弹性力学一点应力状态

弹性力学补充内容一§1-1弹性力学中的几个根本概念§1-2弹性力学中的根本假定第一页，共26页。研究内容:弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。

任务:解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。

研究方法仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。第二页，共26页。§1-1弹性力学中的几个根本概念根本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力体力、面力〔材力：集中力、分布力。〕(1)体力——弹性体内单位体积上所受的外力——体力分布集度〔矢量〕xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的

(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。第三页，共26页。(2)面力——作用于物体外表上的外力——面力分布集度〔矢量〕xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。第四页，共26页。2.应力(1)一点应力的概念ΔAΔQ内力(1)物体内部分子或原子间的互相作用力;(2)由于外力作用引起的互相作用力.(不考虑)P(1)P点的内力面分布集度(2)应力矢量.----P点的应力的极限方向由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力一样MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的第五页，共26页。(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：第六页，共26页。用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标x

表示τ所在面的垂线线方向；第2个下标y

表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO第七页，共26页。与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时针的剪应力τ为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题xyzO第八页，共26页。3.形变形变——物体的形状改变xyzO〔1〕线段长度的改变〔2〕两线段间夹角的改变。PBCA——用线〔正〕应变ε度量——用剪应变γ度量〔剪应变——两垂直线段夹角〔直角〕的改变量〕三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：(1)一点形变的度量应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；第九页，共26页。(2)一点应变状态——代表一点P的邻域内线段与线段间夹角的改变xyzOPBCA其中应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm第十页，共26页。弹性力学问题：外力、物体的形状和大小〔边界〕、材料特性〔E、μ〕、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：〔1〕静力学关系：应力与体力、面力间的关系(平衡)；〔2〕几何学关系：形变与位移间的关系；〔3〕物理学关系：形变与应力间的关系。第十一页，共26页。§1-2弹性力学中的根本假定1.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u

等量表示成坐标的连续函数。保证中极限的存在。第十二页，共26页。2.线弹性假定假定物体完全服从虎克〔Hooke〕定律，应力与应变间成线性比例关系〔正负号变化也一样〕。比例常数——弹性常数〔E、μ〕脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。3.均匀性假定作用：可使求解方程线性化假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质一样。作用：弹性常数〔E、μ〕——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。第十三页，共26页。4.各向同性假定假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都一样。作用：弹性常数〔E、μ〕——不随坐标方向而变化；金属——上述假定符合较好；木材、岩石——上述假定不符合，称为各向异性材料；符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。5.小变形假定

假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。第十四页，共26页。§1-3平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力〔体力、面力〕和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。第十五页，共26页。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy

平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。第十六页，共26页。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长(2)外力特征外力〔体力、面力〕平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，那么沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面第十七页，共26页。水坝因为任一横截面均可视为对称面，那么有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第十八页，共26页。§1-4斜面上的应力主应力1.斜面上的应力〔1〕斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设P点的应力分量：斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：

由微元体平衡：

整理得：

〔2-3〕整理得：

〔2-4〕外法线

第十九页，共26页。xyOdxdydsPABsXNYNN〔2〕斜面上的正应力与剪应力〔2-3〕〔2-4〕将式〔2-3〕〔2-4〕代入，并整理得：〔2-5〕〔2-6〕说明：〔1〕运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。——任意斜截面上应力计算公式〔3〕假设AB面为物体的边界S，那么〔2-18〕——平面问题的应力边界条件第二十页，共26页。2.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNN〔1〕主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；当时，有求解得：〔2-7〕——平面应力状态主应力的计算公式第二十一页，共26页。主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；由式〔2-7〕易得：——平面应力状态应力第一不变量〔2〕应力主向设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，那么设σ2与x轴的夹角为α2，σ2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，那么第二十二页，共26页。应力主向的计算公式：〔2-8〕由得显然有说明：σ1与σ2互相垂直。结论任一点P，一定存在两

互相垂直的主应力σ1、σ2。〔3〕σN的主应力表示xyOsdxdydsPABN由σ1与σ2分别为最大和最小应力。第二十三页，共26页。〔4〕最大、最小剪应力由显然，当时，τN为最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向与σ1〔σ2