【高三理科数学第一轮复习】第八章-第4节-直线、平面平行的判定及其性质

第4节直线、平面平行的判定及其性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知

识

梳

理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理平面外_______________________________平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的________与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b一条直线与此平交线面内的一条直线2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条_____________与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β相交直线性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线_________于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_________平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b平行交线[微点提醒]平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.基

础

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.(必修2P61A1(2)改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(

) A.直线a上有无数个点不在平面α内 B.直线a与平面α内的所有直线平行 C.直线a与平面α内无数条直线不相交 D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交

解析

因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.

答案

D3.(必修2P61A1(1)改编)下列命题中正确的是(

) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.

答案

D4.(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(

) A.m∥α，n∥α，则m∥n

B.m∥n，m∥α，则n∥α C.m⊥α，m⊥β，则α∥β

D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析

A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.

答案

C5.(2019·成都月考)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(

) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线

解析

当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

答案

A6.(2019·衡水开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.答案平行四边形考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)(2019·开封模拟)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是(

) A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b B.若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D.若α∥β，a⊂α，则a∥β(2)(2018·聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)解析(1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.(2)在B中，如图，连接MN，PN，∵A，B，C为正方体所在棱的中点，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC⊂平面ABC，DE，EF⊂平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.答案(1)D

(2)B规律方法

1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(1)下列命题正确的是(

) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行解析(1)A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的.对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以C1Q∥平面APC是正确的.对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的.答案(1)C

(2)②③考点二直线与平面平行的判定与性质

多维探究角度1直线与平面平行的判定【例2－1】

(2019·东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】

(2018·上饶模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法

1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】

(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.考点三面面平行的判定与性质

典例迁移【例3】

(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移探究1】

在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，规律方法

1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】

(2019·南昌二模)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确