【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第7知识块第6讲 空间直角坐标系课件 文 新人教A版

【考纲下载】1.

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式.第6讲空间直角坐标系列空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做

，x轴，y轴，z轴统称

由坐标轴确定的平面叫做

．(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指一定指向z轴的

．坐标原点坐标原点坐标平面正方向1．空间两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝

.(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的

，y叫做点M的

，z叫做点M的

．横坐标纵坐标竖坐标2．点P(2，－1，－5)关于坐标原点的对称点是(

)

A．(－2,1,5) B．(－2，－1,5)C．(2，－1,5) D．(－2,1，－5)解析：两个点关于原点对称，则各个坐标互为相反数．答案：A1．在空间直角坐标系中，点(1,2，－3)关于x轴的对称点的坐标是(

)A．(1，－2,3) B．(－1,2,3)C．(－1，－2,3) D．(1，－2，－3)解析：点(a，b，c)关于x轴的对称点是(a，－b，－c)．答案：A2．在空间直角坐标系中，若点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|的长度为(

)

A．

B. C. D.解析：依题意得B(0,2,3)，∴|OB|＝答案：C3．如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．解析：由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，∴中点M的坐标为 .答案：4.通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐 标，“恰当”的原则是：①充分利用几何体中的垂直关系；

②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上．2．从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P 的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标．如图所示，四棱锥P—ABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，M、N分别为AD、BC的中点，试建立适当的坐标系，写出P、A、B、C、D、M、N的坐标．思维点拨：以A点为坐标原点建系．解：以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,0)、N(2,1,0)、P(0,0,2)．【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标．解：如右图，以A为原点，AB，AD，

AA1所在直线分别为x，y，z轴的建立空间直角坐标系．从M点分别向平面yAz，平面xAz，平面xAy作垂线．∵正方体的棱长为2，∴M点到三平面的距离分别为1,1,2.∴M点的坐标为(1,1,2)．同理，N点坐标为(1,0,1).变式1：(1)关于哪条轴对称，对应坐标不变；另两个坐标变为原来的相反数；(2)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数；(3)可类比平面直角坐标系中对应情况进行记忆．已知空间一平面的方程为x＋3y－2z＋5＝0，则该平面关于点M(3,1，－2)对称的平面方程是________．解析：设Q(x，y，z)为对称平面上的一点，则Q点关于点M的对称点Q′(x′，y′，z′)在已知平面上，由

得【例2】∴(6－x)＋3(2－y)－2(－4－z)＋5＝0.即x＋3y－2z－25＝0.答案：x＋3y－2z－25＝0已知A(a,2,3)与B(4,5,6)关于直线x－y＋2z＝0对称，求a.解：由题意知，线段AB的中点M 在直线x－y＋2z＝0上，∴

，∴a＝－15.变式2：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，其实质就是求空间向量的模，如果知道空间任意两点的坐标，就可以直接应用公式．在正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离．【例3】解：由于S—ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC＝a，而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可以设P点的坐标为 (x＞0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离|PQ|＝

＝显然当x＝

，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，P恰好为SC的中点，Q恰好为底面的中心．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别是A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C ，判断△ABC的形状．解：∴△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.变式3：【方法规律】1．建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标运算，因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判断点的位置成为解题的关键．2．对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x、y轴的平行线，分别交y、x轴于C、D，则由OD、OC、BA的长度和方向便可求得点A的坐标．3.要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程.4.通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题.如右图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标．【阅卷实录】【教师点评】解：取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