【金教程】高考数学总复习 14.2导数的应用精品课件 文 新人教B

最新考纲解读1．理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念．2．并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．3．会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．高考考查命题趋势导数是中学选修内容中重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有．而且近年有加强的趋势，预测2011年对本模块的考查为：1．还会有一大一小的试题，小题主要考查导数概念及求函数的导数、导数的几何意义、导数的简单应用．大题考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题．2．仍可能以函数为背景，以导数作工具，在函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇点命题．1.函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，①如果f′(x)>0时，则函数y＝f(x)为这个区间上的增函数；②如果f′(x)<0时，则函数y＝f(x)为这个区间上的减函数；③如果恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．2．函数y＝f(x)单调区间的求解过程：(1)分析y＝f(x)的定义域；(2)求导函数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．3．函数的极值的概念：设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值．称x0为极大(小)值点．4．函数的最值：(1)函数最值的概念：设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，则函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间内不一定有最大值与最小值．(2)设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上最值的方法步骤：①求函数f(x)在(a，b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点的函数值f(a)、f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值，若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.一、选择题1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6D．a＜－1或a＞2[解析]

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，∴a＜－3或a＞6.[答案]

C2．若函数f(x)＝－a(x－x3)的递减区间为 ，则a的取值范围是 ()A．a＞0 B．－1＜a＜0C．a＞1 D．0＜a＜1[答案]

A3．函数y＝4x2＋的单调递增区间是 ()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(，＋∞) D．(1，＋∞)[答案]

C4．．函函数数y＝x3－3x2－9x(－－2<x<2)有有()A．．极极大大值值5、、极极小小值值－－27B．．极极大大值值5、、极极小小值值－－11C．．极极大大值值5、、无无极极小小值值D．．极极小小值值－－27、、无无极极大大值值[解解析析]由y′＝＝3x2－6x－9＝＝0，，得得x＝－－1或或x＝3，，当当x<－－1时时，，y′>0；；当当x>－－1时时，，y当x＝－1时，y极大值＝5；x取不到3，无极小值．[答案]

C5．．(山山东东烟烟台台)对对于于R上的的可可导导任任意意函函数数f(x)，，若若满满足足(x－1)··f′(x)≥≥0，，则则必必有有()A．．f(0)＋＋f(2)<2f(1)B．．f(0)＋＋f(2)≤≤2f(1)C．．f(0)＋＋f(2)≥≥2f(1)D．．f(0)＋＋f(2)>2f(1)[解解析析]若f′(x)＝＝0恒恒成成立立，，则则f(x)为为常常函函数数，，即即f(x)＋＋f(2)＝＝2f(1)；；若若f′(x)＝＝0不不恒恒成成立立时时，，当当x≥1时时，，有有f′(x)≥≥0；；当当x<1时时，，f′(x)≤0，，f(x)在[答案]

C二、、填填空空题题6．．函函数数y＝f(x)＝＝x3－x2－2x＋5的的[解析]

由y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)得：当x∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时y′>0；当x∈(－，1)，y′<0，∴单调递增区间是(－∞，－)、(1，＋∞)；单调递减区间是(－，1)．[答案]

