【走向高考】高三数学一轮复习 133不等式选讲课件（北师大）

知识梳理1．不等式的性质：性质1如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.性质2如果a＞b，b＞c，那么

.性质3如果a＞b，那么

.推论如果a＞b，c＞d，那么

.a＞ca＋c＞b＋ca＋c＞b＋d性质4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0那么

.推论1如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么

.推论2如果a＞b＞0，那么

.推论3如果a＞b＞0，那么

．ac＜bcac＞bda2＞b2an＞bn(n为正整数)2．绝对值不等式：设a是任意一个实数，在数轴上|a|表示

，|x－a|的几何意义是

的距离．定理：对任意实数a和b，有

3．平均值不等式：定理1对任意实数a，b有a2＋b2≥

(上式当且仅当

时，取“＝”号)．实数a对应的点与原点O的距离实数x对应的点与实数a对应的点之间|a＋b|≤|a|＋|b|2aba＝b(2)分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．(5)反证法：通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理导出矛盾；③否定假设肯定结论5．柯西不等式定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥

，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．定理2设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a12＋a22＋…an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时“＝”成立．推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a12＋a22＋a32)(b12＋b22＋b32)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立。(ac＋bd)26．．排排序序不不等等式式定理理1设设a，b和c，d都是是实实数数，，如如果果a≥b，c≥d，那那么么ac＋bd≥，当当且且仅仅当当a＝b(或或c＝d)，，时时取取““＝＝””号号．．定理理2(排排序序不不等等式式)设设有有两两个个有有序序实实数数组组a1≥a2≥……≥≥an及b1≥b2≥……≥≥bn，则(顺顺序序和和)a1b1＋a2b2＋……＋＋anbn≥(乱乱序序和和)a1bj1＋a2bj2＋……＋＋anbjn≥(逆逆序序和和)a1bn＋a2bn－1＋……＋＋anb1.ad＋bc其中中j1，j2，……jn是1,2，，……，，n的任任一一排排列列方方式式．．上上式式当当且且仅仅当当a1＝a2＝……＝＝an(或或b1＝b2＝……＝＝bn)时时取取““＝＝””号号．．7．贝努努利利不不等等式式：：对任任何何实实数数x≥－－1和和任任何何正正整整数数n，有有(1＋＋x)n≥1＋＋nx[例例1]解解不不等等式式|x＋2|＋＋|x－1|<4.[分分析析](1)根根据据绝绝对对值值的的意意义义，，分分区区间间分分别别去去掉掉绝绝对对值值符符号号，，解解不不等等式式．．(2)根根据据绝绝对对值值的的几几何何意意义义．．[解解析析]|x＋2|＝＝0和和|x－1|＝＝0的的根根分分别别是是－－2和和1，，把把实实数数轴轴分分为为三三个个区区间间：：(－－∞∞，，－－2]，，(－－2,1)，，[1，，＋＋∞∞)．．在这这三三个个区区间间上上|x＋2|＋＋|x－1|有有不不同同的的解解析析表表达达式式，，它它们们构构成成了了三三个个不不等等式式组组．．[点点评评](1)解解这这类类绝绝对对值值符符号号内内是是一一次次式式的的不不等等式式，，其其一一般般步步骤骤是是：：①令每每个个绝绝对对值值符符号号里里的的一一次次式式为为零零，，并并求求出出相相应应的的根根；；②把这这些些根根由由小小到到大大排排序序，，并并把把实实数数集集分分为为若若干干个个区区间间；；③由所所分分区区间间去去掉掉绝绝对对值值符符号号组组成成若若干干个个不不等等式式，，解解这这些些不不等等式式，，求求出出它它们们的的解解集集；；④取这这些些不不等等式式的的解解集集的的并并集集就就是是原原不不等等式式的的解解集集．．对于于形形如如|x－a|＋＋|x－b|>c或|x－a|＋＋|x－b|<c的不不等等式式，，利利用用不不等等式式的的几几何何意意义义或或者者画画出出左左、、右右两两边边函函数数的的图图像像去去解解不不等等式式，，更更为为直直观观、、简简捷捷，，这这又又一一次次体体现现了了数数形形结结合合思思想想方方法法的的优优越越性性！！解不不等等式式|x＋3|＋＋|x－3|>8.[解解析析]解法法1：：由由代代数数式式|x＋3|、、|x－3|知知，，－－3和和3把把实实数数集集分分为为三三个个区区间间：：x<－－3，，－－3≤≤x<3，，x≥3.当x<－－3时时，，－－x－3－－x＋3>8，，即即x<－－4，，此此时时不不等等式式的的解解集集为为x<－－4.①当－－3≤x<3时时，，x＋3－－x＋3>8，此此时不等式无无解．②当x≥3时，x＋3＋x－3>8，即即x>4，此时不不等式的解集集为x>4.