【绿色通道】高考数学总复习 42平面向量基本定理及坐标表示课件 新人教A

考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．热点提示1.向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题．2．向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题.(2)范围向量夹角θ的范围是

，a与b同向时，夹角θ＝

；a与b反向时，夹角θ＝

.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是

，则a与b垂直，记作

.0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b提示：不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.

2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线有且只有(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对

叫做向量a的坐标，记作a＝

，其中

叫做a在x轴上的坐标，

叫做a在y轴上的坐标．互相垂直(x，y)(x，y)xy②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为

，反之亦成立．(O是坐标原点) (x，y)3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)则＝

，即一个向量的坐标等于

．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔

.(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标x1y2－x2y1＝0若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条条件能不不能写成成提示：不能．因因为x2，y2有可能为为0，故故应表示示成x1y2－x2y1＝0.答案：A2．设向向量a＝(1，，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－－2)．若表表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首首尾相接能构构成四边形，，则向量d为 ()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－－6)D．(－－2，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)．2(a－c)＝(4，－－2)，由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则(4，－12)＋(－－6,20)＋(4，－－2)＋d＝0，即(2,6)＋d＝0，故d＝(－2，－－6)，选D.答案：D答案：(2,4)(－3,9)(－5,5)答案：2【例2】(2009··广东卷)若若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.思路分析：可以先设向量量a的坐标为(m，n)，则由条件件可以得到关关于m，n的方程组，解解方程组可得得m，n的值．本题主要是考考查向量加法法的坐标运算算及向量模的的运算，信息息量小，运算算量少，考查查了方程的思思想.变式迁移2已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－－x,3)，又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.【例3】如右图所示，，已知点A(4,0)，，B(4,4)，，C(2,6)，，求AC和OB交点P的坐标．求交点坐标问问题就是共线线向量的应用用.答案：D向量的工具性性在解析几何何中可以得到到充分地体现现，因此，近近年的高考中中常有解析几几何与平面向向量交汇的题题目．向量的的坐标运算在在解析几何中中的应用主要要体现在：用用向量给出的的条件可以转转化为向量的的坐标的关系系，而向量的的坐标与曲线线上点的坐标标往往具有内内在的联系，，将这种内在在的联系挖掘掘出来，也就就找到了解题题的思路．解解析几何中的的平行，求轨轨迹方程，求求最值等问题题都可以很容容易地与平面面向量结合起起来，而向量量的坐标运算算也可以使这这些问题的求求解过程变得得简单易行.1．在平面面向量基本本定理的学学习中，要要注意定理理的应用条条件，e1、e2是一组不共共线向量，，当基底确确定后，这这种表示是是唯一的．．而对于基基底的选取取却不唯一一，只要是是同一平面面内的两个个不共线向向量，都可可以作为一一组基底．．平面向量量基本定理理是平面向向量的重要要内容，它它是向量运运算数量化化、代数化化的依据，，为后面的的学习奠定定了基础．．在解决具体体问题时，，合理地选选择基底会会给解题带带来方便．．在解有关关三角形的的问题时，，可以不去去特意选择择两个基本本向量，而而可以用三三边所在的的三个向量量，最后可可以根据需需要任意留留下两个即即可，这样样思考问题题要简单得得多．2．向量的的坐标表示示，实际上上是向量的的代数表示示，引入向向量的坐标标表示可使使向量运算算完全代数数化，将数数与形紧密密地结合起起来，这样样可以将许许多几何问问题转化为为同学们熟熟知的数量量运算．这这也给我们们解决