合情推理与演绎推理专题训练

(25

分钟 45

分)一、选择题(每小题

5

分,共

35

分)1.已知数列{a

}的前

n

项和为

S

,则

a

=1,S

=na

,试归纳猜想出

S

的表达式为 ( )A.S

=C.S

=

B.S

=D.S

=【解析】选

A.S

=na

=n(S

-S

), 所以

S

= S

(n≥2,n∈N),S

=a

=1,则

S

=

,S

=

=

,S

=

. 所以猜想得

S

= .2.(2018·武汉模拟)演绎推理“因为对数函数

y=log

x(a>0

且

a≠1)是增函数,而函数

y=lo x

是对数函数,所以

y=lo x

是增函数”所得结论错误的原因是( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选

A.因为当

a>1

时,y=log

x

在定义域内单调递增,当

0<a<1

时,y=log

x 在定义域内单调递减,所以大前提错误.【变式备选】(2018·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1

日至

12

日值班,每人

4

天.甲说:我在

1

日和

3

日都有值班;乙说:我在

8

日和

9

日都有值班;丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 ( )A.2

日和

5

日 B.5

日和

6

日C.6

日和

11

日 D.2

日和

11

日【解析】选

C.1～12

日期之和为

78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的两天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下还有

2

日、4

日、5

日、6

日、7

日五天,显然,6

日只能是丙去值班了.3.下列类比推理中,得到的结论正确的是

( )A.把

log

(x+y)与

a(b+c)类比,则有

log

(x+y)=log

x+log

y B.向量

a,b

的数量积运算与实数

a,b

的运算性质|ab|=|a|·|b|类比,则有|a·b|=|a||b|C.把(a+b)与(ab)类比,则有(a+b)=a+bD.把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和【解析】选

D.根据对数运算法则,可得

A

不正确;利用向量的数量积运算,可得

B

不正确;利用乘方运算,可得

C

不正确;把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和,可知

D正确.4.设三角形

ABC

的三边长分别为

a,b,c,面积为

S,内切圆半径为

r,则r= ;类比这个结论可知:若四面体

S-ABC

的四个面的面积分别为S

,S

,S

,S

,内切球的半径为

r,四面体

S-ABC

的体积为

V,则

r

等于 ( ) A. B.C. D.【解析】选

C.设四面体的内切球的球心为

O,则

V=V

+V

+V

+V

,即

V=

S

r+

S

r+

S

r+

S

r, 所以

r= .5.(2019·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的

1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{a

},那么

a

的值 为

( )A.45 B.55 C.65 D.66【解析】选

B.第

1

个图中,小石子有

1

个,第

2

个图中,小石子有

3=1+2

个,第

3

个图中,小石子有

6=1+2+3

个,第

4

个图中,小石子有

10=1+2+3+4

个,…故第

10

个图中,小石子有

1+2+3+…+10= =55

个,即

a

=55.6.如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第

1

个图形用了

3

根火柴,第

2

个图形用了

9

根火柴,第

3

个图形用了

18

根火柴,…,则第

2

018

个图形用的火柴根数为 ( )A.2

014×2

017 B.2

015×2

016C.3

024×2

018 D.3

027×2

019

D.由题意,第

1

个图形需要火柴的根数为

3×1;第

2

个图形需要火柴的根数为

3×(1+2);第

3

个图形需要火柴的根数为

3×(1+2+3);…由此,可以推出第

n

个图形需要火柴的根数为

3×(1+2+3+…+n).所以第

2

018

个图形所需火柴的根数为

3×(1+2+3+…+2

018)=3×=3

027×2

019.7.在锐角三角形

ABC

中,下列结论正确的是 ( )A.sinA<cosBB.tanA>tanBC.sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCD.sinA+sinB+sinC<cosA+cosB+cosC【解析】选

eq

\o\ac(△,C.)因为 ABC

为锐角三角形,所以

A+B>

,所以

A>

-B,因为

y=sin

x

在所以

sin

A>sin

上是增函数,=cos

B,同理可得

sin

B>cos

C,sin

C>cos

A,所以

sin

A+sin

B+sin

C>cos

A+cos

B+cos

C.二、填空题(每小题

5

分,共

10

分)8.(2019·咸阳模拟)观察下列式子:+ <8, + +

<2,+

+<

<

,

+,…,根据以上规律,第

n(n∈N)个不等式是________.【解析】根据所给不等式可得第

n

个不等式是 + +…+ < .答案: + +…+ <9.在数列{a

}中,a

=2,a

=λa

+λ+(2-λ)2(n∈N),其中

λ>0,{a

}的通项公 式是________.【解析】a

=2,a

=2λ+λ+(2-λ)·2=λ+2, a

=λ(λ+2)+λ+(2-λ)·2=2λ+2,a

=λ(2λ+2)+λ+(2-λ)·2=3λ+2.由此猜想出数列{a

}的通项公式为

a

=(n-1)λ+2. 答案:a

=(n-1)λ+2(15

分钟 30

分)1.(5

分)若大前提是:任何实数的平方都大于

0,小前提是:a∈R,结论是:a>0,那么这个演绎推理出错在

( )A.大前提 B.小前提C.推理过程 D.没有出错【解析】选

A.要分析一个演绎推理是否正确,推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于

0,是不正确的.2.(5

分)如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是

( )【解析】选

A.依照该五角星连续呈现阴影的两个角按逆时针方向旋转的规律性知,下一个呈现出来的图形是

A.【变式备选】如图所示是由长为

1

的小木棒拼成的图形,其中第

n

个图形由

n

个正方形组成:观察图形,根据第

1

2

3

4

个图形中小木棒的根数,得出第

n个图形中,小木棒的根数为______.【解析】观察题干中图形可得,第

1

个、第2

个、第3

个、第4

个图形中小木棒的根数分别为

4,7,10,13,而

4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由归纳推理得,第

n

个图形中,小木棒的根数为

3n+1.答案:3n+13.(5

分)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.的转化过程,比如在 中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值

x,这可以通过方程( )

=x

确定

x=2,则

1+

=A.

B.C.

D.【解析】选

C.1+ =x,即

1+

=x,即

x-x-1=0,解得

x= ,故

1+ = .4.(15

分)祖暅是我国南北朝时的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆 + =1(a>b>0)所围成的平面图形绕

y

轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法,请类比此法,求出椭球体体积.【解析】椭圆的长半轴长为

a,短半轴长为

b,现构造两个底面半径为

b,高为

a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积

V=2(V

-V

)=2(π×ba-

π×ba)=

πba.【变式备选】已知

O

是△ABC

内任意一点,连接

AO,BO,CO

并延长,分别交对边于A′,B′,C′,则法”:

+

+

=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积+ + = + + = =1.请运用类比思想猜想