③取①②③式的并集得原原不等式的解解集为{x|x<－4或x>4}．解法2：不等等式|x＋3|＋|x－3|>8表表示数轴上与与A(－3)，B(3)两点距距离之和大于于8的点，而而A、B两点距离为6.因此线段段AB上每一点到A、B的距离之和都都等于6.如图所示，要要找到与A，B距离之和为8的点，只需需由点B向右移1个单单位(这时距距离之和增加加2个单位)，即移到点点B1(4)，或由由点A向左移1个单单位，即移到到点A1(－4)．可以看出，数数轴上点B1(4)向右的的点或者点A1(－4)向左左的点到A、B两点的距离之之和均大于8.∴原不等式的解解集为{x|x<－4或x>4}.[分析]开口向上的二二次函数在闭闭区间[－1,1]上的的最大值，只只能在端点－－1,1处取取到．故M≥|f(1)|或M≥|f(－1)|.[解析](1)∵M≥|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.(2)依题意意，M≥|f(－1)|，，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|.又|f(－1)|＝＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|.∴4M≥|f(－1)|＋＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2.[点评]对于含有绝对对值的不等式式的证明常用用途径有二：：一是去掉绝绝对值符号，，即利用绝对对值的定义和和|x|<a⇔－a<x<a(a>0)，|x|>a⇔x>a或x<－a(a>0)去掉绝绝对值符号；；二是利用含含绝对值的不不等式性质(||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|)来证明．．[例3]若若0<x<1，试比较较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小(a>0且a≠1)．[分析]利用作差比较较法或作商比比较法均可证证明本例．[解析]证法一：(作作差比较法)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1,0<1－x2<1.当a>1时，因为为|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0，所以|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.当0<a<1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)>0，所以|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.综上所所述，，|loga(1－－x)|>|loga(1＋＋x)|.[点评评]本题考考查了了绝对对值的的概念念，分分类整整合的的思想想方法法，对对数的的运算算，式式子的的变形形，灵灵巧而而精致致，深深化了了作差差比较较和作作商比比较这这两种种基本本方法法．(1)作差差法的的一般般步骤骤是““作差差—变变形——判断断符号号”．其中变变形是是作差差法的的关键键，配配方和和因式式分解解是常常用的的变形形手段段，为为了便便于判判断“差式”的符号号，常常将“差式”变形为为一个个常数数、一一个常常数与与几个个平方方和或或几个个因式式的积积的形形式，，当所所得的的“差式”是某个个字母母的二二次三三项式式时，，则常常用判判别式式法判判断符符号．．(2)作商商法的的一般般步骤骤为““作商商—变变形——判断断商与与数1的大大小关关系”．(3)一般般地，，证幂幂、指指数不不等式式，常常用作作商法法，证证对数数不等等式，，常用用作差差法．．当“差”或“商”式中含含有字字母时时，一一般需需对字字母的的取值值进行行分类类讨论论．[例4]已已知知a、b、c>0，，求证证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[分析析]不等式式中的的a、b、c有对称称转换换关系系，所所以从从基本本的不不等式式定理理入手手，先先考虑虑两个个正数数的平平均数数定理理，再再据不不等式式性质质推导导出证证明的的结论论．[解析析]∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式式相加加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．[点评评]本题是是利用用综合合法证证明不不等式式．用用综合合法证证明不不等式式时，，应注注意观观察不不等式式的结结构特特点，，选择择恰当当的已已知的的不等等式作作为依依据，，其中中基本本不等等式是是最常常用的的．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1，，求证证：：x2＋y2＋z2≤1．放放缩法法多借借助于于一个个或多多个中中间量量进行行放大大或缩缩小．．如欲欲证A≥B，需通通过B≤B1，B1≤B2，…，，Bn≤A(或A≥A1，A1≥A2，…≥≥An≥B)，再再利用用传递递性达达到证证明的的目的的．2．含含绝对对值的的不等等式(1)含绝绝对值值不等等式的的证明明，除除了综综合运运用前前面所所讲的的不等等式的的证明明方法法之外外，还还要注注意““绝对对值””这一一特殊殊属性性的处处理方方