：Email：bitzhtg@►正态分布：1)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；2)被测量量Y用扩展不确定度Up给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布；3)被测量Y的合成标准不确定度中，相互独立的分量较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布；4)被测量Y的合成标准不确定度中，相互独立的分量中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；5)被测量Y的合成标准不确定度的相互独立的分量中，量值较大的分量（起着决定作用的分布）接近正态分布时。

►矩型（均匀）分布：1)数据修约导致的不确定度；2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确定度；3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；5)用上、下界给出的线膨胀系数；6)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；7)平衡指示器调零不准导致的不确定度。►三角分布：1)相同修约间隔给出的两独立两之和或差，由修约导致的不确定度；2)因分辨率引起的两次测量结果之和或差的不确定度；3)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；4)两相同均匀分布的合成。►反正弦分布（U型分布）：1)度盘偏心引起的测角不确定度；2)正弦振动引起的位移不确定度；3)无线电中失配引起的不确定度；4)随时间正余弦变化的温度不确定度。矩阵最小二乘法解题步骤：线性部分反映了由于的变化而引起的变化由实验获得两个变量和的一组样本数据，，…，，构造如下一元线性回归模型一元线性回归模型的数学形式

模型中，是的线性函数部分加上误差项误差项是随机变量反映了除和之间的线性关系之外的随机因素对的影响是不能由和之间的线性关系所解释的变异性和称为模型的参数1、误差项是一个期望值为０的随机变量，即。对于一个给定的值，的期望值为2、对所有的值，的方差都相同3、误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即独立性意味着对于一个特定的值，它所对应的与其它值所对应的不相关对于一个特定的值，它所对应的值与其它值所对应的不相关一元线性回归模型基本假定

1、总体回归参数和是未知的，必须利用样本数据去估计他们2、用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，这时就得到了经验的回归方程3、一元线性回归的经验的回归方程是回归直线在轴上的截距是直线的斜率，它表示对于给定的的值，是的估计值，也表示当每变动一个单位时，的平均变动值经验的回归方程设得到的回归方程残差方程为根据最小二乘原理可求得回归系数和。对照最小二乘法的矩阵形式，令回归参数的最小二乘估计则误差方程的矩阵形式为对照，设测得值的精度相等，则有将测得值分别代入上式，可计算得由于相互独立，自由度计算公式在总的偏离中除了对线性影响之外的其它因素而引起变化的大小在总的偏差中因和的线性关系而引起变化的大小总偏差平方和回归平方和残余平方和意义反映因变量的n个观测值与其均值的总偏差三个平方和的意义定义回归方程的显著性检验-F检验法对一元线性回归，有3、根据给定的显著性水平，从F分布表中查取临界值。4、比较计算得到的F值和查得的值。若则回归效果显著，否则效果不显著。1、提出假设

线性关系不显著2、计算检验统计量估计残余标准误差5、残余标准差的计算公式1、表征除了与线性关系之外其它因素影响值偏离的大小2、反映实际观测值在回归直线周围的分散状况3、从另一个角度说明了回归直线的拟合程度4、残余方差的计算公式回归方程的稳定性

1、回归值的波动大小，波动愈小，回归方程的稳定性愈好。

2、回归值的波动大小的计算公式标准不确定度来表示。回归值的波动大小不仅与剩余标准差s有关，而且还取决于试验次数n及自变量取值范围。

基本思想

误差分配

由给定测量结果允许的总误差，合理确定各单项误差。假设各误差因素互不相关，有给定，如何确定，满足一、按等影响原则分配误差

等影响原则

各分项误差对函数误差的影响相等，即可得到极限误差表示

函数的总极限误差

各单项误差的极限误差二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对另一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。三、验算调整后的总误差

误差先按等影响原则初步确定，再经过合理调整后，按误差合成公式计算，若总误差超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。例【解】测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式求得体积，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径及高