数列通项公式求法集锦

数列通项公式的求法集形如anan1f

(n=2、3、4…...)f(1f(2f(n1例 在数列{

a1=anan1n

(n=2、3、4……)，求

aa a4a3anan1n

n-ana112（n-1=

n(n1)故an

n(n1)

a1

n2n2

a11an

n2n2

(nN例2．在数列{ 中，a=， a2n(nN),求a n2时,a2a1 aa 解：n=时

a4

n-

a ana12

...

1

22，故an

2a1

1且a11na2nn

nN)形如an

f

3．在数列ana1=an1nananan1

n=、2、3……(nn-a2.a3.

(n1)!故

(na1a2

aa0!=a

(n

(nN 满足a=2，

naa

n1 an1

n1

n=，2，3，….(n上式得n-个等式累乘，即a2.a3.a4......an=12 na1a2

1an1，又因为a2也满足该式，所以a21

原数列

anan1banc或an1banfnn=bacnb、cfnn 满足a=

=2a

解：构造新数列anpp为常数，使之成为公比是an2an1p2(an

an12anp使之满足an12an

即a1是首项为a1=2，q=2的等比数列∴a1=2 a=2n 例6 理2）设数列{ 的首项a(0,1)，a=3an1，n=2、3、 （）求an解：构造新数列

p，使之成为q12即ap=1 整理得：a=1 3p满足a=3 2 得3p= ∴p=- 即新数列a1首项为a1，q1 等比数 2例7（07理22）已知数列{ 中，a=2， =2

1)(a

nN（）求

222解：构造新数列anp，使之成为q 1的等比数22222222an1p=22222

1)(an

整理得an1=

1)an+

2)使之满足已知条件

an1=

1)an+2

1)∴

2)p

1)解得22222p 22222

2是首项为2

q 12an =(22

2)

∴an=

1)n 中，a=， =2a3n，求数列的通项公式 新数列{a3n}，其中为常数，使之为公比是a n解：构造数列{a3n}0q=2n 即 3n1=2(a3n 整理得： =2a(23n 满足 =2a

23n3n1

1新数列{a3n是首项为na31=2，q=2的等比数列∴a3n=2 ∴a=3nn 例9（07文20）在数列{

a1=2an14an3n

，求数列的通项an解：构造新数列{ann}q=4的等比数列，则an1(n14(an整理得：an1=4an3nan1=4an3n13n3n1n1∴新数列{ann的首项为a111，q=4nn∴ann

∴a4n122 数列{an既不等差，也不等比，递推关系式形如 ba f(n) n同除以bn1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出an（07 满足a 2n1(n2)且a81。求(1)a a、 (2)是否存在一个实数，使此数列{an}为等差数列？若存在求出的值 an解：(1)由a=2a24 得a=33；又∵a=2a231=33得a=3 a2a221=3a (2假设存在一个实数，使此数列{ana

a

2n1

1即 n1 =n =

=1 {an

a1∴

}为首

2，d=∴an1=2+(n1)1 ∴a=(n1)2n 例、数列{ 满足 =2a(2)n1(nN)，首项为a2，求数列{ 的项公式。解：a

两边同除以(2)n1

∴数列

}

=，d=

=+(n1)1nan例2．数列{ 中，a=5，且

3n

4……

{an，anan1 整理得a 3nd+3，让该式满足a 3n1∴取d a2

1

{an

2

2

a故 23(n1)1n

∴a=(n1)3n 例3（07理2在数列{

n1(2

（nN 其中＞0，(求数列

an

2n1解 的底数与an的系数相同，则两边除

n

a

a

a即 n 1∴{n }是首项为 0，公差d=的等差数a

列 ∴ 0(n1)n1

∴

n1)n2n两边同除以anan1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出an。n例4、已知数列{ ，an

1，

nN，求a 1 解：把原式变形得

a

两边同除以a

11

n

n∴1是首项为1，d=111n1)(1na1 n 例5（06江西理22）已知数列{ 满足a3，且a

（n2nN(求数列

n解：把原式变形成2anan1(n1)an 两边同除以anan1n1n1

⑴构造新数列n}q=1 3 列

n1n1

n12

满足⑴式使2

∴

∴数列n1}

1

1

1

n 1 (a

(

an 3 3（06 满足：a3，且2an1

a 2a

nnnN求数列n

解：把原式变形为2an1ananan1(2anan1 两边同除以anan1a

2an

a

an12(

an 所以新数列{aan}是首项为aa133 q=2的等比数列 故1a1 解关于a的方程得a1(2n1

22n29)a33 a33n六．利用公式anSnSn1(n2有些数列给出{

的前nSnan的关系式Sn

f(an)，利用该式写出Sn1f(an1，两式做差，再利用an1Sn1Snan1与an的递推式，从而求出an7.(072题)已知各项均为正数的数列ann项和为SnS1＞16Sn(a1)(a2)n∈N求{ 的通项公式 解：由aS1(a1)(a2)解得a=a=2，由已知

S＞1，因此a=2

S=1

2)1(a

2)

(an1an)(an1an3) ∵an＞0∴an1an从而

的通项为an=2+3(n3n例8.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{ 的前k项和为S，且S=1a

kN)其中a=，求数列{

2kk 解：当k=时，aS=1aa及a=得a 当k≥2时 21 aS

=1a

1

a

)=2a∵a≠0∴

k

2kk

2k1

k

k

k

k 从而a2m1=+(m- =2+(m-)2=2m(m∈N 故a (k∈ 例9.(07福建文2)数列{ 的前n项和为S，a=，

(n∈N),求{ 的n

解：由a=a2S=2n≥2aS

=1 a)得an1=3，因此{

n n首项为a=2，q=3的等比数列。故a23n2(n≥2),而a= 所以an

(n例20.(06Ⅰ理22)该数列{ 的前n项和

4a12n1

(n=、2、3……)nan

3

4a12n12(n=、2、3……)…①得aS=4a14 3 3 所以a 再

=4 12n

（n=2、

将①和②相减得：a=S =4(a )1(2n12n 整理得a2n 2n1)（n=23…）因而数列{a2n是首项为a24 的等比数列。即a2n44n14n，因而a4n2n。 有时数列

和

an与bn关于an和bn的方程组，然后解新方程组求得an和bn

2（072题

n满足a=2，b=

（n2）,求数列

，{

解析：两式相加得anbnan1bn1

则an

是首项为a1b13，d=2列，故anbn=3+2(n-) (而两式相减得

b=1

1

=1

则a

是首项为

b=，q=

1

的等比数列，故anbn

anbn2n联立()、(2)

由此得

n11n，

n11nab

1

(( (( (2)

例22.在数列{ { 中a=2，b=且an12an6bn（n∈N求数列{ 和{

bn1anan1与bn1做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{an0

则

=

7b)=(2

+(7

=(2

76b

令76得=2或=3则ab为首项ab，q=+2 即=2时，a2b4，q=4的等比数列，故a2b=4×4n14n =3时，{a 是首项为5，q=5的等比数列，故a

=5×5n1= 联立二式

n

解得a34n25nb5n4n

n

22解：构造新数列anbnab=(31

+(13

+(1)=3

13

3

n1令13得=或1即=时，新数列a

b=

3

∴（anbn）(an1bn1)

新数列an

是首项为a1b13，d=2anbn32(n1)2n1当1时，新数列a

是首项为ab=，q=1 1

∴anbn=2 anbn2n 联立、(2)

得an11 ，bn11abab 2

22 22

例23.在数列{ 中，ab1，且an15an15bn（n∈N求{