选修4-5课件：第1讲1不等式1

第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质1.两个实数大小的比较.设a,b∈R,则(1)a>b⇔______.(2)a=b⇔a-b=0.(3)____⇔a-b<0.a-b>0a<b2.不等式的基本性质：(1)

对称性

a>b⇔____.

(2)

传递性a>b,b>c⇒____.

(3)可加性____⇔a+c>b+c.

(4)可乘性如果a>b,c>0,那么______;

如果a>b,c<0,那么______.

(5)乘方如果a>b>0,那an__bn(n∈N,n≥2).

(6)开方如果a>b>0,那么__(n∈N,n≥2).

b<aa>ca>bac>bcac<bc>>1.若a<b，一定有吗？提示：不一定.如a=-1,b=2.事实上，当ab>0时，若a<b，则有;当ab<0时，若a<b,则有;当ab=0时，若a<b，则与中有一个式子无意义.2.a>b是ac2>bc2的什么条件？提示：必要而不充分条件.当a>b时，不能推得ac2>bc2，因为当c=0时，有ac2=bc2；若ac2>bc2，则所以即a>b.3.如果a,b∈R,并且a＞b,那么下列不等式一定成立的是____.①-a＜-b；②a-1＞b-2；③a-b＞b-a；④a2＞ab.【解析】因为a,b∈R,并且a＞b,所以-a＜-b,故①一定成立.a＞b,-1＞-2,根据不等式的性质可得，a-1＞b-2,故②一定正确.a-b＞0，则b-a＜0,所以a-b＞b-a,故③一定正确.不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，而a的符号不确定，故④不一定正确.答案：①②③1.实数大小的比较2.不等式性质中的“⇒”和“⇔”表示的意思在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条件，如而反之则包含几类情况，即若则可能有a＞b,ab＞0,也可能有a＜0＜b.即a＞b,ab＞0与是不等价关系.3.实数的基本性质在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用到实数的一些基本性质，这些性质可概括为8条公理：公理1：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.公理2：正(负)数中，绝对值较大的数其数值较大(小).公理3：正(负)数的相反数是负(正)数.公理4：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数.公理5：两个正(负)数的和仍是正(负)数.公理6：同号(或异号)两数相乘或相除，其积或其商为正数(或负数).公理7：两正数之商大于1，则被除数大于除数；两正数之商等于1，则被除数等于除数；两正数之商小于1，则被除数小于除数.公理8：任何一个实数的平方都不小于零.类型一作差法比较大小

【典型例题】1.当p,q为正数且p+q=1时,比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.2.a,b∈R+,且a≠b时,比较a3b2+a2b3与a5+b5的大小.【解题探究】1.(px+qy)2的展开式是什么?2.比较多项式的大小常用的方法是什么?探究提示:1.(px+qy)2=p2x2+2pqxy+q2y2.2.常用作差比较法.【解析】1.(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中等号成立.2.a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)因为a,b∈R+,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以a5+b5-(a3b2+a2b3)>0,a5+b5>a3b2+a2b3.【拓展提升】作差比较的两种变形技巧作差比较是判断两个数或式大小关系的最基本的方法，关键是作差后对差变形，以判定差的符号，常有两种变形技巧：(1)利用因式分解化为若干个可直接判断符号的式子的积的形式.(2)若式子为二次式，常用配方法、判别式法.【变式训练】已知x>y>0,比较与的大小.【解析】因为x>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x2>0,x2+1>1,所以所以故类型二利用不等式的性质判断命题的真假【典型例题】1.若则下列不等式：①a+b<ab;②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式有()A.1个B.2个C.3个D.0个2.若a<b<0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由.(1)(2)【解题探究】1.由能否比较a,b,0的大小关系？2.比较大小的依据是什么？探究提示：1.由可知b<a<0.2.不等式的基本性质.【解析】1.选A．所以a+b<0<ab，

|a|<|b|，即①正确，②③错误．2．(1)成立.由a<b<0得a<a-b<0，所以则(2)成立.因为a<b<0,所以a+b<b<0,则所以【互动探究】若题1中条件不变，判断不等式是否成立？【解析】因为所以所以不等式不成立.【拓展提升】利用不等式的性质判断命题真假的两点说明(1)在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地使用不等式的性质.(2)不等式的性质是不等式变形的依据，使用时，一定要注意它成立的前提条件，如在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2;当没有“c≠0”这个条件时，a>b⇒ac2>bc2就不正确.再如时，还必须添加条件ab>0.【变式训练】已知三个不等式：①ab>0,②bc-ad>0,③(其中a,b,c,d均为实数).用其中两个作为条件，余下一个作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.因为所以①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②均成立.类型三利用不等式的性质证明简单不等式

【典型例题】1.已知a>b>0,c<d<0,求证：2.已知a，b∈R，求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.【解题探究】1.对于正数，有同向不等式可乘，但能不能可除？2.证明不等式的实质是什么？探究提示：1.对于正数，同向不等式可乘，但不可除.不等式的“除法”可以通过“乘倒数”转化为“乘法”.2.实质是比较两个代数式的大小.【证明】1.因为c<d<0,所以-c>-d>0.所以所以所以即两边同乘以-1，得2.因为(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.【变式训练】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求证：2.已知c>a>b>0,求证：【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条件的关系，然后结合不等式的性质证明.【证明】1.因为a＞b＞0,所以因为c＞d＞0,所以所以所以所以即又a,c,b,d均大于0，所以所以2.因为a>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以又因为a>b>0,所以【易错误区】对不等式的性质理解不透而致错【典例】已知则2α-β的取值范围是_______.【解析】

设2α-β=A(α+β)+B(α-β),则2α-β=(A+B)α+(A-B)β,①比较两边系数得⇒所以因为所以故答案：【误区警示】【防范措施】1.待定系数法的应用已知两个代数式的范围，求另一个代数式的取值范围时，应用待定系数法，体现整体思想的应用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中将2α-β表示为α+β和α-β的形式求解.2.注意同向不等式相加时的应用同一问题中，应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则易导致范围扩大，如本例可用待定系数法避免多次使用.【类题试解】已知a-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,则4a-2b的取值范围是______.【解析】因为a-b∈［1,2］,a+b∈［2,4］,所以4a-2b=(a+b)+3(a-b)∈［5,10］.答案：［5，10］

1.若则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】选A.由于a>1，0<b<1，c<0,所以a>b>c.2.已知a,b,c均为实数，下面四个命题中正确的个数是()①a<b<0⇒a2<b2；②③ac2>bc2⇒a>b；④A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①不正确.因为a<b<0，所以-a>-b>0,所以(-a)2>(-b)2,即a2>b2.②不正确.因为若b<0，则a>bc.③正确.因为ac2>bc2，所以c≠0,a>b.④正确.因为a<b<0,所以-a>-b>0，所以3.已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】选B.由而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足但a－c＞b－d不成立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分条件.4.已知0<a<b<1,则x,y,z的大小关系为