24线段的垂直平分线

AB问题导入

如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?春陵江●●学习目标1.结合具体例子认识什么是线段的垂直

平分线，理解线段的垂直平分线所满足的两个条件.2.探索掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.3.能应用线段垂直平分线的性质定理找出

线段相等.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A

与点A′关于线段CD

所在的直线l

对称，你发现线段CD

所在的直线l

与线段AA′

有哪些关系？已知点A与点Ａ′

关于直线l

对称●lAA′D21(A)现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图：①l⊥AA′：l垂直AA′②AD=A′D：l平分AA′如果沿直线l折叠，则点A与点Ａ′

重合，所以AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l

既垂直线段AA′，又平分线段AA′．直线l

就叫做线段AA′

的垂直平分线●

________且_______一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.想一想：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？lABC（中垂线）由上得到线段的垂直平分线的定义：垂直平分用符号语言表示：如图∵_______，_______∴直线l

是线段AA′

的垂直平分线线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.l

⊥AB

AC=BCNMP探究交流：OAB●（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线MN；

（2）在线段AB的垂直平分线MN上

任取一点P,连接PA，PB，（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？PA=PB线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．（4）你能用语言表达这个结论吗？NMP探究交流：OAB●（5）理由：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴沿直线MN折叠，点A与点B重合.∴点A与点B关于直线MN对称从而线段PA与线段PB重合于是PA=PB.由此得出线段垂直平分线的性质定理：条件：点在线段的垂直平分线上结论：这个点到线段两端的距离相等ABPO学以致用如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?春陵江1.解答前面所提出的问题：●●分析：（1）所建造的码头要满足几个条件？①在江岸边②到A、B两个端点的距离相等（2）码头位置应为江岸边与线段AB的垂直平分线的交点.答：码头应建在点P的位置2.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的

垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，求△ABD的周长ABEDC解:∵DE是BC的垂直平分线∴BD=DC∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=9+15=24(cm)方法小结：应用线段的垂直平分线性质定理可帮助我们找到线段相等关系，即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)BADEC3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的

垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC长．解(1)∵DE是AC的垂直平分线∴EA=EC∴∠ECD＝∠A＝36°（等边对等角）(2)∵AB=AC∠A＝36°∴∠B＝∠ACB（等边对等角）＝2_______1800-360＝720又∵∠BEC＝∠A+∠ECA=72°∴∠B＝∠BEC∴

BC=EC=5（等角对等边）(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（1）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.4.自主练习交流：解∵DE是AB的垂直平分线∴AE=BE∴∠BAE＝∠B＝30°又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC∴∠CAE＝∠BAC-∠BAE＝80°-30°＝50°CAB

DE（2）如图，在△ABC中，AB<AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E，AC=15cm，ΔABE的周长是24cm，求AB的长.

如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考试题解析C∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.作业布置课本72页A组2，31.________且_______一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.垂直平分3.如图，直线l

是线段AB的垂直平分线,则PC____AB，AC=____，PA=_____.BC知识回顾2.线段垂直平分线上的点____________________________________到这条线段两个端点的距离相等⊥Al

B

CPPB4.____点确定一条直线.两提出问题CABD如图，现在知道点C到线段AB

两端的距离相等，即CA=CB，点D到线段AB

两端的距离也相等，即DA=DB，那么根据上面条件你能画出线段AB的垂直平分线吗？学习目标1.理解掌握线段的垂直平分线的性质定理的逆定理，并会应用这个逆定理判断一个点是否在线段的垂直平分线上.2.能够运用直尺和圆规作出一条线段的垂直平分线.1.想一想：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？(1)当点P在线段AB上时，探究交流2.证明：已知一点P到线段AB

两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.lAB●●P显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，（2）当点P在线段AB外时,因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.AB●●P过顶点P

作PC⊥AB，垂足为点C则AC=BC.（三线合一）C┐到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.几何语言：条件：点到线段两端的距离相等结论：这个点在线段的垂直平分线上知识应用CABD如图，现在知道点C到线段AB

两端的距离相等，即CA=CB，点D到线段AB

两端的距离也相等，即DA=DB，那么根据上面条件你能画出线段AB的垂直平分线吗？1.解答前面所提出的问题：①由CA=CB可知点C在什么线上？根据是什么？分析：点C在线段AB的垂直平分线上②由DA=DB可知点D在什么线上？根据是什么？点D也在线段AB的垂直平分线上③由上可见直线CD是线段AB的垂直平分线吗？2.已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.

求证：点O在AC的垂直平分线上.分析：根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知需要证明__________.OA=OC证明∵点O在线段AB的垂直平分线上∴OA=OB同理OB=OC∴

OA=OC∴点O在AC的垂直平分线上小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上，需要找出这个点到线段两端的距离相等举一反三，拓展思维1.课本70页练习2已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且

AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.

求证：AO=BO.证明∵AC=BC∴点C在线段AB的垂直平分线上∵AD=BD∴点D也在线段AB的垂直平分线上∴CD为线段AB的垂直平分线又AB与CD相交于点O∴AO=BOCAB

ED2.如图，在△ABC中，AC=15cm,AB=10cm,E是BC

的中点，若ΔABD的周长是25cm，求证：DE是线段BC的垂直平分线分析：由于E是BC的中点，根据线段垂直平分线的定义需要证明___________DE⊥BC证明∵ΔABD的周长是25cm∴AB+BD+AD=25cm∴BD+AD=15cm又CD+AD=AB=15cm∴BD+AD=CD+AD∴BD=CD即ΔBDC是等腰三角形∵E是BC的中点∴DE⊥BC（三线合一）∴DE是线段BC的垂直平分线做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线分析：根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键