【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第8知识块第4讲 直线、圆的位置关系课件 文 新人教A版

【考纲下载】能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.第4讲直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(1)代数法（联立直线与圆的方程消元后得到一元二次方程的判别式为）(2)几何法：(圆心到直线的距离为d)【思考】

在判断直线与圆相交时，除了上述两种方法外，是否还有另外方法？答案：若给出的直线方程和圆的方程都带有字母，利用上述两种方法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．2．若直线(斜率为k)与圆相交，则直线被圆截得的弦长|AB|＝|x1－x2|＝

.其中x1，x2为两交点的横坐标．提示：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．(2009·重庆)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(

)A．相切

B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心

D．相离解析：依题意得圆心(0,0)到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离等于＜1，且0≠0＋1，因此该直线与圆相交且不经过圆心．答案：B1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(

)A．相离

B．相交

C．外切

D．内切解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．答案：B2．(2009·陕西)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(

)A. B．2C.D．2解析：解法一：几何方法，确定圆心坐标(0,2)和直线方程y＝x，作出草图，数形结合，构造直角三角形，圆心在y轴，直径为4，所求弦长过原点且与x轴所成的角为60°⇒弦长＝4cos30°＝2.3．解法二：代数方法，借助弦长公式，由题意得：得x1＝0，x2＝.所求弦长为：答案：D答案：A解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本数量关系．已知圆O：x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)无公共点．思维点拨：采用几何法与代数法均可．【例1】解：解法一：圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.(1)当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；(2)当d＝r，即b＝±2时，直线与圆相切，有一个公共点；(3)当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，无公共点．解法二：联立两个方程得方程组消去y得，2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.(1)当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；(2)当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点；(3)当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时，无公共点.判断圆与圆的位置关系的关键是用好圆心距与半径的关系，并注意数形结合及圆的几何性质的灵活运用．求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．思维点拨：求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的距离都等于半径，求出圆心和半径或设出过两圆交点的圆系方程，再求系数．【例2】解：解法一：解方程组得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)，设圆心为(a，－a)，则解得a＝－3，r＝，因此所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.解法二：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y＝8λ＋24.因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴(2λ－2)＋(2λ＋10)＝0，∴λ＝－2，∴圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.求圆的切线方程一般有两种方法：(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．2．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.1.已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．思维点拨：利用几何法求解，但注意直线斜率不存在时的情况．【例3】解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知

，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有

＝2，解得a＝0或a＝.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．解：(1)将圆C配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得：y＝(2±)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.变式3：(2)由|PM|＝|PO|得：

即2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时，|OP|取得最小值，直线OP⊥l.∴直线OP的方程为：2x＋y＝0.解方程组

得点P的坐标为.圆的弦长的求法1．几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则2＝r2－d2.2．代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝

(k为直线斜率)．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．【例4】解：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为,圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为,由点到直线的距离公式得所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．变式4：解：如右图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，AC=4，在Rt△ACD中，可得CD=2.设所求直线的斜率为

，则直线的方程为

，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【方法规律】1．求切线时，若知道切点，则可直接利用公式；若过圆外一点求切线， 一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意应有两条切线．2．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦 垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．3．求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|－r， 最大值为|PO|＋r(其中r为圆O的半径)．4．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共 弦所在的直线方程．5．在解题过程中能适当利用圆系方程，有时可达到理想效果．圆系 是具有某些共同性质的圆的集合.【高考真题】(2009·天津)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【规范解答】解析：两个圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为y＝，则圆心(0,0)到直线的距离d＝，根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，可得

，又a＞0，解得a＝1.故填1.答案：1【探究与研究】本题给出两个圆的公共弦长，说明第二个圆也是定圆，通过这样的设计考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系的基本知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，是一道知识考查与能力考查并重的试题．这类题目也是对教材题目的适当改造，如人教A版必修2习题4.2A组第9题“求圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长”，本题设置了参数，问题实质没有变化．解决这类问题的一个基本方法就是求出两个圆的公共弦所在的直线方程，根据直线被圆所截得的弦长公式解决．容易忽视限