【学海导航】高考数学第一轮总复习 4.6三角函数的应用课件 理 （广西专）

第四章三角函数三角函数的应用第讲6考点搜索●与三角函数图象有关的应用题●设角为参数，利用三角函数有关知识求最值高考猜想实际应用问题往往与解三角形有关，单纯以纯三角函数作为背景的题不多见.三角函数应用问题的特点和处理方法

1.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题.2.三角函数应用题的特点是：①实际问题的意义反映在三角形中的边、角关系上;②引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题.3.解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.1.设实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且a≠b),那么mx+ny的最大值是()

因为实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且a≠b)，

所以可设则mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故选B.

2.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________.设直角三角形的短边为x，则解得x=3，所以则3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为那么单摆来回摆动一次所需的时间为____秒.

由条件知周期11.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：

经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.题型1：与三角函数图象有关的应用题t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上上数据，，求出函函数y=Acosωt+b的最小正正周期T、振幅A及函数表表达式;(1)由表中数数据知，，周期T=12，则由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，①由t=3，y=1.0，得b=1.0.②②由t=3，y=1.0，得b=1.0.②②所以A=0.5，b=1，所以振幅为为12，所以(2)依据规定，当当海浪高度高高于1米时才对冲浪浪爱好者开放放.请根据(1)的结论，判断断一天内的上上午8：00时至晚上20：00时之间，有多多少时间可供供冲浪爱好者者进行运动?(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪浪爱好者开放放.所以所以所以即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③因为0≤t≤24,故可令③中的的k分别为0,1,2,得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在规定时间间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可可供冲浪爱好好者运动，即即上午9：00至下午15：00.【点评】：解决实际应用用题的关键在在于建立数学学模型.若建模已确定定时，就化为为常规问题，，再选择合适适的数学方法法求解.如本题第(2)问转化为相应应的不等式进进行解决.以一年为一一个周期调调查某商品品出厂价格格及该商品品在商店销销售价格时时发现：该该商品的出出厂价格是是在6元基础上按按月份随正正弦曲线波波动的.已知2月份出厂价价格最高为为8元，8月份出厂价价格最低为为4元.而该商品在在商店内的的销售价格格是在10元基础上按按月份也是是随正弦曲曲线波动的的，并已知知5月份销售价价最高为12元，11月份销售价价最低为8元.假设某商店店每月购进进这种商品品m件，且当月月能售完，，请估计哪哪几个月每每件盈利可可超过6元？并说明明理由.由条件可得得：出厂价格函函数为销售价格函函数为则单价利润润函数y=y2-y1所以，由得即所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.又因为x∈N*，所以x=6，7.答：6月、7月这两个月月每件盈利利超过6元.2.水渠横断面面为等腰梯梯形，如图图所示，渠渠道深为h，梯形面积积为S.为了使渠道道的渗水量量达到最小小，应使梯梯形两腰及及下底之和和达到最小小，此时下下底角α应是多大？？题型2：反映在三三角形或四四边形中的的实际问题题设CD=a,则所以则则设两腰与下下底之和为为l，则因为S，h均为常量，，欲求l的最小值，，只需求出出的的最小值值.令则则ksinα+cosα=2，可化为其中因为0＜sin(α+φ)≤1，所以所所以k2≥3，故kmin=3，此时所所以【点评】：与多边形有有关的实际际问题，一一般是转化化为三角形形中的问题题，然后利利用三角形形的边角关关系式转化化为角的问问题，如设设角参数，，再利用三三角函数的的性质解决决所求问题题.某岛屿观测测站C在海岸边灯灯塔A的南偏西20°的方向上.航船B在灯塔A南偏东40°的方向上向向海岸灯塔塔A处航行，在在C处先测得B离C的距离是31海里，当航航船B航行了20海里后，到到达D处，，此此时时C、D间的的距距离离为为21千米米，，问问这这人人还还需需走走多多少少海海里里到到达达海海岸岸边边灯灯塔塔A处？？根据据题题意意得得右右图图，，其中中BC=31千米米,BD=20千米米,CD=21千米米,∠∠CAB=60°°.设∠∠ACD=α，∠∠CDB=β.在△△CDB中，，由由余余弦弦定定理理得得：：所以以在△△ACD中，，由由正正弦弦定定理理得得：：所以以此此人人还还需需走走15千米米到到达达海海岸岸边边灯灯塔塔A处.3.如图图,ABCD是一一边边长长为为100m的正正方方形形地地皮皮,其中中AST是一一半半径径为为90m的扇扇形形小小山山，，其其余余部部分分都都是是平平地地.一开开发发商商想想在在平平地地上上建建一一个个矩矩形形停停车车场场，，使使矩矩形形的的一一个个顶顶点点P在ST上，，相相邻邻两两边边CQ、CR落在在正正方方形形的的边边BC、CD上.求矩矩形形停停车车场场PQCR面积积的的最最大大值值和和最最小小值值.题型型3：引进进角为为参数数解决决最优优化问问题(连结AP,∠PAB=θ(0°°≤θ≤90°),延长RP交AB于M,AM=90cosθ,MP=90sinθ,所以PQ=MB=100-90cosθ，PR=MR-MP=100-90sinθ.所以S矩形PQCR=PQ··PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.令t=sinθ+cosθ则所以S矩形PQCR=故当t=时，S矩形PQCR有最小小值950m2;当t=时,S矩形PQCR有最大大值(14050-9000)m2.【点评】：与多边边形有有关的的最值值问题题，常常常构构造以以角为为变量量的三三角函函数，，然后后利用用求三三角函函数的的最值值方法法求得得实际际问题题的解解，同同时，，注意意变量量取值值的实实际意意义及及范围围.如图，，在直直径为为1的圆O中，作作一个个关于于圆心心对称称、邻邻边互互相垂垂直的的十字字形，，其中中y＞x＞0.求当