【课件】4.5.2用二分法求方程的近似解

函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条

的曲线，且有

，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的解.复习引课连续不断f(a)f(b)<0f(c)＝0定理：（1）回答了“有没有变号零点”存在问题，若有，可以判断变号零点所处的区间；（2）没有回答“有几个零点”，如果是单调函数，在某区间上有零点的话，则只能有一个；（3）某区间内即使有变号零点，此定理也没有解决“这个零点是什么”的问题。下面我们来解决“求变号零点的近似值”的问题。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一个近似解（精确度为0.1）?解析:方程lnx＋2x－6＝0的解，即是函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点，即函数f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)内只有一个零点.又f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，又因为f(x)在区间[2，3]上连续，且f(2)f(3)<0，由零点存在定理得：

函数f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)内至少有一个零点。.容易证明,函数f(x)＝lnx＋2x－6在(0,+∞)是增函数。我们看到:函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，即方程lnx+2x-6=0在（2,3）内有一个解，进一步的问题是，如何求出这个解呢？大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需要求出满足一定精确度的近似解。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一个近似解（精确度为0.1）?直观的想法：要求方程lnx+2x-6=0的解，即是要求函数

f(x)=lnx+2x-6的零点，因为这个零点在

（2,3）内，那么我们可以把区间（2,3）再

缩小点，达到一定的范围要求（精度要求），

“挤”出函数零点的近似值，从而求出方程

的近似解呢？把区间（2,3）怎样缩小点？取区间中点的方法，逐步缩小函数零点所在的范围。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一个近似解（精确度为0.1）?二分法:（1）“取”--------取区间（2,3）的中点2.5；（2）“算”-------计算工具算f(2)=ln2-2<0，f(2.5)≈-0.084<0,f(3)=ln3>0;（3）“缩”-------∵f(2)f(2.5)>0，f(2.5)f(3)<0,∴零点在区间（2.5,3）内（区间变成原来的一半）（4）“控”-------区间（2.5,3）的精度d=|3-2.5|=0.5>0.1,不合要求，（5）“取”-------取区间（2.5,3）的中点2.75；（6）“算”-------计算工具算f(2.5)≈-0.084<0，f(2.75)≈0.512>0,f(3)=ln3>0;（7）“缩”-------∵f(2.5)f(2.75)<0，f(2.75)f(3)>0,∴零点在区间（2.5,2.75）内（区间为原来的一半）（8）“控”-------区间（2.5,2.75）的精度d=|2.75-2.5|=0.25>0.1,不合要求，探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一个近似解（精确度为0.1）?二分法:（9）“取”--------取区间（2.5,2.75）的中点2.625；（10）“算”-------计算工具算f(2.5)≈-0.084<0，

f(2.625)≈0.215>0，

f(2.75)≈0.512>0;（11）“缩”-------∵f(2.5)f(2.625)<0，f(2.625)f(2.75)>0,∴零点在区间（2.5,2.625）内（区间一半）（12）“控”-------区间（2.5,2.625）的精度d=|2.625-2.5|=0.125>0.1,不合要求，（13）“取”-------取区间（2.5,2.625）的中点2.5625；（14）“算”-------计算工具算f(2.5)≈-0.084<0,f(2.5625)≈0.066>0,f(2.625)≈0.215>0;（15）“缩”---∵f(2.5)f(2.5625)<0，f(2.5625)f(2.625)>0,∴零点在区间（2.5,2.5625）内（区间一半）（16）“控”---区间（2.5,2.5625）的精度d=|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,符合要求，探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一个近似解（精确度为0.1）?二分法:区间（2.5,2.5625）的精度d=|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,符合要求，所以区间（2.5,2.5625）内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将2.5或者2.5625作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解。知识点二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间

，使所得区间的两个端点

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点注意点：(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.归纳总结二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步骤：

1．寻找解所在的区间：（1）图象法；（2）函数值法；

2．不断二分解所在的区间

3．根据精确度得出近似解。9困难在哪里？确定第一个区间！√√例1

(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是√解析根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，、

即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右

两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是A.9 B.8 C.7 D.6√【悟】运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右两侧的函数值异号.

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3√解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，

所以可以用二分法求解的个数为3.

用二分法求函数零点的近似解提示由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分

法逐步计算，列表如下：问题2按上述思路，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的近似解吗？当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死机.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375.知识点给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证

.2.求区间(a，b)的中点

.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则

就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈

)，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈

)，则令a＝c.f(a)·f(b)<0cc(a，c)(c，b)4.判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.注意点：(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点；(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分.例2

(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：解析已知f(0.09375)<0，f(0.125)>0，

则函数f(x)的零点的初始区间为(0.09375,0.125)，

所以零点在区间(0.09375,0.125)上，|0.125－0.09375|＝0.03125<0.05，

所以0.09375,0.096,0.125都符合题意.x0.06250.093750.1250.156250.1875f(x)－0.4567－0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为A.0.625 B.0.09375

C.0.125

D.0.096√√√【悟】二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.【练2】用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么

下一个有根的区间是______.解析设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)零点所在的区间为(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2).(1,2)

二分法的实际应用解如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，则断定故障

在BC段；

再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；

再到BD段的中点E检查，如此，每检查一次就可以将待

查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50m～100m之间，即可迅

速找到故障所在.例3某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？