(－∞，－)及(1，＋∞)(－，1)例1(2009年年河河西西区区一一模模)已知函数数f(x)＝x3－ax2－a2x＋1，g(x)＝1－－4x－ax2，其中实实数a≠0.(1)求求函数f(x)的单调调区间；；(2)若若f(x)与g(x)在区间间(－a，－a＋2)内内均为增增函数，，求a的取值范范围．1．f(x)为增函函数，一一定可以以推出f′(x)≥0，，反之不不一定成成立，因因为f′(x)≥0相相当于f′(x)>0或或f′(x)＝0.当函数数在某个个区间内内恒有f′(x)＝0，，则f(x)为常数数，函数数不具有有单调性性．∴f′(x)≥0是是f(x)为增函函数的必必要不充充分条件件．2．一般地地，若知知函数的的单调性性求参数数范围，，则得不不等式f′(x)≥0，，解之得得参数的的范围．．若求单单调区间间，则解解不等式式f′(x)>0得得结论．．思考探究究1已知函数数f(x)＝x3－ax－1.(1)若若f(x)在实数数集R上单调递递增，求求实数a的取值范范围；(2)是是否存在在实数a，使f(x)在(－－1,1)上单单调递减减？若存存在，求求出a的取值范范围；若若不存在在，说明明理由；；(3)证证明：f(x)＝x3－ax－1的图图象不可可能总在在直线y＝a的上方．．(1)[解]由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－－∞，＋＋∞)上上是单调调增函数数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞∞，＋∞)上上恒成立，即即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，故f(x)＝x3－1在R上是增函数，，则a≤0.(2)[解]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)上恒成立立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调调递减．(3)[证明]∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的图象不可可能总在直线线y＝a的上方.例2(2009年年厦门大同中中学)设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋1,0<a<1.(1)求函数数f(x)的极大值；；(2)若x∈[1－a,1＋a]时，恒有－－a≤f′(x)≤a成立，(其中中f′(x)是函数f(x)的导函数)，试确定实实数a的取值范围．．[解](1)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，且0<a<1，当f′(x)>0时，得得a<x<3a；当f′(x)<0时，得得x<a或x>3a；∴f(x)的单调递增增区间为(a,3a)；f(x)的单调递减减区间为(－－∞，a)和(3a，＋∞)．故当x＝3a时，f(x)有极大值，，其极大值为为f(3a)＝1.(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，当0<a<时时，1－－a>2a，∴f′(x)在区间[1－a,1＋a]内单调递递减．∴[f′(x)]max＝f′(1－a)＝－8a2＋6a－1，1．导数为为0的点不不一定是极极值点．函函数的导数数不存在的的点也可能能是极值点点．2．如果在x0附近的左侧侧f′(x)＞0，右右侧f′(x)＜0，那那么f(x0)是极大值值；如果在x0附近的左侧侧f′(x)＜0，右右侧f′(x)＞0，那那么f(x0)是极小值值．3．在在本本题题第第(2)问问中中，，““恒恒有有－－a≤f′(x)≤≤a成立立””的的问问题题，，等等价价转转化化为为求求导导函函数数的的最最大大值值小小于于等等于于a、最最小小值值大大于于等等于于a.思考考探探究究2(2009年年宁宁夏夏海海南南卷卷文文)已知知函函数数f(x)＝＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)设设a＝1，，求求函函数数f(x)的的极极值值；；(2)若若a>，，且且当当x∈[1,4a]时时，，|f′(x)|≤≤12a恒成成立立，，试试确确定定a的取取值值范范围围．．[解解](1)当当a＝1时时，，对对函函数数f(x)求求导导数数，，得得f′(x)＝＝3x2－6x－9.令f′(x)＝＝0，，解解得得x1＝－－1，，x2＝3.列表表讨讨论论f(x)，，f′(x)的的变变化化情情况况：：所以以，，f(x)的的极极大大值值是是f(－－1)＝＝6，，极极小小值值是是f(3)＝＝－－26.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0—0＋f(x)递增极大值6递减极小值－26递增例3(2009年年河河东东区区一一模模)设函函数数f(x)＝＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．．(1)求求f(x)的的最最小小值值s(t)；(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，，求实数m的取值范围．．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，∴x＝－t时，f(－t)取得最小值值f(－t)＝－t3＋t－1，即s(t)＝－t3＋t－1.(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得得t＝1或t＝－1(舍去去)∴h(t)在(0,2)内有最大大值1－m，∴s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时时恒成立等价价于h(t)max<0恒成立．．即1－m<0，∴m>1，因此实数m的取值范围是是(1，＋∞)．t(0,1)1(1,2)h′(t)＋0－h(t)增极大值1－m减1．求f(x)在[a，b]上最值的方方法步骤：①求函数f(x)在(a，b)内的极值；；②求函数f(x)在区间端点点处的函数值值f(a)、f(b)；③将函数f(x)的各极值与与f(a)，f(b)比较，其中中最大的一个个是最大值，，最小的一个个是最小值．．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增增，则f(a)为函数的最最小值，f(b)为函数的最最大值，若函函数f(x)在[a，b]上单调递减减，则f(a)为函数的最最大值，f(b)为函数的最最小值．思考探究3(2009年河北区一一模)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若x＝3是f(x)的极值点，，求f(x)在x∈[1，a]上的的最小小值和和最大大值；；(2)若f(x)在x∈[1，＋＋∞)上是是增函函数，，求实实数a的取值值范围围．[解](1)f′(3)＝＝0，，即27－－6a－3＝＝0，，∴a＝4，，∴f(x)＝x3－4x2－3x有极大大值点点x＝－，，极小小值点点x＝3.例4一条水水渠，，断面面为等等腰梯梯形，，如图图所示示，在在确定定断面面尺寸寸时，，希望望在断断面ABCD的面积积为定定值S时，使使得四四周L＝AB＋BC＋CD最小，，这样样可使使水流流阻力力小，，渗透透少，，求此此时的的高h和下底底边长长b.1．解解决有有关函函数最最大值值、最最小值值的实实际问问题，，需要要分析析问题题中各各个变变量之之间的的关系系，找找出适适当的的函数数关系系式，，并确确定函函数的的定义义区间间；所所得结结果要要符合合问题题的实实际意意义．．2．根据据问题题的实实际意意义来来判断断函数数最值值时，，如果果函数数在此此区间间上只只有一一个极极值点点，那那么这这个极极值就就是所所求最最值，，不必必再与与端点点值比比较．．3．相当当多的的有关关最值值的实实际问问题用用导数数方法法解决决较简简单．．思考探探究4在边长长为60cm的正正方形形铁片片的四四角切切去相相等的的正方方形，，再把把它的的边沿沿虚线线折起起(如如图)，做做成一一个无无盖的的方底底箱子子，箱箱底的的边长长是多多少时时，箱箱底的的容积积最大大？最最大容容积是是多少少？答：当当x＝40cm时时，箱箱子容容积最最大，，最大大容积积是1600解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60－2x)cm，则得箱子容积V(x)＝(60－2x)2x(0<x<30)．(后面同解法